(完整)2.15 分段函数专题讲义

高三总复习—-分段函数专题

分段函数的定义:

分段函数;对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 知识点梳理

一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数. 二、注意：

1、分段函数是一个函数，而不是几个函数; 2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集； 3、分段函数的值域是各段函数值的并集。 4、解决分段函数的方法:先分后合 三、涉及的内容及相应的常用方法：

1、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；

2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论;

3、单调性： 各段单调(如递增）+连接处不等关系.

①f1x在(,a)上f1x,x(,a](如fx在R上是增函数，则②f2x在[a,)上)；

f2x,x[a,)③f1af2a4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性,否则为非奇非偶函数；

0

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5、图像性质或变换等： 作图、赋值等,注意变量的范围； 6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；

7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图； 例题讲解：

题型一、分段函数的图像。 1.作出函数yxx1的图象

2. 函数ye

y 1 0 1

A

lnx|x1|的图象大致是 （ ）

y 1 y 1 0 B x 0 C 1 x y 1 0 D 1 x x -1 题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数f(x)

x(1x)(x0),的奇偶性

x(1x)(x0).2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时,f(x)x2x3.求f（x）的解析式。

2题型三、分段函数的最值

1、对定义域分别是Df,Dg的函数yf(x),yg(x)。规定：

1

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f(x)g(x),当xD且xD,fg当xDf且xDg 函数h(x)f(x),当xDg且xDfg(x),(I)若函数f(x)1,g(x)x2，写出函数h(x)的解析式； x1（II）求问题（I）中函数h(x)的值域；

题型四、与分段函数有关的不等式与方程 1、已知f(x)(x0)1　　，则不等式x(x2)f(x2)5的解集是________ (x0)1　　2x2,2、已知函数f(x)x若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根,则数k的取值范围

(x1)3,x2是_______ 3、设f(x)

lgx,x0，若f(f(1))1，则a a2x03tdt,x0题型五、分段函数创新题 1、定义运算xyA.mxy(xy),若m1mm1,则m的取值范围是( ） (xy)11 B。 m1 C。 m D. m0 222、对实数a与b,定义新运算“”：aba,ab1, 设函数f(x)x22xx2,xR.若函

b,ab1.数yf(x)c的图像与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是（ ）

2

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3311A．,21, B．,21, C．,, D。

2444311,,44111,x0sgn(x)sgn(x)1223.定义符号函数sgn0,x0,设f(x)f1(x)f2(x),x0,1,

221,x011 其中f1(x)x,f2(x)2(1x),若f(f(a))0,,则实数a的取值范围是 。

22总结:

1、分段函数是高考的一个热点,它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。

2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。

3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解,然后取这些不等式（组）解集的并集。

4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。

课后作业：

x12e,x2,1、设f（x)=  则不等式f(x)>2的解集为 2log3(x1),x2,(A）(1，2）(3，+∞）(B）(10，+∞）(C）（1，2） （10 ，+∞）（D)（1,2) 2、已知f(x)1，(3a)x4a,x＜是（-,+）上的增函数，那么a的取值范围是( ）

logax,x135（A）(1，+) (B）(-,3） （C）[，3） 3、设定义为R的函数f(x)lgx1,x1,0,x1. (D）（1,3)

则关于x的方程f2(x)bf(x)c0

有7个不同的实数解的充要条件是 ( ） A。 b0且c0 B. b0且c0 C. b0且c0 D. b0且c0

3

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4、定义在R上的函数f(x)满足

log2(1x),x0,f(x)则f(2013)的值为（ )

f(x1)f(x2),x0, A。-1 B。0 C.1 D.2

4x3(x0)5、求函数f(x)x3(0x1)的最大值

x5(x1)6、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

（Ⅰ）当0x200时，求函数v(x)的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆

/小时）

f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值。(精确到

1辆/小时）

第10周作业：函数专题1—分段函数参:

4

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题型一、分段函数的图像。

1。作出函数yxx1的图象（略） 2. 答案 D

题型二、分段函数的奇偶性

1、 解。设x0,则x0,所以，f(x)x(1x),f(x)x(1(x))[x(1x)]f(x).

所以，函数为奇函数。

2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)x2x3.求f（x）的解析式.

2解.设x0,x0,所以f(x)(x)22(x)3x22x3 又因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)

所以。x0时，有f(x)x22x3,又因为f(0)0,所以

x22x3,　　(x0)f(x)0　　　　　　(x0).

x22x3　　(x0)

题型三、分段函数的最值

x21、解（1）h(x)x11x(,1)(1,)x1

x21x12. （2）当x1时,h(x)x1x1若x1,则h(x)4,其中等号当x=2时成立, 若x1,则h(x)4,其中等号当x=0时成立， ∴函数h(x)的值域(,0]{1}[4,)

题型四、与分段函数有关的不等式与方程 1、【答案】,2,

2、【答案】（0，1)【解析】画出函数图象与直线y=k,观察，可得结果，考查了函数与方程、数

形结合的数学思想.

5

32(完整)2.15 分段函数专题讲义

aa3、【答案】1【解析】f(f(1))f(lg1)f(0)003t2dtt3|0a31a1

题型五、分段函数创新题 1、答案A

2、【答案】B 【解析】由题意知,若x22(xx2)1,即1xx22(xx2)1,即x1或x3时， f(x)x22;当23时, f(x)xx2，要使函数yf(x)c的图像与x轴恰有两个2公共点,只须方程f(x)c0有两个不相等的实数根即可,即函数yf(x)的图像与直线yc有两个不同的交点即可,画出函数yf(x)的图像与直线yc,不难得出答案B。 3.

11(,) 42作业：

3a0a11a3 1、答案：C 2、答案:D。3a14alog1a

3、答案:C.设tf(x)由函数yfx的图中得，方程t2btc0有两根，其中一根t0，另一根t0。

4、答案：D.法一、分别求出f1、f2、、f6,观察可得周期为6

法二、由f(x)f(x1)f(x2),迭代得f(x1)f(x)f(x1),f(x1)f(x2) 5、fmax(x)4。

6、本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。

解析：

（Ⅰ）由题意：当0x20时,v(x)60;当20x200时，设v(x)axb

再由已知得

1a,200ab0,3，解得200

20ab60.b.360,0x20,故函数v(x)的表达式为v(x)1(200x),20x200.

3 6

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（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

当0x20时，

60,0x20,f(x)1

(200x),20x200.3f(x)为增函数,故当x20时，其最大值为60×20=1200；

当20x200时，

11x(200x)210000f(x)x(200x)[],

3323当且仅当x200x，即x100时，等号成立. 所以，当x100时，综上,当x100时，

f(x)在区间［20,200]上取得最大值

100003.

f(x)在区间[0,200］上取得最大值

100003333。 3即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.

与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解的方法．

一、求分段函数的函数值

例1 已知函数

求f｛f［f（a）］｝ （a<0)的值。

分析 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由

a<0, f（a)=2a,又0〈2a〈1,

7

，

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所以，

， 。

注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．

二、求分段函数的解析式

例2 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：

(I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式 Q=g(t);

(II）认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

解析： （I）由图l可得市场售价与时间的关系为

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由图2可得种植成本与时间的函数关系为

（0≤t≤300）。

（II）设t时间的纯收益为h（t），由题意得

h(t)=f(t)-g(t）

再求h（t)的最大值即可。

注：观察图1，知f（t)应是一个关于t的一次分段函数，观察图2可知g（t）是关于t的二次函数，可设为顶点式，即设g（t）=a(t-150)2+100。

三．求分段函数的最值

例3．求例2中的利润函数（即上市的西红柿收益）在何时上市可使西红柿的纯收益最大?

解析:当0≤t≤200时,配方，整理,得

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所以当t=50时，h（t）取得区间[0,200]上的最大值100;

当200。

所以当t=300时，h（t）取得(200，300］上的最大值87.5.

综上，由100〉87.5知，h(t）在区间[0,300］上可取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。

例4．设a为实数,函数f（x）=x2+|x—a|+1,x∈R， 求f(x)的最小值。

分析：因为原函数可化为

所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可。

解:当x所以若，则函数f（x)在（-∞，a］上单调递减，从而f(x）在(—∞，a］上的最小值

为f（a）=a2+1.

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若

，则函数f（x）在（—∞,a]上的最小值为，且；

当x≥a时，函数

;

若

，则函数f（x)在［a,+∞)上的最小值为，且.

若

,则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a）=a2+1。

综上，当

时，函数f（x）的最小值是;

当

时，函数f(x)的最小值是a2+1；

当

时,函数f(x）的最小值是。

注:分段函数的最值求解的方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的.

四．求分段函数的值域

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例5．求函数

的值域。

解：因为当x≥0时，x+1≥1；当x〈0时，-x〈0。

所以，原函数的值域是［1,+∞）∪(—∞，0).

注：分段函数的值域求解,只要分别求出各部分的值域,再取其并集即可。

五．判定分段函数的奇偶性

22

例6．判断函数

解：当x〉0时，—x〈0,

的奇偶性.

f(—x）=—(—x)2(-x+1）=x2(x—1）=f（x);

当x=0时，f(-0)=f(0）=0；

当x<0时，f（—x）=(-x）2(—x-1)=-x2(x+1)=f(x)。

因此，对任意x∈R都有f（—x)=f（x)，所以函数f（x）为偶函数.

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注:分段函数的奇偶性必须对x的值分类，从而比较f（—x)与f（x）的关系，得出f（x)是否是奇偶函数的结论.

六．判断分段函数的单调性

例7．判断函数

的单调性。

分析：由于x∈R，所以对于设x1〉x2必须分成三类:

1。当x1〉x2〉0时,则f（x1）—f（x2）=

2。当0>x1>x2时，则

3.当x1>0>x2时,则

综上所述：x∈R,且x1>x2时，有f(x1）-f（x2)>0。

所以函数f(x)是增函数。

注:分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论。

七．求分段函数的反函数

;

=（x1—x2）（x1+x2）>0；

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例8．求函数

的反函数。

解：∵ f（x）在R上是单调减函数，

∴ f（x)在R上有反函数。

∵ y=x2+1(x≤0)的反函数是

y=1-x(x〉0)的反函数是y=1-x（x<1)，

(x≥1），

∴ 函数f（x）的反函数是

注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可.

八．分段函数的图象

例9．已知函数f(x）=｜x2-2x—3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点,求a的值。

解：∵ f(x）=｜(x-1）2—4｜=|（x+1）（x—3)｜，

∴

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由图象易知a=4。

注:此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像,再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单。

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