函数单调性和奇偶性情况总结复习资料

课次教学计划（教案）

课题 函数的单调性和奇偶性 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别2. 教学目标 结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性 重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数 教学策略 教学策略：讲练结合，查漏补缺 函数的单调性 1.例1：观察y=x2的图象，回答下列问题

问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着x的增加，y值在增加。

问题2：怎样用数学语言表示呢？

设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）。 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 3.例2.己知函数f（x）＝－x2＋2x＋3,⑴画出函数的图象;⑵根据图象写出函数f(x)的单调区间;⑶利用定义证明函数f（x）＝－x2＋2x＋3在区间(-∞,1］上是增函数;⑷当函数f(x)在区间(一∞,m］上是增函数时,求实数m的取值范围.

1、 用定义判断单调性：

A． 设x1,x2所给范围且x1x2； B．计算f(x1)－f(x2)=几个因式的乘积形式 C．判断上述差的符号；

D.下结论。如果f(x1)f(x2)，则函数是增函数；如果f(x1)f(x2)，则函数是减函数

用定义法判断单调性

1．试用函数单调性的定义判断函数f(x)2x在区间（0，1）上的单调性. x1.-

解：任取x1,x2∈(0,1)，且x1x2. 则f(x1)f(x2)2x12x22(x2x1). x11x21(x11)(x21) 由于0x1x21，x110，x210，x2x10，故f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).

2x所以，函数f(x)在（0，1）上是减函数.

x1【扩展】

1在(1,)的单调性，并用定义证明之． x1②判断函数yx在(0,1)的单调性，并用定义证明之．

x

①判断函数yx求单调区间

1. 判断函数y＝x2－6x＋10在区间（2，4）的单调性______________________ 2. 已知f(x)

2x1，指出f(x)的单调区间_________________________________.

3x2根据图像判断单调性 （看图像，向上趋势的就是增函数，向下趋势的就是减函数；）

1 已知函数f(x)x22x3．

（1） 画出该函数的图象；（2）写出函数的单调区间．

21．已知m2,点m1,y1,m,y2,m1,y3都在二次函数yx2x的图像上，则

A．y1y2y3 B．y3y2y1 C ．y1y3y2 D．y2y1y3 （ ）

根据单调性求参数的取值范围

2ax在(1,)上为增函数，求实数a的取值范围______________________． x122. 如果函数yx(2a1)x1在区间2,2上为减函数，求实数a的取值范围

1.若函数f(x)3 设函数fxx3a1xa在区间1,22上是增函数，求实数a的取值范围。

4.若f(x)x2ax与g(x)2a在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是____________。 x15.若函数f(x)axb2在0,上为增函数,则实数a,b的取值范围是 （ ） .

.-

利用单调性判断函数值

例6.己知函数y=f(x)在［0,十∞)上是减函数,试比较f(

3)与f(a2一a十1)的大小. 4

函数的值域

二、新知导航：

1. 函数最大（小）值定义

最大值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有f(x)M； （2）存在x0I，使得f(x0)M． 那么，称M是函数yf(x)的最大值．

【例1】画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①f(x)x3 ②f(x)x322x[1,2]

x[2,2]

③f(x)x2x1 ④f(x)x2x1

2. 注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)M；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M(f(x)m)． ③利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．1 （1）配方法 （2）换元法 （3）数形结合法

【例2】求函数y

【例3】求函数yx1x的最大值

三、经典范例：

2在区间[2，6] 上的最大值和最小值 x1.-

6的最大值.

x2x1661338. 解：配方为y，由(x)2，得0123123244(x)(x)2424【例1】求函数y所以函数的最大值为8. 【例2】

1. 已知函数f(x)x2x3，求出函数的最值____________________________； 2. 已知函数f(x)x2x3，x[0,4]求出函数的最值_______________________； 3. 已知函数f(x)x2x3，x[2,4]求出函数的最值_______________________; 【扩展】

① 已知函数f(x)x2mx2在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数，求实数m的值；并根据所

求的m的值求函数在(,)上的最值．

②已知函数f(x)x22x3．

（1）写出该函数的单调区间；（2）求函数在区间x2,2上的最值．

③已知函数f(x)2x22222． x（1）试讨论函数在x(0,)上的单调性，并证明之； （2）由（1）试求函数在(0,)上的最值．

【例3】求函数y2xx1的最小值.

解：此函数的定义域为1,，且函数在定义域上是增函数， 所以当x1时，ymin2112，函数的最小值为2.

点评：形如yaxbcxd的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.

115【另解】令x1t，则t0，xt21，所以y2t2t22(t)2，在t0时是增函数，当t048时，ymin2，故函数的最小值为2.

【例4】求下列函数的最大值和最小值：

53（1）y32xx2,x[,]； （2）y|x1||x2|.

22.-

b，即x1. 2a39画出函数的图象，由图可知，当x1时，ymax4； 当x时，ymin.

24539所以函数y32xx2,x[,]的最大值为4,最小值为.

224解：（1）二次函数y32xx2的对称轴为x

四、课堂练习

1. 已知函数ykx2，x0,，下列说法中正确的是（ ） （A）函数有最大值2 （B）函数有最小值2

（C）当k0时函数有最大值2 （D）当k0时函数有最大值2

2. 已知函数f(x)x2mx2在(,1)上是减函数，在(1,)上是增函数，求实数m的值；并根据所求的m的值求函数在(,)上的最值．_________________________________________________

3. 已知函数yx22x2，x3,2，求该函数的最值___________________________________________ 4. 已知函数f(x)x22x3．

（1）写出该函数的单调区间；（2）求函数在区间x1,5上的最值．

6. 函数f(x)x22axa在区间(,1)上有最小值，则a的取值范围是（ ）.

A．a1 B．a1 C．a1 D． a1

7. 已知函数f(x)x2x1,3x[0,]的最大（小）值情况为（ ）.

233 A. 有最大值，但无最小值 B. 有最小值，有最大值1

4419 C. 有最小值1，有最大值 D. 无最大值，也无最小值

4a1在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值. 428. 函数y3x2x的最大值是 .

9. 已知函数yx2ax

函数的奇偶性

1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。 2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？

轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合） 中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转180，能够与另一图形重合） 这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性

.-

1.偶函数 （1）观察函数y=x2的图象（如右图）①图象有怎样的对称性？②从函数y=f(x)=x2本身来说，其特点是什么？

当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。 例如：f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)=f(-2)；f(-1)=1，f(1)=1，

1 1即 f (  1 )  1 ， f ，即 f (  1 )  f ( 1 f(-1)= f(1)，…… ( ) )。242422

由于（-x）2=x2 ∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=x2的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x2的图象上，这时，我们说函数y=x2是偶函数。 （2）定义：

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（even function）。 2例如：函数f(x)x1,f(x)2,f(x)x等都是偶函数。 2x112.奇函数

（1）观察函数y=x3的图象（投影2）

①当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 也是一对相反数。

②这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？如果点（x,y）是函数y=x3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=x3的图象上，这时，我们说函数y=x3是奇函数。 （2）定义 )一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f (  x )   f ( x，那么 函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。 例如：函数f(x)x,f(x)1都是奇函数。 x3.奇偶性

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。 例1.判断下列函数的奇偶性。

（1）f(x)=x3+2x; (2) f(x)=2x4+3x2; (3) f(x)=x2+2x+5;

(4) f(x)=x2,x0,; (5) f(x)=

11; (6) f(x)=x+; xx分析：① 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断；

②函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（x∈R或

x∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶函数。

③从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；

其次f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

.-

例2、判断下列函数的奇偶性

1x1x2（1）f(x)； (2）f(x)(1x)

|x2|21x

判断下列分段函数的奇偶性 (1)f(x)

1

例3.函数f(x)＝－x的图象关于( ) （判断图像性质）

xA．y轴对称 B．直线y＝－x C．坐标原点对称 D．直线y＝x

是增函数。证明y=f(x)在，0上也是增函数。 例4、已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在0，

4.结论： 奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；

偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于Y轴对称; 奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.

x(1x)x(1x)(x0)(x0) (2) f(x)=x|x|+x3

利用函数奇偶性的定义和性质求参数

例1.若函数f(x)1a是奇函数，则a x21x2,x0例2.若函数f(x)a,x0是奇函数，则ab_______

xb,x0

3、如果定义在区间[3a,5]上的函数f(x)为奇函数，则a=_____

4.已知函数f(x)axbxc,x2a3,1是偶函数,则ab 25.已知f(x)axbxcxdx5，其中a,b,c,d为常数，若f(7)7， 则f(7)_______

6.若函数f(x)(k2)x(k1)x2是偶函数，则f(x)的单调递减区间是__________________;

2753.-

7. 已知函数f(x)ax2bxc．

（1）若函数为奇函数，求实数a，b，c满足的条件； （2）若函数为偶函数，求实数a，b，c满足的条件 【总结】

f(x)ax5bx4cx3dx2exf

若函数是奇函数，则____________________________________________;

若函数是偶函数，则_____________________________________________;

求函数表达式：

2. 已知f(x)是偶函数，x0时，f(x)2x24x，求x0时f(x)的解析式.

解：作出函数y2x24x2(x1)22,x0的图象，其顶点为(1,2). ∵ f(x)是偶函数， ∴ 其图象关于y轴对称.

作出x0时的图象，其顶点为(1,2)，且与右侧形状一致， ∴ x0时，f(x)2(x1)222x24x. 【扩展】

①若函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)2xx，试求函数f(x)在x0时的解析式． ②若函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)xx2，试求函数f(x)的解析式．

2

判断抽象函数的奇偶性

1.设f(x)是R上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）

A.f(x)f(x)是奇函数 C.f(x)f(x)是偶函数

B.f(x)f(x)是奇函数 D.f(x)f(x)是偶函数

2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论一定成立的是（ ）

A.f(x)|g(x)|是偶函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数 C. |f(x)|g(x)是偶函数 D.|f(x)|g(x)是奇函数

利用函数的图像比较函数值的大小

例 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2[0,)(x1x2)，有

f(x2)f(x1)0则

x2x1f(3),f(2),f(1)的大小关系是_________.

.-

利用奇偶图像判断单调性以及解不等式（数形结合）

1. 若奇函数f(x)在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]上是（ ）.

A. 增函数且最小值是－1 B. 增函数且最大值是－1

C. 减函数且最大值是－1 D. 减函数且最小值是－1

2.若f(x)为奇函数，且在(0,+)内是增函数，又f(3)0,则xf(x)0的解集为__________________.

3.已知奇函数f(x)的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[1,0)(0,1]，则不等式

f(x)f(x)1的解集是（ ）

A.x|1x1且x0 B.x|1x或0x1 C.x|1x0 D.x|1x0或12 y 1 1

1x1 2o 1 x

题型5：抽象函数的单调性和奇偶性（一般是代入特殊值0,1）

1 例1 已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当

x1时f(x)0,f(2)1，

（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,)上是增函数；

1.已知函数f(x)对一切x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，

1求证：f(x)为奇函数；2若f(3)a，用a表示f(12).

.-

2.已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)f(x)f(y)，且f(1)1,f(27)9，当0x1时，f(x)0,1。 （1）判断f(x)的奇偶性；

（2）判断f(x)在0,上的单调性，并给出证明；

3.定义在区间(1,1)上的函数f (x)满足：对任意的x,y(1,1)，有f(x)f(y)f(

4.设函数f(x)对于任意的x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时f(x)0,f(1)2 （1）求证f(x)是奇函数；

（2）试问当3x3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。

xy). 求证f (x)为奇函数； 1xy5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xx2. （1）当x0时，求f(x)的解析式；

（2）若关于x的方程f(x)2a2a有三个不同的解，求a的取值范围