近世代数试题库

一、单项选择题

世代数

1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则AB=（ ） A、{1，2，3，4} B、{2，3，6，7} C、{2，3} D、{1，2，3，5，6，7} 答案：C

2、循环群与交换群关系正确的是（ ）

A、循环群是交换群 B、交换群是循环群 C、循环群不一定是交换群 D、以上都不对 答案：A

3、下列命题正确的是（ ）

A、n次对换群Sn的阶为n! B、整环一定是域 C、交换环一定是域 D、以上都不对 答案：A

4、关于陪集的命题中正确的是（ ）设H是G的子群，那么 A、 B、

对于aH,bH,有aHbH或aHbH 以上都对

答案：D

5、设A=R（实数域）， B=R+（正实数域） f?:a→10a??aA 则 f 是从A到B的（ ）

A、单射 B、满射

C、一一映射 D、既非单射也非满射 答案：D

6、有限群中的每一个元素的阶都（ ） A、有限 B、无限

C、为零 D、为1 答案：A

7、整环（域）的特征为（ ）

A、素数 B、无限 C、有限 D、或素数或无限 答案：D

8、若S是半群,则( )

A、任意a,b,cS,都有a(bc)=(ab)c B、任意a,bS,都有ab=ba C、必有单位元 D、任何元素必存在逆元 答案：A

9、在整环Z中，6的真因子是（ ） A、1,6 B、2,3 C、1,2 D、3,6 答案：B

10、偶数环的单位元个数为（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个 答案：A

11、设A1,A2,,An和D都是非空集合，而f是A1A2An到D的一个映射，那么（A、集合A1,A2,,An,D中两两都不相同； B、A1,A2,,An的次序不能调换；

C、A1A2An中不同的元对应的象必不相同； D、一个元a1,a2,,an的象可以不唯一。 答案：B

12、指出下列那些运算是二元运算（ ） A、在整数集Z上，ababab； ） B、在有理数集Q上，abab；

C、在正实数集R上，abalnb； D、在集合nZn0上，abab。 答案：D

13、设是整数集Z上的二元运算，其中abmaxa,b（即取a与b中的最大者），那么在Z中（ ）

A、不适合交换律； B、不适合结合律； C、存在单位元； D、每个元都有逆元。 答案：C

14、设G,为群，其中G是实数集，而乘法:ababk，这里k为G中固定的常数。那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）

A、0和x； B、1和0； C、k和x2k； D、k和(x2k)。 答案：D

15、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2abxc1,acxxac，那么x（ ） A、bc1a1； B、c1a1； C、a1bc1； D、b1ca。 答案：A

16、设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果6，那么G的阶G（ ） A、6； B、24； C、10； D、12。 答案：B

17、设f:G1G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ） A、f的同态核是G1的不变子群；

B、G2的不变子群的逆象是G1的不变子群； C、G1的子群的象是G2的子群； D、G1的不变子群的象是G2的不变子群。

答案：D

18、设f:R1R2是环同态满射，f(a)b，那么下列错误的结论为（ ） A、若a是零元，则b是零元； B、若a是单位元，则b是单位元； C、若a不是零因子，则b不是零因子；D、 若R2是不交换的，则R1不交换。 答案：C

19、下列正确的命题是（ ）

A、欧氏环一定是唯一分解环； B、主理想环必是欧氏环； C、唯一分解环必是主理想环； D、唯一分解环必是欧氏环。答案：A

20、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（ ） A、E:IE:II:F； B、F:EI:FE:I； C、I:FE:FF:I； D、E:FE:II:F 答案：D

二、填空题

1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和（ ） 。答案：传递性

2、设A,B都为有限集，且Am,Bn,则AB（ ）. 答：mn

3．设R是集合A＝｛平面上所有直线｝上的关系：

l1Rl2l1∥l2或l1l2 （l1,l2A），则R（ ）等价关系。答：是

4、设群G中的元素a的阶为m，则ane的充要条件是（ 答：mn

5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是（ ）。答：a,bH,有ab1H

。

）

6、n次对称群Sn的阶是（ ）。 答：n!

7、设G是有限群，H是G的子群，且H在G中的指数为n，则G（ ）。 答：nH

8、设G是一个群,e是G的单位元，若aG,且a=a,则（ ） 答：a=e

9、最小的数域是（ ）。 答：有理数域

10、设集合A=｛1,2｝,则A×A=（ ）,2A＝（ ）。 答：｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝，｛Φ，｛1｝，｛2｝，｛1，2｝｝ 11、设f是A的一个变换，SA，则f答：

12、设R1,R2是集合A上的等价关系，R1R2（ ）等价关系。 答：是

n13、若群G中每一个元素x都适合方程xe，则G是（ ）群。

1fS（ ）ff1S。

答：交换群

14、n阶群G是循环群的充要条件是（ ）。 答：G中存在n阶的元素

15、设G,G1是有限循环群，Gm,G1n,则G1是G的同态象的充要条件是（ nm ）。 答：nm

16、如果环R的乘法满足交换律，即a,bR，有abba，则称R为（）环 答：交换环

17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（ ）环。 答：数环

18、设有限域F的阶为81，则的特征p（ ）。 答：3

19、已知群G中的元素a的阶等于50，则a4的阶等于（ ）。 答：25

20、一个有单位元的无零因子（ ）称为整环。 答：交换环

a是一个国际标准书号，那么a（ ）。

答：6

22.剩余类加群Z12有 （ ）个生成元. 答：6

23、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是（ ） 答：n/(k,n)（(k,n)表示k和n的最大公约数） 24、6阶循环群有 （ ）个子群. 答：3

26、模8的剩余类环Z8的子环有（ ） 个. 答：6

27、设集合A1,0,1；B1,2，则有BA（ ）。

答：1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1

28、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa（ ）。

答：a

29、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果AiAj，那么AiAj（答：

31、凯莱定理说：任一个子群都同一个（ ）同构。 答：变换群

32、给出一个5-循环置换(31425)，那么1（ ）。 答：13524

。 ） 33、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为（ ）。 答：xiayi,xi,yiR

34、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R是一个域当且仅当I是

I（ ）。 答：一个最大理想

35、整环I的一个元p叫做一个素元，如果（ ）。 答：p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子

36、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果（ ）。 答：E的每一个元都是F上的一个代数元

三、判断题

1、设A与B都是非空集合，那么ABxxA且xB。 （ × ）

2、设A、B、D都是非空集合，则AB到D的每个映射都叫作二元运算。（ × ） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1。 （ √ ）

4、如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （ √ ） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ × ） 6、群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,hH;g1HgH。（ √ ） 7、如果环R的阶2，那么R的单位元10。 （ √ ） 8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ √ ） 9、F(x)中满足条件p()0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。 （ × ） 10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Zp同构的子域，这里Z是整数环，p 是

由素数p生成的主理想。 （ × ）

四、解答题

1、A={数学系的全体学生}，规定关系R：

a,bA,aRba与b同在一个班级，证明R是A的一个等价关系。 答案：自反性： 自己与自己显然在同一个班级

对称性：若a与b同在一个班级,显然b与a同在一个班级

传递性：若a与b同在一个班级, b与c同在一个班级,显然a与c同在一个班级. 2、在R中的代数运算是否满足结合率和交换率？

ababab（等式右边指的是普通数的运算） 答：因为对于a,b,cR，有abcababc

ababcababcababcacbcabc， 根据实数的加法与乘法的运算率得

abcabc。

又abababbababa。

所以，R的代数运算既满足结合率，又满足交换率。

3、设集合Aa,b,c,d,Bc,d,e，求AB,AB,AB,(AB)(BA)。 答案：ABc,d,ABa,b,c,d,e,

4、设GS31,12,13,23,123,132，H1,12，求G关于子群H的左陪集分解。 答：1H(12)HH，

13H(123)H13,123， 23H(132)H23,132。

因而，G关于子群H的左陪集分解为 GH13H(23)H。

5、设半群S,•既有左单位元e，又有右单位元f，证明ef，而且是S的唯一单位元。 答：证明efe（因f是右单位元），eff（因e是左单位元），得ef； 若S还有单位元e1，则eee1e1，故e是S的唯一单位元。 6、对于下面给出的Z到Z的映射f,g,h 计算fg,gf,gh,hg,fgh。

答案：

17、设H是G的不变子群，则aG，有aHaH。

答：因H是G的不变子群，故对于aG，有aHHa，于是

aHa1aHa1Haa1Haa1HeH。

8、设0是环R的零元，则对于aR，0aa00。 答：因为aR，有

0a(00)a0a0a，

由于R关于加法作成群，即R对于加法满足消去律，在上式中两边同时消去0a，得0a0。同理可得a00。

119、如果半群G有一个左单位元e，并且对于aG，存在左逆元aG，使得aae，

则G是一个群。

111答：aG，由条件知，有左逆元aG，使得aae，而对于a在G中也存在左逆元

a'，使得a'a1e，则有

所以，a的左逆元a也是a的右逆元，即a在G中有逆元a，

11aeaaaaaaeaa，知e是G的单位元。故G是一个群。 又由于

1110、证明R为无零因子环的充分必要条件是在环R中关于乘法左消去律成立。 答：设环R没有左零因子，如果有abac，则有

abaca(bc)0，

当a0时，由于R没有左零因子，得bc0，即bc，R中关于乘法左消去律成立。 反之，若在R中关于乘法左消去律成立，如果a0，有ab0，即

ab0a0，左消去a得b0，即R中非零元均不是左零因子，故R为无零因子。 11、若I1,I2是R的两个理想，则

I1I2x1x2x1I1,x2I2也是R的一个理想。

答：x,yI1I2,rR，则有

xx1x2,yy1y2，(x1,y1I1;x2,y2I2)，从而 xy(x1y1)(x2y2)I1I2； rxr(x1x2)rx1rx2I1I2； xr(x1x2)rx1rx2rI1I2。 所以，I1I2是R的一个理想。

12、设GS3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},H{(1),(12)},则H是G的一个子群，写出G关于H的所有左陪集的分解. 答案：(1)H(12)HH,

(13)H{(13),(123)}(123)H, (23)H{(23),(132)}(132)H,

因而，G关于H的左陪集的分解为.

13、在Q中的代数运算是否满足结合率和交换率？

2222123233912313981 a1,b2,c3,答：取则，22又1224,2111。

所以，Q的代数运算既不满足结合率，又不满足交换率。

14、设GS31,12,13,23,123,132，H1,12，求G关于子群H的右陪集分解。 答：H1H(12)1,12，

H13H(132)13,132， H23H(123)23,123。 因而，G关于子群H的右陪集分解为 GHH13H(23)。

15、设S是有单位元e的半群，aS，若a有左逆元a1，又有右逆元a2，则a是可逆元，

且a1a2是a的唯一的逆元。

答：证明由条件知，a1ae,aa2e,则有a2ea2a1aa2a1aa2a1ea1, 若b,c都是a的逆元，同理有bbebacbacecc 故a有唯一的逆元。

16、设R是环，则a,bR，有(a)ba(b)(ab)。 答：由(a)bab(aa)b0b0，得

(ab)(a)b，

同理，由a(b)aba(bb)a00，得

(ab)a(b)。

117、设H是G的子群，若对于aG，hH，有ahaH，则H是G的不变子群。 1答：任取定aG，对于ahaH，由于ahaH，则存在h1H，使得

aha1h1ahh1aHaaHHa；

1111haHa，由于ahaah(a)H，故存在h2H，使得

a1hah2haah2aHHaaH。

因此，对于aG，有aHHa。故H是G的不变子群。

18、如果G是半群，则G是群的充分必要条件是：a,bG，方程axb和yab在G中有解。

111ab,baG，aGaGG答：必要性。因是群，则在中有逆元，则分别代入方程axb和yab，有

aa1baa1bebb，ba1aba1abeb，

11ab,ba即分别为方程axb和yab的解。

充分性。因G是半群，则是非空集合，取定aG，则方程yaa在G中有解e，即存在G中的元素e，使得eaa。

下证e是G的左单位元。a,bG，方程axb和在G中有解c，即acb， 于是ebeaceacacb，则e是G的一个左单位元。

又aG，方程yae在G中有解a，即aae，得a是a的一个左逆元。从而得G中的

'''每一个元素a都有左逆元。故G是群。

19、证明R为无零因子环的充分必要条件是在环R中关于乘法右消去律成立。 答：设环R没有左零因子，则也无右左零因子。于是由baca，得

baca(bc)a，

当a0时，由于R没有右零因子，得bc0，即bc，R中关于乘法右消去律成立。 反之，若在R中关于乘法右消去律成立，如果a0，有ba0，即

ba00a，右消去a得b0，即R中非零元均不是右零因子，故R为无零因子。 20、设R为交换环，aR，IaxRax0，证明：Ia是R的理想。 答：（1）a,bIa，则ax0,bx0，从而axbx0，(ab)x0 即abIa。

aIa,rR，（2）有ax0，由于R为交换环，从而raxr0axr0r0，即ar,raIa。

因此Ia是R的理想。

21、G=（z，+），对G规定结合法“”

abab2 证明 (G,)是一个群。

证明：\"\"为G的一个二元运算显然，设a,b,c是G中任意三个元， =a(b2c)2a(bc2)a(bc)。G中结合法\"\"满足结合律。 又2G

，易知2是(G,)的单位元。aG，直接验算得4a是a在(G,)中的逆元。

所以(G,)是一个群。

22、设G是非Abel群，证明存在非单位元a,b，a≠b使ab=ba。

证：利用元素和它的逆可交换，或元素和它的幂可交换。但要求元素和它的逆（幂）不等。由于G是非Abel群，必有阶数大于2的元素a，因而a≠a-1，取b= a-1，则ab=ba。

23、设H≤G，a,b∈G，证明以下命题等价： （1）a-1b∈H,(2)b∈aH,(3)aH=bH,(4)aH∩bH≠?。 证本题主要熟悉陪集性质。用循环证法。

（1）=>（2）：a-1b∈H => a-1b=h => b=ah => b∈aH。 （2）=>（3）：b∈aH => bh∈aH => bH 属于aH，另一方面，

b∈aH => b=ah => a=bh-1 => aH属于 bH，综上得aH=bH。

（3）=>（4）：aH=bH 显然有aH∩bH≠?。

（4）=>（1）：aH∩bH≠? => 存在 h1,h2∈H 使 ah1=bh2 => a-1b= h1h2-1=> a-1b∈H 。 24、叙述群的定义。

答：封闭律、结合律、有单位元、每元有逆元。

25、列出2个群的实例，其中一个是有限群，另一个是无限群。 答：加群Zn与Z。

26、整数环的商域（分式域）是什么域？ 答：有理数域。

27、证明有理数域不包含真子域。

答案：有理数域Q的任何子域F一定含单位元1，因此F包含整数环Z，而一个域含整数环Z则必含Z的分式域Q，因此F=Q