05-06学年第二学期期末考试试卷
试卷代码：03644C卷 课程名称：线性代数（工）
课时：64
适用对象：选课班
一、单项选择题（3′×4=12′）
1．已知向量组α1=(a,1,1)，α2=(1,a,−1)，α3=(1,−1,a)线性相关。则a为
A．a≠2且a≠-1 B．a=2或a=-1 C．a=2 D．a=-1 2．下列说法正确的命题个数为
n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0
n阶方阵A可逆的充要条件是A的列向量组线性无关 n阶方阵A可逆的充要条件是A有n个不同的特征值 n阶方阵A可逆的充要条件是A有n个不同的特征向量 A：1 B：2 C：3 D：4 3．齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是 A．A中的列向量组线性相关 B．A中的行向量组组性相关 C．A中的列向量组线性无关 D．A中的行向量组线性无关 4．二次型f(x1，x2，x3)=2x12－x1x2+x22的矩阵为
⎛2−10⎞⎜⎟−1/2⎞⎛2−1⎞⎛2
⎟A．⎜．⎜−110⎟⎜−11⎟⎟ B．⎜⎜−1/2⎟ C1⎝⎠⎝⎠⎜000⎟
⎝⎠
−1/20⎞⎛2
⎜⎟
D．⎜−1/210⎟
⎜000⎟⎝⎠二、填空题（3′×5=15′）
1．设向量组α1(a,3,1)，α2(2,b,3)，α3(1,2,1)，α4(2,3,1)的秩为2，则a、b的取值为 。
2．设A为三阶方阵且|A|＝3，则行列式|5A-1－4A*|＝ 。
1
3．设λ=2是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵(A2)−1有一特征值 3
⎛0B⎞-1
⎟4．已知A、B为n阶矩阵，D＝⎜，|D|≠0则D＝ 。 ⎜A0⎟⎝⎠
。
5．已知Am×n，Bm×s则R（A）、R（B）与R（A，B）的关系为 第 1 页 共 1 页
。
三、计算题（8′×2=16′） 1．先化简，再计算
⎛123⎞⎛321⎞⎜⎟⎜⎟
已知C=⎜012⎟，B=⎜032⎟，矩阵A满足A(E－C-1B)TCT=E，求矩阵
⎜001⎟⎜003⎟⎝⎠⎝⎠
A。
2．设四元非齐次线性方程组AX=B，R（A）=3，X1，X2，X3为它的解向量X1+X2=(1,1,0,2)T，X2+X3=(1,0,1,3)T求AX=B的通解。
四、计算题（15′×3=45′）
TTT
1．已知α1＝(1,2,0,3)，αT2=(2,3,4,1)，α3=(1,3,-4,8)，α4＝(4,7,4,7)。 求向量组α1α2α3α4的一个极大无关组，并用极大无关组表示其余向量。 ⎧x1+x2+λx3=−2
⎪
（1）无解；(2)有唯一解；（3）2．当λ为何值时，方程组⎨x1+λx2+x3=−2，
⎪λx+x+x=λ−3
23⎩1有无数解，并求出用导出组的基础解系表示的无数解。
3．设3阶实对称矩阵A的特征值为3，1，1，与特征值3对应的特征向量为α=(1,10)T，求矩阵A。
五、证明题（6′×2=12′）
1．设A，B为n阶方阵，且AB＝0，求证：R(A)+R(B)≤n。
2．设X0是非齐次线性方程组AX＝b的一个解，X1,X2,…,Xn-r是AX＝0的基础解系，求证：X0，X1，X2,…，Xn-r线性无关。
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