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函数单调性和奇偶性情况总结复习资料

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课次教学计划(教案)

课题 函数的单调性和奇偶性 1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念,掌握增(减)函数的证明和判别2. 教学目标 结合具体函数,了解奇偶性的含义;学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义,能熟练判别函数的奇偶性 重点难点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数 教学策略 教学策略:讲练结合,查漏补缺 函数的单调性 1.例1:观察y=x2的图象,回答下列问题

问题1:函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的,说明什么?随着x的增加,y值在增加。

问题2:怎样用数学语言表示呢?

设x1、x2∈[0,+∞],得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数(increasing function)。 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。 注意:(1)函数的单调性也叫函数的增减性;(2)注意区间上所取两点x1,x2的任意性; (3)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。 3.例2.己知函数f(x)=-x2+2x+3,⑴画出函数的图象;⑵根据图象写出函数f(x)的单调区间;⑶利用定义证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数;⑷当函数f(x)在区间(一∞,m]上是增函数时,求实数m的取值范围.

1、 用定义判断单调性:

A. 设x1,x2所给范围且x1x2; B.计算f(x1)-f(x2)=几个因式的乘积形式 C.判断上述差的符号;

D.下结论。如果f(x1)f(x2),则函数是增函数;如果f(x1)f(x2),则函数是减函数

用定义法判断单调性

1.试用函数单调性的定义判断函数f(x)2x在区间(0,1)上的单调性. x1.-

解:任取x1,x2∈(0,1),且x1x2. 则f(x1)f(x2)2x12x22(x2x1). x11x21(x11)(x21) 由于0x1x21,x110,x210,x2x10,故f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2).

2x所以,函数f(x)在(0,1)上是减函数.

x1【扩展】

1在(1,)的单调性,并用定义证明之. x1②判断函数yx在(0,1)的单调性,并用定义证明之.

x

①判断函数yx求单调区间

1. 判断函数y=x2-6x+10在区间(2,4)的单调性______________________ 2. 已知f(x)

2x1,指出f(x)的单调区间_________________________________.

3x2根据图像判断单调性 (看图像,向上趋势的就是增函数,向下趋势的就是减函数;)

1 已知函数f(x)x22x3.

(1) 画出该函数的图象;(2)写出函数的单调区间.

21.已知m2,点m1,y1,m,y2,m1,y3都在二次函数yx2x的图像上,则

A.y1y2y3 B.y3y2y1 C .y1y3y2 D.y2y1y3 ( )

根据单调性求参数的取值范围

2ax在(1,)上为增函数,求实数a的取值范围______________________. x122. 如果函数yx(2a1)x1在区间2,2上为减函数,求实数a的取值范围

1.若函数f(x)3 设函数fxx3a1xa在区间1,22上是增函数,求实数a的取值范围。

4.若f(x)x2ax与g(x)2a在区间1,2上都是减函数,则a的取值范围是____________。 x15.若函数f(x)axb2在0,上为增函数,则实数a,b的取值范围是 ( ) .

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利用单调性判断函数值

例6.己知函数y=f(x)在[0,十∞)上是减函数,试比较f(

3)与f(a2一a十1)的大小. 4

函数的值域

二、新知导航:

1. 函数最大(小)值定义

最大值:一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的xI,都有f(x)M; (2)存在x0I,使得f(x0)M. 那么,称M是函数yf(x)的最大值.

【例1】画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? ①f(x)x3 ②f(x)x322x[1,2]

x[2,2]

③f(x)x2x1 ④f(x)x2x1

2. 注意:

①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0I,使得f(x0)M;

②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的xI,都有f(x)M(f(x)m). ③利用函数单调性来判断函数最大(小)值的方法.1 (1)配方法 (2)换元法 (3)数形结合法

【例2】求函数y

【例3】求函数yx1x的最大值

三、经典范例:

2在区间[2,6] 上的最大值和最小值 x1.-

6的最大值.

x2x1661338. 解:配方为y,由(x)2,得0123123244(x)(x)2424【例1】求函数y所以函数的最大值为8. 【例2】

1. 已知函数f(x)x2x3,求出函数的最值____________________________; 2. 已知函数f(x)x2x3,x[0,4]求出函数的最值_______________________; 3. 已知函数f(x)x2x3,x[2,4]求出函数的最值_______________________; 【扩展】

① 已知函数f(x)x2mx2在(,2)上是减函数,在(2,)上是增函数,求实数m的值;并根据所

求的m的值求函数在(,)上的最值.

②已知函数f(x)x22x3.

(1)写出该函数的单调区间;(2)求函数在区间x2,2上的最值.

③已知函数f(x)2x22222. x(1)试讨论函数在x(0,)上的单调性,并证明之; (2)由(1)试求函数在(0,)上的最值.

【例3】求函数y2xx1的最小值.

解:此函数的定义域为1,,且函数在定义域上是增函数, 所以当x1时,ymin2112,函数的最小值为2.

点评:形如yaxbcxd的函数最大值或最小值,可以用单调性法研究,也可以用换元法研究.

115【另解】令x1t,则t0,xt21,所以y2t2t22(t)2,在t0时是增函数,当t048时,ymin2,故函数的最小值为2.

【例4】求下列函数的最大值和最小值:

53(1)y32xx2,x[,]; (2)y|x1||x2|.

22.-

b,即x1. 2a39画出函数的图象,由图可知,当x1时,ymax4; 当x时,ymin.

24539所以函数y32xx2,x[,]的最大值为4,最小值为.

224解:(1)二次函数y32xx2的对称轴为x

四、课堂练习

1. 已知函数ykx2,x0,,下列说法中正确的是( ) (A)函数有最大值2 (B)函数有最小值2

(C)当k0时函数有最大值2 (D)当k0时函数有最大值2

2. 已知函数f(x)x2mx2在(,1)上是减函数,在(1,)上是增函数,求实数m的值;并根据所求的m的值求函数在(,)上的最值._________________________________________________

3. 已知函数yx22x2,x3,2,求该函数的最值___________________________________________ 4. 已知函数f(x)x22x3.

(1)写出该函数的单调区间;(2)求函数在区间x1,5上的最值.

6. 函数f(x)x22axa在区间(,1)上有最小值,则a的取值范围是( ).

A.a1 B.a1 C.a1 D. a1

7. 已知函数f(x)x2x1,3x[0,]的最大(小)值情况为( ).

233 A. 有最大值,但无最小值 B. 有最小值,有最大值1

4419 C. 有最小值1,有最大值 D. 无最大值,也无最小值

4a1在区间[0,1]上的最大值为2,求实数a的值. 428. 函数y3x2x的最大值是 .

9. 已知函数yx2ax

函数的奇偶性

1.回忆增函数、减函数的定义,并复述证明函数单调性的步骤。 2.初中几何中轴对称,中心对称是如何定义的?

轴对称:两个图形关于某条直线对称(即一个图形沿直线折叠,能够与另一图形重合) 中心对称:两个图形关于某一点对称(即把一个图形绕某点旋转180,能够与另一图形重合) 这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性

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1.偶函数 (1)观察函数y=x2的图象(如右图)①图象有怎样的对称性?②从函数y=f(x)=x2本身来说,其特点是什么?

当自变量取一对相反数时,函数y取同一值。 例如:f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)=f(-2);f(-1)=1,f(1)=1,

1 1即 f (  1 )  1 , f ,即 f (  1 )  f ( 1 f(-1)= f(1),…… ( ) )。242422

由于(-x)2=x2 ∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数y=x2的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x2的图象上,这时,我们说函数y=x2是偶函数。 (2)定义:

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)。 2例如:函数f(x)x1,f(x)2,f(x)x等都是偶函数。 2x112.奇函数

(1)观察函数y=x3的图象(投影2)

①当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系? 也是一对相反数。

②这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?如果点(x,y)是函数y=x3的图象上任一点,那么与它关于原点对称的点(-x,-y)也在函数y=x3的图象上,这时,我们说函数y=x3是奇函数。 (2)定义 )一般地,(板书)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f (  x )   f ( x,那么 函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。 例如:函数f(x)x,f(x)1都是奇函数。 x3.奇偶性

如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。 例1.判断下列函数的奇偶性。

(1)f(x)=x3+2x; (2) f(x)=2x4+3x2; (3) f(x)=x2+2x+5;

(4) f(x)=x2,x0,; (5) f(x)=

11; (6) f(x)=x+; xx分析:① 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断;

②函数中有奇函数,也有偶函数,但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数,唯有f(x)=0(x∈R或

x∈(-a,a).a>0)既是奇函数又是偶函数。

③从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数,首先其定义域关于原点对称;

其次f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时:首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算f(-x),看是等于f(x)还是等于-f(x),然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。

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例2、判断下列函数的奇偶性

1x1x2(1)f(x); (2)f(x)(1x)

|x2|21x

判断下列分段函数的奇偶性 (1)f(x)

1

例3.函数f(x)=-x的图象关于( ) (判断图像性质)

xA.y轴对称 B.直线y=-x C.坐标原点对称 D.直线y=x

是增函数。证明y=f(x)在,0上也是增函数。 例4、已知函数y=f(x)在R上是奇函数,而且在0,

4.结论: 奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的;

偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的;

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于Y轴对称; 奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.

x(1x)x(1x)(x0)(x0) (2) f(x)=x|x|+x3

利用函数奇偶性的定义和性质求参数

例1.若函数f(x)1a是奇函数,则a x21x2,x0例2.若函数f(x)a,x0是奇函数,则ab_______

xb,x0

3、如果定义在区间[3a,5]上的函数f(x)为奇函数,则a=_____

4.已知函数f(x)axbxc,x2a3,1是偶函数,则ab 25.已知f(x)axbxcxdx5,其中a,b,c,d为常数,若f(7)7, 则f(7)_______

6.若函数f(x)(k2)x(k1)x2是偶函数,则f(x)的单调递减区间是__________________;

2753.-

7. 已知函数f(x)ax2bxc.

(1)若函数为奇函数,求实数a,b,c满足的条件; (2)若函数为偶函数,求实数a,b,c满足的条件 【总结】

f(x)ax5bx4cx3dx2exf

若函数是奇函数,则____________________________________________;

若函数是偶函数,则_____________________________________________;

求函数表达式:

2. 已知f(x)是偶函数,x0时,f(x)2x24x,求x0时f(x)的解析式.

解:作出函数y2x24x2(x1)22,x0的图象,其顶点为(1,2). ∵ f(x)是偶函数, ∴ 其图象关于y轴对称.

作出x0时的图象,其顶点为(1,2),且与右侧形状一致, ∴ x0时,f(x)2(x1)222x24x. 【扩展】

①若函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)2xx,试求函数f(x)在x0时的解析式. ②若函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)xx2,试求函数f(x)的解析式.

2

判断抽象函数的奇偶性

1.设f(x)是R上的任意函数,下列叙述正确的是( )

A.f(x)f(x)是奇函数 C.f(x)f(x)是偶函数

B.f(x)f(x)是奇函数 D.f(x)f(x)是偶函数

2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论一定成立的是( )

A.f(x)|g(x)|是偶函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数 C. |f(x)|g(x)是偶函数 D.|f(x)|g(x)是奇函数

利用函数的图像比较函数值的大小

例 定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2[0,)(x1x2),有

f(x2)f(x1)0则

x2x1f(3),f(2),f(1)的大小关系是_________.

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利用奇偶图像判断单调性以及解不等式(数形结合)

1. 若奇函数f(x)在[3, 7]上是增函数,且最小值是1,则它在[7,3]上是( ).

A. 增函数且最小值是-1 B. 增函数且最大值是-1

C. 减函数且最大值是-1 D. 减函数且最小值是-1

2.若f(x)为奇函数,且在(0,+)内是增函数,又f(3)0,则xf(x)0的解集为__________________.

3.已知奇函数f(x)的图象是两条直线的一部分(如图所示),其定义域为[1,0)(0,1],则不等式

f(x)f(x)1的解集是( )

A.x|1x1且x0 B.x|1x或0x1 C.x|1x0 D.x|1x0或12 y 1 1

1x1 2o 1 x

题型5:抽象函数的单调性和奇偶性(一般是代入特殊值0,1)

1 例1 已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2),且当

x1时f(x)0,f(2)1,

(1)求证:f(x)是偶函数;(2)f(x)在(0,)上是增函数;

1.已知函数f(x)对一切x,yR,都有f(xy)f(x)f(y),

1求证:f(x)为奇函数;2若f(3)a,用a表示f(12).

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2.已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)f(x)f(y),且f(1)1,f(27)9,当0x1时,f(x)0,1。 (1)判断f(x)的奇偶性;

(2)判断f(x)在0,上的单调性,并给出证明;

3.定义在区间(1,1)上的函数f (x)满足:对任意的x,y(1,1),有f(x)f(y)f(

4.设函数f(x)对于任意的x,yR,都有f(xy)f(x)f(y),且x0时f(x)0,f(1)2 (1)求证f(x)是奇函数;

(2)试问当3x3时,f(x)是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说出理由。

xy). 求证f (x)为奇函数; 1xy5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)2xx2. (1)当x0时,求f(x)的解析式;

(2)若关于x的方程f(x)2a2a有三个不同的解,求a的取值范围

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