一元函数微积分基本练习题及答案

一、极限题

x211、求lim(cosx)x. 2、求极限 lim2t(e1)dt02x0x0sinx16。

xanctarmil3、、

x0nsix2anctar(xsinxx2 4、limx0x)x1

5、xlim(edt)2xt20x0edt2t2 6、

x0limxln(ex1)

7、lim(1xe)x012x1cosxxxx 8、 lim

x11xlnx29、lim(tanx)(ex1)32x0(sin2x)ln(1x)1xaxbxcx1)x ， (a,b,c0,1) 10、lim(x0312lim(2x1)(e1)lim(cotx) 11、 12、

x0x2xex1113、lim

x1sin3(1x)3xf(x)12xA14、

x0x0 在x0点连续，则A=___________

二、导数题

1、设yxsinx，求y.

22、已知方程xyee0确定了隐函数yy(x),求y.

xy3、求函数f(x)x(x5)的单调区间与极值.

32.

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4、要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？ 5、

f(x)(x1)(x2)(xn) .求fxy(n)(x)

6、xy 求dy 7、F(x)1x1sinxsint2dt 求F(x)

8、设9、设

ex1x0f(x) 求a,b使f(x)在x0点可导.

4axbx0f(x)可导且f(0)f(1)1 .若yf(2sin2x)2f(sin2x) 求dyx0

xe2x10、设yarctaneln, 求y.

1e2xy11、设xy, 求dy.

x2xnx)e，n为正整数，求f(x)的极值. 12、设f(x)(1x2!n!2213、设f(x)在x0点连续，f(0)0，又f(x)在x0点可导且[f(x)]|x0f(0)，

求f(0).

14、设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，f(0)f(1)0，f()1. 证明：(0,1)使f()1

15、设函数f(x)0且二阶可导，ylnf(x)，则y__________ 16、ysinxcos(xy)0，则dy__________ 17、yxsinx12，求y

18、求函数yx的极值 21xd2y19、ysinxy，求2

dx.

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dy dxx921、求过原点且与曲线y相切的切线方程。

x520、ysinxcosx，求

22、

y(lnx)lnx，求y

23、设

axb,x1f(x)2 试求a,b使f(x)在x1点连续、可导.

,x1x24、设f可导，

2yyef(sinx)f(esinx)，求dy

dx225、设xyecos(xy) ， 求dy 26、设

yarccos1x2，则y

27、设f(x)x(x1)(x2)…(x100)，则f(0) 28、设f(x)二阶可导，f(x)0,f(0)0.证明：

f(x)在,0和0,上都单增. xa29、设f(x)1x2xbx0x0 在x0点可导， 求a,b .

30、设

yxaaaxxaax ， 求 y .

31、设函数yy(x)由方程exycos(xy)0确定，则 dyx0

(10)32、设f(x)ln(1x) ，则 f(0)

xf(x)33、设f(u)是u的已知可导函数，求函数yf(a)b1的正数。 34、求满足关系式

的导数，其中a与b均为不等于

x0f(t)dtxtf(xt)dt的可微函数f(x)

0xf(xhx)1hlim()ex，求f(x). 35、设f(x)0在(0,)内可导且limf(x)1.若h0xf(x)36、设

1yarcsin(asinx) ，求y及y

37、设F(x)10x1xf(t)dt, 其中f(t)连续，求F(x)

.

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38、yxsinx，则 y’ =___________ 239、设

0f(tx)dtsin(3x22x) ，其中f连续，求f(x)

12sinx,x040、设f(x)x 求f() ， f(0)

2,x00dx4dt41、计算 2x4dx1t

三、积分题

1、求

arccosxdx. 2、求10x1dx. 2x43、求

1xdx2xedx 4、xdxx ee5、7、

10x1x2 6、

dx

x(1x)ln(123x)dx

a(1cos)在第二象限所围成的面积.

23238、求心形线r9、证明曲线xya10、求

(a0)上任一点的切线介于两坐标轴间的一段长度为常数。

yx33x3 的极值，并求出该曲线介于极值点间的曲边梯形面积。

2I11、计算 13、计算

22excosxexdx 12、dx

2x1exe1ln(1x)xdx 14、dxx2

1x9215、已知f(0)1，f(2)3，f(2)5，计算I0xf(2x)dx

16、求ysinx(0x)与x轴所围图形绕y1的旋转体积。

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17、xarctanxdx 18、

x29dx 2x19、

dx3 20、2cosxcosxdx

x(1x)221、

lnxxdxdx 22、(1x)2(x21)1x2

23、

201sinxdx2

2224、求圆 x(y5)16 绕x轴旋转所成环体的体积V 25、

lnsinxarctanx 26、求 dxsin2xdx x(1x)27、求ysinx与ysin2x在0,上所围图形的面积

28、若secx是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx

2229、

282x2dx 30、(lnlnx1)dx lnxx31、在曲线ye (x0)上找一点，使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最

大，并求出该面积值。

四、证明题

1、证明不等式：当x1时，exe.

x2、证明

1xf(x)(1)在(0,) 内严格单增

xn1] ，n

3、

设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)f(1),试证，对于n2,3,...,存在 n[0,1使得 f(n) f(n) . n.

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yx, 24、 1x 其中当x0时， 是x的高阶无穷小量， y(0). 试求y(1) 的值。 设函数yy(x)在任一点x处的增量为y5、设f(0)0，f(x)0，证明：x1,x20，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)。 6、设fxx1x2x3x4，则方程f'x0有几个不同的实根？ 并证明之。 7、设

f(t) 为连续的奇函数，试问g(x)f(t)dt 的奇偶性如何，并证明你的结论.

0x1arctanx （9分） 8、试证：当x0时，x29、证明不等式

xln(1x)x ， x0 （本题10分） 1x110、设函数f(x)在0,1连续，在(0,1)可导，且满足5f(x)dxf()

4512求证：存在,1使f()0 。

2

1.

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