2020-2021学年河南省郑州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（ ） A．2：3：2：3
B．2：3：3：2
C．2：2：1：1
D．1：2：3：4
3．（3分）已知x＞y，下列变形正确的是（ ） A．x﹣3＜y﹣3
B．2x+1＜2y+1
C．﹣x＜﹣y
D．＜
2
2𝑥
𝑦
4．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．m （a+b）＝ma+mb C．x2+x＝x2（1+𝑥）
1
B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
5．（3分）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 6．（3分）解分式方程
2𝑥−1
+
𝑥+21−𝑥
=3时，去分母后变形为（ ）
B．2﹣x+2＝3（x﹣1） D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） C．2﹣（x+2）＝3（1﹣x）
7．（3分）生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（ ）
第1页（共17页）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形
8．（3分）把一些书分给几名同学，若每人分10本，则多8本；若每人分11本，仍有剩余．依题意，设有x名同学，可列不等式（ ） A．10x+8＞11x C．10（x+8）＞11x
B．10x+8＜11x D．10（x+8）＜11x
9．（3分）某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（ ）
A．三个人都正确 C．乙有错误
B．甲有错误 D．丙有错误
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），找一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A．（2，4）
B．（﹣4，2）
C．（0，﹣4）
D．（﹣3，2）
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 ． 12．（3分）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为xmg，则x的取值范围是 ．
第2页（共17页）
13．（3分）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，判断三角形的形状 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
15．（3分）如图，边长为1的等边三角形ABC，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD．若BD的长为√3，则m的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（8分）请写出一对互逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．
17．（9分）小丽和小刚从家到学校的路程都是3km，小丽走的是平路，骑车速度是2vkm/h，小刚骑车需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h．
（1）从家到学校小丽和小刚分别需要多长时间？ （2）小丽和小刚谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
18．（10分）如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，A（﹣1，4），B（﹣4，1）．解答下列问题：
（1）将线段AB绕原点O旋转180°得到线段CD，再将线段CD向下平移2个单位长度得到线段EF，画出线段CD和线段EF，请说明你的画法．
（2）在（1）的条件下，线段AB上存在点Q（a，b），则其在线段EF上的对应点Q1的坐标为 ；
第3页（共17页）
（3）如果线段AB可以通过一次旋转得到线段EF，则旋转中心P的坐标为 ．
19．（12分）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，E是BC延长线上一点，且CE=BC．请从图中找出除△ABC外所有的等腰三角形，并说明理由．
1
2
20．（12分）《郑州市非机动车管理办法》2021年5月1日起正式实施，其中规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元． （1）第一批头盔进货单价多少元？
（2）若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1000元，那么销售单价至少为多少元？
21．（12分）如图，用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，找到对角线交点O，用大头针在点O处将一根平放在平行四边形上的细直木条固定，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，可随意停留在任意位置．
（1）木条把平行四边形ABCD分成了两部分，在拨动细木条的过程中，两部分的面积是否始终相等？答： （填“是”或“否”）； （2）木条与▱ABCD的边AD，BC相交于点E，F．
第4页（共17页）
①请判断OE与OF是否始终相等，并说明理由；
②以A，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形吗？为什么？
22．（12分）【问题呈现】某市现在有两种用电收费方法：
分时电表
峰时（8：00～21：00） 电价0.56元/千瓦时
谷时（21：00到次日8：00）
电价0.36元/千瓦时
普通电表
电价0.52元/千
瓦时
问题：怎样用电更合算？
【问题解决】设某家庭某月用电总量为a千瓦时（a为常数），其中谷时用电x千瓦时，则峰时用电（a﹣x）千瓦时，分时计价时总价为y1元，普通计价时总价为y2元． （1）分别求y1，y2与用电量的关系式；
（2）当满足什么条件时，家庭使用分时电表合算；
𝑎𝑥
（3）小明家最近两个月用电的数据如下： 谷时用电峰时用电（千瓦时） 180
（千瓦时） 220
则小明家使用分时电表是否合算，请说明理由．
（4）根据分时电表的特点，为了节省电费，应使的值尽可能 （填“大”或“小”），
𝑎𝑥
请给使用分时电表的家庭提出一条建议，使其更加节省电费．
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2020-2021学年河南省郑州市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B．
2．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（ ） A．2：3：2：3
B．2：3：3：2
C．2：2：1：1
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠A：∠B：∠C：∠D可能是2：3：2：3； 故选：A．
3．（3分）已知x＞y，下列变形正确的是（ ） A．x﹣3＜y﹣3
B．2x+1＜2y+1
C．﹣x＜﹣y
【解答】解：A、两边都减3，不等号的方向不变，故A错误；B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B错误； C、两边都乘以13，不等号的方向改变，故C正确； D、两边都除以2，不等号的方向不变，故D错误； 故选：C．
4．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）第6页（共17页）
D．1：2：3：4
D．𝑥
＜𝑦
2
2
A．m （a+b）＝ma+mb C．x2+x＝x2（1+𝑥）
1
B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意； 故选：D．
5．（3分）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点
【解答】解：∵根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等， 故选：B． 6．（3分）解分式方程
2𝑥−1
+
𝑥+21−𝑥
=3时，去分母后变形为（ ）
B．2﹣x+2＝3（x﹣1） D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） C．2﹣（x+2）＝3（1﹣x）
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1， 得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1）． 故选：D．
7．（3分）生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（ ） A．正方形
B．正五边形
C．正六边形
D．正十二边形
【解答】解：A、2个正方形与3个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×90°+3×60°＝360°；
B、正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角和为108°．108°的
第7页（共17页）
整数倍与60°的整数倍的和不等于360°；
C、2个正六边形与2个三角形能进行平面镶嵌，因为2×120°+2×60°＝360°； D、2个正十二边形与1个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×150°+1×60°＝360°； 故选：B．
8．（3分）把一些书分给几名同学，若每人分10本，则多8本；若每人分11本，仍有剩余．依题意，设有x名同学，可列不等式（ ） A．10x+8＞11x C．10（x+8）＞11x
B．10x+8＜11x D．10（x+8）＜11x
【解答】解：依题意，设有x名同学，可列不等式10x+8＞11x， 故选：A．
9．（3分）某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（ ）
A．三个人都正确 C．乙有错误
B．甲有错误 D．丙有错误
【解答】解：乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1， 而分母和分式本身的符号并没有发生变化， 所以乙有错误． 故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），找一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
第8页（共17页）
A．（2，4）
B．（﹣4，2）
C．（0，﹣4）
D．（﹣3，2）
【解答】解：如图所示：
观察图象可知，满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（﹣4，2）或（0，﹣4）， ∴点D的坐标不可能是（﹣3，2）， 故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 【解答】解：∵无论字母x取何值，x2+1＞0， ∴x2+1≠0， ∴
1𝑥2+1
1𝑥2+1（答案不唯一） ．
是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义，
1𝑥2+1
故答案为：（答案不唯一）．
12．（3分）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为xmg，则x的取值范围是 50≤x≤200 ．
第9页（共17页）
【解答】解：由题意，当每日用量100mg，分2次服用时，一次服用的剂量最小为50mg；当每日用量200mg，分1次服用时，一次服用的剂量最大为200mg． 根据依题意列出不等式组： 𝑥≥50{， 𝑥≤200
解得50≤x≤200，
∴x的取值范围是50≤x≤200mg． 故答案为：50≤x≤200．
13．（3分）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，判断三角形的形状 等腰三角形 ．
【解答】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b+c）＝0， ∵a+b+c≠0， ∴a﹣b＝0，即a＝b， 则△ABC为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形．
14．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 2.5 ．
【解答】解：连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3， ∴BD=√𝐴𝐷2+𝐴𝐵2=√32+42=5， ∵点E，F分别为DM，MN的中点， ∴EF=2DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为5， ∴EF长度的最大值为2.5，
第10页（共17页）
1
故答案为：2.5．
15．（3分）如图，边长为1的等边三角形ABC，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD．若BD的长为√3，则m的值为 1或√7 ．
【解答】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上， ∵△ABC是等边三角形， ∴点B在AC的垂直平分线上， ∴BD垂直平分AC， 设垂足为E， ∵AC＝AB＝1， ∴BE=2，
当点D、B在AC的两侧时，如图， ∵BD=√3， ∴BE＝DE， ∴AD＝AB＝1， ∴m＝1；
当点D、B在AC的同侧时，如图， ∵BD′=√3， ∴D′E=2√3，
∴AD′=√𝐷′𝐸2+𝐴𝐸2=√7， ∴m=√7，
第11页（共17页）
√33
综上所述，m的值为1或√7， 故答案为：1或√7．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（8分）请写出一对互逆命题，并判断它们是真命题还是假命题． 【解答】解：同位角相等，两直线平行． 两直线平行，同位角相等． 这两个命题都是真命题．
17．（9分）小丽和小刚从家到学校的路程都是3km，小丽走的是平路，骑车速度是2vkm/h，小刚骑车需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h．
（1）从家到学校小丽和小刚分别需要多长时间？ （2）小丽和小刚谁在路上花费的时间少？少用多长时间？ 【解答】解：（1）小丽花费的时间为：
1𝑣𝑣1
32𝑣
h，
2
小刚上坡路走的时间：，下坡路走的时间：小刚花费的总时间为：+（2）∵
53𝑣
23𝑣
3𝑣
，
=
53𝑣
h；
−
32𝑣
=
16𝑣
＞0，
16𝑣
∴小丽花费的时间短，少用了h．
18．（10分）如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，A（﹣1，4），B（﹣4，1）．解答下列问题：
（1）将线段AB绕原点O旋转180°得到线段CD，再将线段CD向下平移2个单位长度得到线段EF，画出线段CD和线段EF，请说明你的画法．
（2）在（1）的条件下，线段AB上存在点Q（a，b），则其在线段EF上的对应点Q1的
第12页（共17页）
坐标为 （﹣a，﹣b﹣2） ；
（3）如果线段AB可以通过一次旋转得到线段EF，则旋转中心P的坐标为 （0，﹣1） ．
【解答】解：（1）如图，CD和EF为所作；
（2）点Q（a，b）关于原点对称的点的坐标为（﹣a，﹣b），
把点（﹣a，﹣b）向下平移2个单位得到点Q1，点Q1的坐标为（﹣a，﹣b﹣2）； 故答案为（﹣a，﹣b﹣2）；
（3）线段AB可以绕点P（0，﹣1）旋转180°得到线段EF， 故答案为（0，﹣1）．
19．（12分）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，E是BC延长线上一点，且CE=2BC．请从图中找出除△ABC外所有的等腰三角形，并说明理由．
1
第13页（共17页）
【解答】解：△BDE和△CDE是等腰三角形， 理由是：∵等边三角形ABC，DB⊥AC，
∴∠ACB＝60°，CD＝AD=2AC=2BC，∠DBC＝30°， ∵CE=BC， ∴CE＝CD，
即△CDE是等腰三角形， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠CDE+∠E＝∠ACB， ∴∠CDE＝∠E=∠ACB＝30°， ∴∠DBC＝∠E， ∴BD＝DE，
即△BDE是等腰三角形．
20．（12分）《郑州市非机动车管理办法》2021年5月1日起正式实施，其中规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元． （1）第一批头盔进货单价多少元？
（2）若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1000元，那么销售单价至少为多少元？
【解答】解：（1）设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为（x+10）元， 根据题意，得
5400𝑥+10
1
2121
1
=3×
1600𝑥
，
解得：x＝80．
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， 答：第一批头盔进货单价为80元；
第14页（共17页）
（2）第一批头盔进货数量为1600÷80＝20（个），第二批头盔进货数量为60个． 设销售单价为y元，
根据题意，得（20+60）y﹣（1600+5400）≥1000， ∴y≥100．
答：销售单价至少为100元．
21．（12分）如图，用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，找到对角线交点O，用大头针在点O处将一根平放在平行四边形上的细直木条固定，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，可随意停留在任意位置．
（1）木条把平行四边形ABCD分成了两部分，在拨动细木条的过程中，两部分的面积是否始终相等？答： 是 （填“是”或“否”）； （2）木条与▱ABCD的边AD，BC相交于点E，F． ①请判断OE与OF是否始终相等，并说明理由；
②以A，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形吗？为什么？
【解答】解：（1）两部分的面积相等，理由如下： 设细木条与AB交于点G，与CD交于点H，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OAG＝∠OCH，△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△AOD的面积， 在△AOG和△COH中， {𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∠𝐴𝑂𝐺=∠𝐶𝑂𝐻
∴△AOG≌△COH（ASA）， 同理：△BOG≌△DOH（ASA），
∴△AOG的面积+△AOD的面积+△DOH的面积＝△COH的面积+△BOC的面积+△
第15页（共17页）
∠𝑂𝐴𝐺=∠𝑂𝐶𝐻
BOG的面积，
即四边形AGHD的面积＝△BGHC的面积，
∴在拨动细木条的过程中，两部分的面积是始终相等， 故答案为：是；
（2）①OE与OF始终相等，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC． ∴∠OAE＝∠OCF， 在△AOE和△COF中， {𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∠𝑂𝐴𝐸=∠𝑂𝐶𝐹
∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF；
②四边形是AECF平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， 由①可得：OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹
22．（12分）【问题呈现】某市现在有两种用电收费方法：
分时电表
峰时（8：00～21：00） 电价0.56元/千瓦时
谷时（21：00到次日8：00）
电价0.36元/千瓦时
普通电表
电价0.52元/千
瓦时
问题：怎样用电更合算？
【问题解决】设某家庭某月用电总量为a千瓦时（a为常数），其中谷时用电x千瓦时，则峰时用电（a﹣x）千瓦时，分时计价时总价为y1元，普通计价时总价为y2元．
第16页（共17页）
（1）分别求y1，y2与用电量的关系式；
（2）当满足什么条件时，家庭使用分时电表合算；
𝑎𝑥
（3）小明家最近两个月用电的数据如下： 谷时用电峰时用电（千瓦时） 180
（千瓦时） 220
则小明家使用分时电表是否合算，请说明理由．
（4）根据分时电表的特点，为了节省电费，应使的值尽可能 大 （填“大”或“小”），
𝑎𝑥
请给使用分时电表的家庭提出一条建议，使其更加节省电费． 【解答】解：（1）根据题意，得： y1＝0.36x+0.56（a﹣x）＝﹣0.2x+0.56a， y2＝0.52a； （2）当y1＜y2时， ﹣0.2x+0.56a＜0.52a， 解得x＞0.2a，
即当＞0.2时，使用分时电表比普通电表合算；
𝑎𝑥
（3）用分时电表更合算， 理由：∵=
𝑎𝑥
180180+220
=0.45＞0.2，
∴用分时电表更合算；
（4）根据分时电表的特点，为了节省电费，应使的值尽可能大；
𝑎𝑥
建议：可将功率较大的电器放在21：00到次日8：00工作以节约电费（建议不唯一）． 故答案为：大．
第17页（共17页）
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