学试卷（理科）
一、选择题
1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3，6}定义运算A⊗B=（x|x=ab，a∈A，b∈B）则A⊗B中所含元素的个数为（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
2．设复数z满足（1﹣2i）z=3+4i，则z=（ ） A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i
D．1+2i
3．函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（ ） A．（0，﹣2] B．[﹣2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2] D．[2，+∞）
4．某校共有17人获得北大、清华保送资格，具体人数如下： 竞赛学科 北大 清华 数学 6 1 物理 4 0 化学 2 4 若随机从获取北大、清华保送资格的学生中各取一名，则至少1人是参加数学竞赛的概率为（ ） A．
B． C．
D．
5．下列命题中，真命题是 （ ） A．∃x0∈R，使得B．sin2x+
≥3（x≠kπ，k∈Z）
C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件 6．已知a=
，b=
，c=
，则a、b、c大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c 7．已知f（x）=
则满足f（x）≤2的x取值范围是（ ）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）
8．已知图①中的图象对应的函数y=f（x），则图②中的图象对应的函数是（ ）
A．y=f（|x|） B．y=|f（x）| C．y=f（﹣|x|） D．y=﹣f（|x|）
9．设a，b，m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b（mod m）．若a=C则b的值可以是（ ） A．2015
B．2016
C．2017
D．2018
+C
+…+C
，a=b（mod9），
10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=0，且在[3，4]上是增函数，A、B是锐角三角形的两个内角，则（ ） A．f（sinA）＜f（cosB）
B．f（sinA）＞f（cosB）
C．f（sinA）＞f（sinB）
D．f（cosA）＞f（cosB）
11．已知函数f（x）=2x2+bx+c（b，c∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜m的解集为（n，n+10），则实数m的值为（ ） A．25 B．﹣25
C．50 D．﹣50
+sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，
12．若函数f（x）=1+则m+n=（ ） A．0
二、填空题
B．1
C．2
D．4
13．设命题P：∃x0∈（0，+∞），14．是 ．
＜，则命题￢p为 ．
展开式中含x2项的系数
15．若（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a7的值是 ．
16．已知函数f（x）=
，若H（x）=[f（x）]2﹣2bf（x）+3有
8个不同的零点，则实数b的取值范围为 ．
三、解答题：
17．（12分）已知p：函数f（x）=x2﹣2mx+4在[2，+∞）上单调递增；q：关于x的不等式mx2+4（m﹣2）x+4＞0的解集为R．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）=22x﹣•2x+1﹣6 （1）当x∈[0，4]时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若∃x∈[0，4]，使f（x）+12﹣a•2x≥0成立，求实数a的取值范围． 19．（12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分
别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；
（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望． 20．（12分）某高校在2014年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；
（ⅱ）学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有ξ名学生被考官L面试，求ξ的分布列和数学期望．
21．（12分）已知函数f（x）定义域是{x|x≠，k∈Z，x∈R}，且f（x）+f（2﹣x）=0，f（x+1）=﹣
，当＜x＜1时，f（x）=3x．
（1）证明：f（x）为奇函数； （2）求f（x）在
上的表达式；
时，log3f（x）＞x2﹣kx﹣2k有
（3）是否存在正整数k，使得
解，若存在求出k的值，若不存在说明理由． 选做题：
22．（10分）已知曲线C：
+
=1，直线l：
（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
23．设函数f（x）=|x﹣a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|； （2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +取值范围．
=a（m＞0，n＞0），求：m+2n的
2016-2017学年江西省吉安市遂川中学高三（上）第一次
月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3，6}定义运算A⊗B=（x|x=ab，a∈A，b∈B）则A⊗B中所含元素的个数为（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据题意、A⊗B的运算、集合元素的互异性求出A⊗B，即可得到答案． 【解答】解：由题意知，集合A={1，2，3}，B={2，3，6}， 且定义运算A⊗B=（x|x=ab，a∈A，b∈B），
则A⊗B={2，3，6，4，12，9，18}，即共7个元素， 故选：B．
【点评】本题考查了集合运算的新定义，注意集合元素的互异性，属于基础题．
2．设复数z满足（1﹣2i）z=3+4i，则z=（ ） A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i
D．1+2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据复数的运算性质，求出z即可． 【解答】解：∵（1﹣2i）z=3+4i， ∴z=
=
=
=﹣1+2i，
故选：A．
【点评】本题考查复数运算、模的性质，是基础题．
3．函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（ ） A．（0，﹣2] B．[﹣2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2] D．[2，+∞）
【考点】函数的值域． 【分析】先通过配方能够得到0可得到域．
【解答】解：∴有
；
；
，所以根据对数函数的图象即
，进行对数的运算从而求出原函数的值
所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：
=﹣2；
∴原函数的值域为[﹣2，+∞）． 故选B．
【点评】配方的方法求二次函数的值域，对数函数的定义域，以及对数函数的图象，根据图象求函数的值域的方法．
4．某校共有17人获得北大、清华保送资格，具体人数如下： 竞赛学科 北大 清华 数学 6 1 物理 4 0 化学 2 4 若随机从获取北大、清华保送资格的学生中各取一名，则至少1人是参加数学竞赛的概率为（ ） A．
B． C．
D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】基本事件总数n=个数m=
+
=60，至少1人是参加数学竞赛包含怕基本事件=36，由此能求出至少1人是参加数学竞赛的概率．
【解答】解：随机从获取北大、清华保送资格的学生中各取一名， 基本事件总数n=
=60，
+
=36，
至少1人是参加数学竞赛包含怕基本事件个数m=
∴至少1人是参加数学竞赛的概率p=故选：B．
．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
5．下列命题中，真命题是 （ ） A．∃x0∈R，使得B．sin2x+
≥3（x≠kπ，k∈Z）
C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件 【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．∀x∈R，ex＞0，即可判断出正误； B．取x=
，则sin2x+
=1﹣2=﹣1＜3，即可判断出正误；
C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，即可判断出正误；
D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，即可判断出正误．
【解答】解：A．∀x∈R，ex＞0，因此是假命题； B．取x=
，则sin2x+
=1﹣2=﹣1＜3，因此是假命题；
C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，因此共有3个，是假命题；
D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，因此a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，是真命题． 故选：D．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数零点的判定方法、不等式的性质、
指数函数的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．已知a=，b=，c=，则a、b、c大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c 【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵0＜a=
＜b=
＜1，c=
=1，
则a、b、c大小关系是：a＜b＜1． 故选：D．
【点评】本题考查了幂函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．已知f（x）=A．[﹣1，2]
则满足f（x）≤2的x取值范围是（ ）
B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）
【考点】其他不等式的解法．
【分析】利用分段函数得到两个对应的不等式组解之即可． 【解答】解：由已知，得到
或者
，
解得或者，
所以满足f（x）≤2的x取值范围是[0，1]∪（1，+∞）=[0，+∞）； 故选D
【点评】本题考查了指数不等式和对数不等式的解法；关键是转化为整式不等式解之．
8．已知图①中的图象对应的函数y=f（x），则图②中的图象对应的函数是（ ）
A．y=f（|x|） B．y=|f（x）| C．y=f（﹣|x|） D．y=﹣f（|x|）
【考点】函数的图象与图象变化；函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】由题意可知，图②中的函数是偶函数，与图①对照，它们位于y轴左侧的部分相同，右侧不一样，说明当x＜0时对应法则相同而x＞0时对应法则不同，再结合排除法分析选项可得正确答案． 【解答】解：设所求函数为g（x）， g（x）=故选C
【点评】本题考查函数的图象，考查学生视图能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．
9．设a，b，m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b（mod m）．若a=C则b的值可以是（ ） A．2015
B．2016
C．2017
D．2018
+C
+…+C
，a=b（mod9），
=f（﹣|x|），C选项符合题意．
【考点】组合及组合数公式． 【分析】利用二项式定理把a化为的形式，得出a除以9的余数，
再判断选项中的数是否与a除以9的余数相同即可． 【解答】解：a=C=218﹣1 =（9﹣1）6﹣1
+C
+…+C
•96﹣•95+•94﹣•93+•92﹣
•9
=
•96﹣
•95+•94﹣•93+•92﹣
•9，
∴a除以9的余数为0； 又2016除以9的余数为0， ∴b的值可以是2016． 故选：B．
【点评】本题考查了新定义的应用问题，也考查了二项式定理的应用问题，是基础题目．
10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=0，且在[3，4]上是增函数，A、B是锐角三角形的两个内角，则（ ） A．f（sinA）＜f（cosB）
B．f（sinA）＞f（cosB）
C．f（sinA）＞f（sinB）
D．f（cosA）＞f（cosB）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由f（x+1）+f（x）=0得f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行判断．
【解答】解：由f（x+1）+f（x）=0得f（x+1）=﹣f（x）即f（x+2）=f（x），所以函数的周期为2，
因为f（x）在[3，4]上是增函数，所以f（x）在[﹣1，0]上为增函数， 因为f（x）为偶函数，所以f（x）在[0，1]上为单调减函数． 因为在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜所以sinA＞sin（
﹣B）=cosB，
，所以A+B＞
，所以
＞A＞
﹣B＞0，
因为f（x）在[0，1]上为单调减函数． 所以f（sinA）＜f（cosB）， 故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．
11．已知函数f（x）=2x2+bx+c（b，c∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等
式f（x）＜m的解集为（n，n+10），则实数m的值为（ ） A．25 B．﹣25
C．50 D．﹣50
【考点】二次函数的性质．
fx）=2x2+bx+cc∈R）fx）=2x2+bx+c=0【分析】由函数（（b，的值域为[0，+∞），得（只有一个根，从而2x2+bx+x2|=
＜m解集为（n，n+10），进而|n+10﹣n|=|x1﹣
=10，解出即可．
【解答】解：∵函数f（x）=2x2+bx+c（b，c∈R）的值域为[0，+∞）， ∴f（x）=2x2+bx+c=0只有一个根， 即△=b2﹣8c=0则c=
不等式f（x）＜m的解集为（n，n+10）， 即为2x2+bx+则2x2+bx+
＜m解集为（n，n+10）， ﹣m=0的两个根为n，n+10，
=
=10
∴|n+10﹣n|=|x1﹣x2|=解得m=50， 故选：C．
【点评】本题考察了二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，韦达定理，是一道中档题．
12．若函数f（x）=1+则m+n=（ ） A．0
B．1
C．2
D．4
+sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法． 【分析】本题可以先构造奇函数g（x）=
+sinx﹣1，由于奇函数图象的对称
性，得到函数值域的对称，再对应研究函数f（x）的值域，得到本题结论．
【解答】解：记g（x）=+sinx﹣1，
∴g（﹣x）==
，
∴g（﹣x）+g（x）=∴g（﹣x）=﹣g（x）．
+sinx﹣1+=0，
∴函数g（x）在奇函数，
∴函数g（x）的图象关于原点对称，
∴函数g（x）在区间[﹣k，k]（k＞0）上的最大值记为a，（a＞0）， 则g（x）在区间[﹣k，k]（k＞0）上的最小值为﹣a， ∴﹣a≤
+sinx﹣1≤a，
∴﹣a+2≤+sinx+1≤a+2，
∴﹣a+2≤f（x）≤a+2， ∵函数f（x）=1+∴m=﹣a+2，n=a+2， ∴m+n=4． 故选D．
【点评】本题考查了奇函数性的对称怀和值域，还考查了构造法，本题难度适中，属于中档题．
二、填空题
13．设命题P：∃x0∈（0，+∞），3x≥x3 ．
【考点】命题的否定．
＜
，则命题￢p为 ∀x∈（0，+∞），
+sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：∃x0∈（0，+∞），
＜
，则命题￢p为：∀x∈（0，+∞），3x≥x3，
故答案为：∀x∈（0，+∞），3x≥x3．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 14．﹣192 ．
【考点】二项式系数的性质；定积分．
【分析】先利用微积分基本定理求出a；利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为2，求出r，将r的值代入通项求出展开式中含x2项的系数．
【解答】解：a=∫0π（sinx+cosx）dx=（﹣cosx+sinx）|0π=2 所以
=
的展开式为：
展开式中含x2项的系数是
Tr+1=（﹣1）r26﹣rC6rx3﹣r 令3﹣r=2得r=1，
所以展开式中含x2项的系数是﹣25C61=﹣192， 故答案为：﹣192．
【点评】本题考查求二项展开式的特定项问题时：例如某一项的系数，某一项等常考虑利用二项展开式的通项公式．
7
15．=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，若（1+x）（1﹣2x）则a1+a2+a3+…+a7的值是 ﹣131 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项式定理可知，a8=（﹣2）7=﹣128，再对已知关系式中的x赋值0与1即可求得a1+a2+…+a7的值
【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8， ∴a8=（﹣2）7=﹣128．
令x=0得a0=1；
令x=1得a0+a1+a2+…+a8=﹣2，
∴a1+a2+…+a8=﹣2﹣a0﹣a8=﹣2﹣1﹣128=﹣131． 故答案为：﹣131．
【点评】本题考查二项式定理的应用，求得a8的值是关键，考查赋值法的应用，属于中档题．
16．已知函数f（x）=
，若H（x）=[f（x）]2﹣2bf（x）+3有
，2] ．
8个不同的零点，则实数b的取值范围为 （【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】作函数f（x）=
（0，3]上有两个不同的解；而m（x）=+3]上是增函数；从而解得． 【解答】解：作函数f（x）=
的图象，从而可化为x2﹣2bx+3=0在在（0，
）上是减函数，在（
，
的图象如下，
，∵H（x）=[f（x）]2﹣2bf（x）+3有8个不同的零点， ∴g（x）=x2﹣2bx+3在（0，3]上有两个零点； 即x2﹣2bx+3=0在（0，3]上有两个不同的解； 故b=
=+
在（0，3]上有两个不同的解； 在（0，
）上是减函数，在（
，3]上是增函数；
而m（x）=+而m（故
）=
，m（3）=2；
＜b≤2，
，2]．
故答案为：（
【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用．
三、解答题：
17．（12分）（2014秋•菏泽期中）已知p：函数f（x）=x2﹣2mx+4在[2，+∞）上单调递增；q：关于x的不等式mx2+4（m﹣2）x+4＞0的解集为R．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围． 【考点】复合命题的真假．
【分析】根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系即可求出命题p，q为真命题时m的取值范围．根据p∨q为真命题，p∧q
为假命题得到p真q假或p假q真，求出这两种情况下m的范围并求并集即可．
【解答】解：若命题p为真，因为函数f（x）的对称轴为x=m，则m≤2； 若命题q为真，当m=0时原不等式为﹣8x+4＞0，该不等式的解集不为R，即这种情况不存在； 当m≠0时，则有
，解得1＜m＜4；
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假； 故
或
解得m≤1或2＜m＜4；
∴m的取值范围为（﹣∞，1]∪（2，4）．
【点评】考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，一元二次不等式解的情况和判别式的关系，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．
18．（12分）（2016秋•遂川县校级月考）已知函数f（x）=22x﹣•2x+1﹣6 （1）当x∈[0，4]时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若∃x∈[0，4]，使f（x）+12﹣a•2x≥0成立，求实数a的取值范围． 【考点】函数的最值及其几何意义；特称命题；其他不等式的解法．
【分析】（1）令t=2x（1≤t≤16），则y=f（x）=t2﹣5t﹣6，讨论对称轴和区间的关系，可得最值；
（2）运用换元法和参数分离，可得a≤t+﹣5的最大值．运用对号函数的单调性，可得最大值，进而得到a的范围．
【解答】解：（1）令t=2x（1≤t≤16），则y=f（x）=t2﹣5t﹣6， 对称轴t=，当t=时，即x=log2，取得最小值﹣当t=1时，y=﹣10，当t=16时，y=170． 则x=4时，取得最大值170．
（2）若∃x∈[0，4]，使f（x）+12﹣a•2x≥0成立， 令t=2x（1≤t≤16），
即为t2﹣5t+6﹣at≥0，即有a≤t+﹣5的最大值． 由于t+﹣5在[1，
）递减，在（
，16]递增，
．
；
当t=1时，t+﹣5=2；当t=16时，t+﹣5=即有t=16取得最大值． 则a≤
．
【点评】本题考查指数函数的单调性的运用，考查二次函数的最值的求法，不等式成立的条件，注意运用参数分离，属于中档题和易错题．
19．（12分）（2015•湖南二模）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；
（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． 【分析】（I）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，先求出其对立事件“取出的3个球恰有两个编号相同”的概率．由古典概型公式，计算可得答案． （II）X的取值为1，2，3，4，分别求出P（X=1），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X的分布列和X的数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，设“取出的3个球恰有两个编号相同”为事件B， 则P（B）=
=
=，
∴P（A）=1﹣P（B）=．
答：取出的3个球编号都不相同的概率为． （Ⅱ）X的取值为1，2，3，4．
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
P（X=4）==，
所以X的分布列为： X P 1 2 3 4 X的数学期望EX=1×+2×+3×+4×=．
【点评】本题考查等可能事件的概率计算与排列、组合的应用以及离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．
20．（12分）（2016•岳阳校级一模）某高校在2014年自主招生考试成绩中随80）85）机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，，第2组[80，，第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；
（ⅱ）学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有ξ名学生被考官L面试，求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）由频率分布直方图能求出第3，4，5组的频率．
（2）（i）设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A，第三组应有3人进入面试，由此能求出学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率． （ii）第四组应有2人进行面试，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）第三组的频率为0.06×5=0.3， 第四组的频率为0.04×5=0.2， 第五组的频率为0.02×5=0.1．
（2）（i）设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A，
第三组应有3人进入面试，则： P（A）=
=
．
（ii）第四组应有2人进行面试，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2， 且P（ξ=i）=
，（i=0，1，2），
则随机变量ξ的分布列为：
ξ P Eξ=
+
=名．
0 1 2 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量ξ的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．
21．（12分）（2014秋•宜城市校级期中）已知函数f（x）定义域是{x|x≠，k∈Z，x∈R}，且f（x）+f（2﹣x）=0，f（x+1）=﹣=3x．
（1）证明：f（x）为奇函数； （2）求f（x）在
上的表达式；
时，log3f（x）＞x2﹣kx﹣2k有
，当＜x＜1时，f（x）
（3）是否存在正整数k，使得
解，若存在求出k的值，若不存在说明理由．
【考点】其他不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．
【分析】（1）由f（x+1）=﹣，可求得f（x）的周期为2，再由f（x）+f
（2﹣x）=0可证f（x）+f（﹣x）=0，f（x）为奇函数；
（2）﹣1＜x＜﹣时，＜﹣x＜1，利用f（﹣x）=3﹣x及f（x）=﹣f（﹣x），即可求得f（x）在
（3）任取x∈（2k+
上的表达式；
，2k+1），则x﹣2k∈
，利用
，可得
可知不存在这样的k∈N+．
【解答】（1）证明：f（x+2）=f（x+1+1）=﹣期为2…（2分）
，从而
=f（x），所以f（x）的周
由f（x）+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（﹣x）=0，所以f（x）为奇函数．…（4分）
（2）解：﹣1＜x＜﹣时，＜﹣x＜1，则f（﹣x）=3﹣x…（6分） 因为f（x）=﹣f（﹣x），所以当
时，f（x）=﹣3﹣x…（8分）
，
（3）解：任取x∈（2k+，2k+1），则x﹣2k∈所以f（x）=f（x﹣2k）=3x﹣2k…（10分）
，
．
∴∴
．
，
所以不存在这样的k∈N+…（13分）
【点评】本题考查函数的周期性与奇偶性的判定，考查函数解析式的求法及解不等式的能力，属于难题． 选做题：
22．（10分）（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数
+
=1，直线l：
（t
方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：故曲线C的参数方程为对于直线l：
，
+
=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
，（θ为参数）．
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为则
．
，其中α为锐角．
． ．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为
【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．
23．（2016秋•遂川县校级月考）设函数f（x）=|x﹣a|． （1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|； （2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．
【分析】（1）当a=2时，不等式即|x﹣2|+|x﹣1|≥4，再利用绝对值的意义，求得它的解集．
（2）不等式即即|x﹣a|≤1，即a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[0，2]，可得a﹣1=0，a+1=2，由此求得a的值，从而求出+
=1，根据乘“1”法，
=a（m＞0，n＞0），求：m+2n的
求出m+2n的范围即可．
【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，由不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|，
可得|x﹣2|+|x﹣1|≥4．
由于|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到2、1对应点的距离之和， 而﹣0.5和3.5对应点到2、1对应点的距离之和正好等于4， 故不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|的解集为{x|x≤﹣0.5或 x≥3.5}． （2）f（x）≤1，即|x﹣a|≤1，即﹣1≤x﹣a≤1，即a﹣1≤x≤a+1， 再根据f（x）≤1的解集为[0，2]，可得a﹣1=0，a+1=2，求得 a=1； 故+
=1，
）=2+
+
≥2+2
=4．
故m+2n=（m+2n）（+
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法以及基本不等式的性质，体现了等价转化的数学思想，是一道中档题．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容