一、选择题
1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列多项式分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3 B．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）
C．m3﹣m＝m（m﹣1）（m+1） 2
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（ ） A．（3，6）
B．（1，3）
C．（1，6）
D．（6，6）
D．x2+2xy﹣y2＝（x﹣y）
4．若关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集是x＜1，则m的取值范围是（ ） A．m≠1 C．m＜1
B．m＞1 D．m为任何实数
5．内角和为1800°的多边形是（ ） A．十二边形 B．十边形
C．八边形
D．七边形
6．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
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A．B．C．＝D．
＝﹣＝ ＝
＝1时出现了增根，则m的值为（ ）
C．4
D．2
7．若解关于x的分式方程A．﹣4
B．﹣2
8．如图，菱形ABCD边长为5cm，P为对角线BD上一点，PH⊥AB于点H，且PH＝2cm，则△PBC的面积为（ ）cm2．
A．8 B．7 C．6 D．5
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠ACB＝34°，则∠D的度数为（ ）
A．30° B．28° C．26° D．34°
10．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，4），则不等式﹣2x+b＜0的解集为（ ）
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A．x＞2 B．x＜2 C．x＜4 D．x＞4
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11．若x2+mx+＝（x﹣）2，则m＝ ． 12．若分式
的值为0，则x＝ ．
13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC边上任意一点，作BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．连接DE、DF，当BC＝1时，△ADE与△CDF的周长之和为 ．
14．如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AE⊥BC于E，F为边CD上一动点，连接AF、EF，点G，H分别为AF、EF的中点，则GH的长为 ．
三、计算下列各题（第15题每小题12分，第16题8分，共20分）
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15．（1）解不等式组：（2）解分式方程：16．先化简，再求值：
＝
； ﹣3． ÷（x﹣1﹣
），其中x＝
﹣2．
四、解答题（17、18，19每小题8分、20题10分，共34分） 17．△ABC在平面直角坐标系中如图：
（1）画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1，并写出A1点的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于原点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出△AA1A2的面积．
18．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
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19．新冠肺炎疫情期间，成都江安河社区有甲、乙两个医疗用品公司，免费为医院加工同种型号的防护服．甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？ 20．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．
（1）判断四边形BOCE的形状并证明；
（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△ABG＝2S△OBG时，求t的值．
（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG+BH的最小值．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 21．若x﹣2y＝3，xy＝1，则2x2y﹣4xy2＝ ． 22．若关于x的分式方程围是 ．
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＝的解为非负数，则实数a的取值范
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23．已知关于x的不等式组数，则a的值为 ．
有且只有2个整数解，且a为整
24．如图，正方形ABCD边长为2，F为BC上一动点，作DE⊥AF于E，连接CE．当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，DE的长为 ．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E为BC边上一动点，作EF⊥AE，且EF＝AE．连接DF，AF．当DF⊥EF时，△ADF的面积为 ．
二、解答题（26题8分，27题10分，28题12分，共30分） 26．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
成本（万元/件） 利润（万元/件）
A种产品
2 1
B种产品
5 3
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（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 27．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，连接AF与CE相交于点G，连接DG．
（1）求证：CE⊥AF； （2）求证：AG+CG＝
DG；
（3）连接CF，当EG：AG：FG＝l：2：5，且S正方形ABCD＝100时，求DG的长和△BCF的面积．
28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝﹣x+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M （4，a），分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点，△PBM的面积为15．
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（1）求直线CD解析式和点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，平面直角坐标系内存在点N，使得以点B、N，M、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标； （3）如图2，当点P为直线CD上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接PQ与OQ．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成直线的解析式，以及OQ的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得
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解．
解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D．
2．下列多项式分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3 B．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）
C．m3﹣m＝m（m﹣1）（m+1） 2
【分析】直接利用十字相乘法以及公式法分别分解因式得出答案． 解：A、a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
B、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误； C、m3﹣m＝m（m﹣1）（m+1），正确；
D、x2+2xy﹣y2，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误； 故选：C．
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后
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D．x2+2xy﹣y2＝（x﹣y）
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的坐标为（ ） A．（3，6）
B．（1，3）
C．（1，6）
D．（6，6）
【分析】让横坐标加3，纵坐标不变即可得到所求的坐标． 解：平移后的横坐标为﹣2+3＝1， 纵坐标为3，
∴点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（1，3）， 故选：B．
4．若关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集是x＜1，则m的取值范围是（ ） A．m≠1 C．m＜1
B．m＞1 D．m为任何实数
【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m﹣1后得到x＜1，可知m﹣1＜0，解之可得．
解：∵将不等式（m﹣1）x＞m﹣1两边都除以（m﹣1），得x＜1， ∴m﹣1＜0， 解得：m＜1， 故选：C．
5．内角和为1800°的多边形是（ ） A．十二边形 B．十边形
C．八边形
D．七边形
【分析】首先设这个多边形是n边形，然后根据题意得：（n﹣2）×180＝1800，解此方程即可求得答案． 解：设这个多边形是n边形，
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根据题意得：（n﹣2）×180＝1800， 解得：n＝12．
故这个多边形是十二边形． 故选：A．
6．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A．B．C．＝D．
＝﹣＝ ＝
【分析】根据分式的基本性质对各个选项进行判断． 解：A、
，故A错误；
，故
B、分子、分母同时扩大10倍，结果不变，则B错误；
C、a＝1，b＝2时，此时原式不成立，故C错误； D、分子、分母都除以a+3，值不变，故D正确． 故选：D．
7．若解关于x的分式方程A．﹣4
B．﹣2
＝1时出现了增根，则m的值为（ ）
C．4
D．2
【分析】由分式方程的最简公分母为x﹣2，且分式方程有增根知增根为x＝2，将x＝2代入去分母后所得整式方程，解之可得答案． 解：方程两边都乘以x﹣2，得：2x+m＝x﹣2，
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∵分式方程有增根， ∴分式方程的增根为x＝2，
将x＝2代入2x+m＝x﹣2，得：4+m＝0， 解得m＝﹣4， 故选：A．
8．如图，菱形ABCD边长为5cm，P为对角线BD上一点，PH⊥AB于点H，且PH＝2cm，则△PBC的面积为（ ）cm2．
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】利用菱形的对角线平分对角和角平分线的性质得到点P到BC边的距离＝PH，然后由三角形的面积公式解答． 解：如图，过点P作PM⊥BC于点M． ∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线， ∴直线BD平分∠ABC． 又∵PH⊥AB， ∴PH＝PM＝2cm．
∴S△PBC＝BC•PH＝×5×2＝5（cm2）． 故选：D．
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9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠ACB＝34°，则∠D的度数为（ ）
A．30° B．28° C．26° D．34°
【分析】先由三角形内角和定理求得∠ABC，再由角平分线定义求得∠ABD，最后由平行线的性质求得∠D． 解：∵∠BAC＝90°，∠ACB＝34°， ∴∠ABC＝180°﹣90°﹣34°＝56°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠ABC＝28°， ∵CD∥AB，
∴∠D＝∠ABD＝28°， 故选：B．
10．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，4），则不等式﹣2x+b＜0的解集为（ ）
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A．x＞2 B．x＜2 C．x＜4 D．x＞4
【分析】首先把A点坐标代入一次函数解析式，算出b的值，进而可求出B点坐标，再结合图象可得不等式﹣2x+b＜0的解集． 解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象过A（0，4）， ∴b＝4，
∴函数解析式为y＝﹣2x+4， 当y＝0时，x＝2， ∴B（2，0），
∴不等式﹣2x+b＜0的解集为x＞2， 故选：A．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11．若x2+mx+＝（x﹣）2，则m＝ ﹣3 ．
【分析】已知等式右边利用完全平方公式化简，再利用多项式相等的条件确定出m的值即可．
解：x2+mx+＝（x﹣）2＝x2﹣3x+， 则m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 12．若分式
的值为0，则x＝ ﹣2 ．
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【分析】利用分式值为零的条件进行计算即可． 解：由题意得：x（x+2）＝0且x≠0， 解得：x＝﹣2， 故答案为：﹣2．
13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC边上任意一点，作BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．连接DE、DF，当BC＝1时，△ADE与△CDF的周长之和为 2+
．
【分析】由等腰直角三角形的性质得出AC＝BC＝1，AB＝＝
BC
，由线段垂直平分线的性质得出BE＝DE，BF＝DF，即可得
出△ADE与△CDF的周长之和． 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC＝1，AB＝
BC＝
，
∵EF是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE，BF＝DF，
∵△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+BE+AE＝AD+AB，△CDF的周长＝CD+CF+DF＝CD+CF+BF＝CD+BC，
∴△ADE与△CDF的周长之和＝AD+AB+CD+BC＝AC+AB+BC＝2+
；
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故答案为：2+．
14．如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AE⊥BC于E，F为边CD上一动点，连接AF、EF，点G，H分别为AF、EF的中点，则GH的长为
．
【分析】根据含30°的直角三角形的性质得出AE，进而利用三角形中位线得出GH即可．
解：∵∠B＝60°，AB＝4，AE⊥BC于E， ∴AE＝2
，
∵点G，H分别为AF、EF的中点， ∴GH＝故答案为：
， ．
三、计算下列各题（第15题每小题12分，第16题8分，共20分） 15．（1）解不等式组：（2）解分式方程：
＝
； ﹣3．
【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． （2）关键解分式方程的步骤解答即可． 解：（1）
，
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解不等式①，得x≥﹣1， 解不等式②，得x＜3，
所以原不等式组的解集为﹣1≤x＜3； （2）
＝
﹣3，
方程两边同乘x﹣2，得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2）， 解这个方程，得：x＝2， 因为分式的分母x﹣2≠0，
所以x＝2是原分式方程的增根，原分式方程无解． 16．先化简，再求值：
÷（x﹣1﹣
），其中x＝
﹣2．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式＝解：原式＝＝＝
，
﹣2时，原式＝
＝
．
•
÷
，然后把x的值代入计算即可．
当x＝
四、解答题（17、18，19每小题8分、20题10分，共34分） 17．△ABC在平面直角坐标系中如图：
（1）画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1，并写出A1点的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于原点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出△AA1A2的面积．
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【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1、C1即可； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点得到△A2B2C2，再利用等腰直角三角形的性质计算△AA1A2的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1点的坐标为（﹣3，2）； （2）如图，△A2B2C2为所作； △AA1A2的面积＝×（
）2＝13．
18．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
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【分析】（1）证△ADF≌△CBE（SAS），得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，证出AD∥CB，即可得到结论；
（2）证∠EAB＝∠EBA，得出AE＝BE＝3，则CF＝AE＝3，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， 即AF＝CE， ∵DF∥BE， ∴∠DFA＝∠BEC， 在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE， ∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵∠CEB＝∠EBA+∠EAB＝2∠EBA， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴AE＝BE＝3， ∴CF＝AE＝3，
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∴AC＝AE+EF+CF＝3+2+3＝8．
19．新冠肺炎疫情期间，成都江安河社区有甲、乙两个医疗用品公司，免费为医院加工同种型号的防护服．甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？ 【分析】设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，根据“两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天”列出方程并解答．
解：设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服， 根据题意，得解得x＝50，
经检验：x＝50是所列方程的解， 则1.5x＝75．
答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服． 20．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．
（1）判断四边形BOCE的形状并证明；
（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△ABG＝2S△OBG时，求t的值．
（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG+BH的最小值．
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﹣＝4，
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【分析】（1）结论：四边形BOCE是矩形．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． （2）分两种情形构建方程求解即可． （3）如图2中，设OG＝x，则BG+BH＝
+
，
欲求BG+BH的最小值，相当于在x轴上找一点P（x，0），使得点P（x，0）到A（0，4和B（3，4）的距离最小，如图3中，利用轴对称解决最值问题即可． 解：（1）结论：四边形BOCE是矩形． 理由：∵BE∥OC，EC∥OB， ∴四边形OBEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形BOCE是矩形．
（2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝3cm，OB＝OD＝4cm，
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∵S△ABG＝2S△OBG， ∴AG＝2OG，
∴2t＝2（3﹣2t）或2t＝2（2t﹣3）， 解得t＝1或t＝3，
∴满足条件的t的值为1或3．
（3）如图2中，设OG＝x，则BG+BH＝
+
，
欲求BG+BH的最小值，相当于在x轴上找一点P（x，0），使得点P（x，0）到A（0，4和B（3，4）的距离最小，如图3中，
作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，连接BP，此时PA+PB的值最小， ∵A（0，4），B′（3，﹣4）， ∴AP+PB＝AP+PB′＝AB′＝∴BG+BH的最小值为
．
＝
，
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 21．若x﹣2y＝3，xy＝1，则2x2y﹣4xy2＝ 6 ．
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【分析】原式提取公因式，把已知等式代入计算即可求出值． 解：∵x﹣2y＝3，xy＝1，
∴原式＝2xy（x﹣2y）＝2×1×3＝6． 故答案为：6． 22．若关于x的分式方程围是 a≥且a≠4 ．
【分析】表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a的范围即可． 解：去分母得：6x﹣3a＝x﹣2， 解得：x＝
，
≥0，且
≠2，
＝的解为非负数，则实数a的取值范
由分式方程的解为非负数，得到解得：a≥且a≠4． 故答案为：a≥且a≠4． 23．已知关于x的不等式组数，则a的值为 5 ．
有且只有2个整数解，且a为整
【分析】解不等式组得出其解集为3≤x＜a，根据不等式组只有2个整数解知4＜a≤5，结合a为整数可得答案． 解：解不等式x﹣a＜0，得：x＜a， 解不等式9﹣2x≤3，得：x≥3， 则不等式组的解集为3≤x＜a， ∵不等式组只有2个整数解， ∴不等式组的整数解为3和4， 则4＜a≤5，
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又a为整数， ∴a＝5， 故答案为：5．
24．如图，正方形ABCD边长为2，F为BC上一动点，作DE⊥AF于E，连接CE．当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，DE的长为
．
【分析】作辅助线，构建全等三角形，先确定当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，只存在一种情况：CD＝CE，由等腰三角形三线合一得DG＝EG，证明△AED≌△DGC（AAS），AE＝DG＝DE，设AE＝x，则DE＝2x，在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，列方程可得结论． 解：过C作CG⊥DE于G，
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
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∵DE⊥AF， ∴∠AED＝90°， ∴AD＞DE， ∴CD＞DE，
当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，只能CD＝CE， ∵CG⊥DE， ∴EG＝DG＝DE，
∵∠ADE+∠CDG＝∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠CDG＝∠DAE， ∵∠AED＝∠CGD＝90°， ∴△AED≌△DGC（AAS）， ∴AE＝DG＝DE， 设AE＝x，则DE＝2x，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2， ∵AD＝2，
∴x2+（2x）2＝22， 解得：x＝∵x＞0， ∴x＝
，
， ． ，
∴DE＝2x＝故答案为：
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E为BC边上一动点，
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作EF⊥AE，且EF＝AE．连接DF，AF．当DF⊥EF时，△ADF的面积为 3﹣
．
【分析】作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的长，设AE＝x，证明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE＝
，最后根据三角形面积公式可得结论．
解：如图，过D作DH⊥AE于H，过E作EM⊥AD于M，连接DE，
∵EF⊥AE，DF⊥EF，
∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°， ∴四边形DHEF是矩形， ∴DH＝EF＝AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BAD＝90°， ∵∠AME＝90°，
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∴四边形ABEM是矩形， ∴EM＝AB＝2， 设AE＝x， 则S△ADE＝∴3×2＝x2， ∴x＝±
，
，
∵x＞0， ∴x＝
， ，
＝
，
即AE＝
由勾股定理得：BE＝
过F作PQ∥CD，交AD的延长线于P，交BC的延长线于Q， ∴∠Q＝∠ECD＝∠B＝90°，∠P＝∠ADC＝90°， ∵∠BAE+∠AEB＝∠AEF＝∠AEB+∠FEQ＝90°， ∴∠FEQ＝∠BAE，
∵AE＝EF，∠B＝∠Q＝90°， ∴△ABE≌△EQF（AAS）， ∴FQ＝BE＝∴PF＝2﹣∴S△ADF＝
， ，
＝
＝3﹣
．
二、解答题（26题8分，27题10分，28题12分，共30分） 26．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
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成本（万元/件） 利润（万元/件）
A种产品
2 1
B种产品
5 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【分析】（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品有（10﹣x）件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解；
（2）根据计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，这两个不等关系即可列出不等式组，求得x的范围，再根据x是非负整数，确定x的值，x的值的个数就是方案的个数；
（3）得出利润y与A产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，B产品生产越多，获利越大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可求解．
解：（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件， 依题意得：x+3（10﹣x）＝14， 解得 x＝8， 则10﹣x＝2，
答：生产A产品8件，生产B产品2件；
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（2）设生产A产品y件，则生产B产品（10﹣y）件
，
解得：5≤y＜8．
因为x为正整数，故x＝5，6或7； 方案①，A种产品5件，则B种产品5件； 方案②，A种产品6件，则B种产品4件； 方案③，A种产品7件，则B种产品3件，
（3）设A种产品x件时，获得的利润为W万元，则 W＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30，
因为﹣2＜0，所以W随x的增大而减小， 所以，当x＝5时，W取得最大值为20，
所以，生产方案①获利最大，最大利润为20万元．
27．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，连接AF与CE相交于点G，连接DG．
（1）求证：CE⊥AF； （2）求证：AG+CG＝
DG；
（3）连接CF，当EG：AG：FG＝l：2：5，且S正方形ABCD＝100时，求DG的长和△BCF的面积．
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【分析】（1）证明△FBA≌△EBC（SAS）即可解决问题． （2）过点D作DM⊥GA的延长线于M，过点D作DN⊥CG于N．证明△DMA≌△DNC（AAS），推出DM＝DN，AM＝CN，推出四边形DMGN是正方形，可得结论．
（3）可以假设EG＝k，AG＝2k，FG＝5k，利用勾股定理求出k，求出CG，EB，过点F作FK⊥CB交CB的延长线于K，过点E作EH⊥CK于H．设EH＝x，BH＝y，利用勾股定理构建方程组求出x，y即可解决问题．
【解答】（1）证明：设AF交BE于J． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC，∠ABC＝90°， ∵△EBF是等腰直角三角形， ∴BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°， ∴∠FBA＝∠EBC， ∴△FBA≌△EBC（SAS）， ∴∠AFB＝∠BEC，
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∵∠FJB＝∠EJG， ∴∠EGJ＝∠FBJ＝90°， ∴CE⊥AF．
（2）证明：如图，过点D作DM⊥GA的延长线于M，过点D作DN⊥CG于N．
∵∠M＝∠MGN＝∠DNG＝90°， ∴四边形DMGN是矩形， ∴∠DMN＝∠ADC＝90°， ∴∠ADM＝∠CDN，
∵∠M＝∠DNC＝90°，DA＝DC， ∴△DMA≌△DNC（AAS）， ∴DM＝DN，AM＝CN， ∴四边形DMGN是正方形， ∴GM＝GN＝DM＝DN，
∴AG+CG＝GM﹣AM+GN﹣CN＝2GM， ∵DG＝
GM，
DG．
∴AG+CG＝
（3）解：∵EG：AG：FG＝l：2：5， ∴可以假设EG＝k，AG＝2k，FG＝5k， ∵△FBA≌△EBC，
∴EC＝AF＝7k，CG＝6k， ∵正方形ABCD的面积为100，
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∴AB＝BC＝10， ∵∠ABC＝90°， ∴AC＝
＝
＝10
，
∵∠AGC＝90°， ∴AG2+CG2＝AC2， ∴4k2+36k2＝200， ∴k＝
（负根已经舍弃）， ，CG＝6
DG， ，
，
∴AG＝2
∵AG+CG＝∴DG＝4
过点F作FK⊥CB交CB的延长线于K，过点E作EH⊥CK于H．设EH＝x，BH＝y， ∵EF＝∴EB＝BF＝
＝EF＝
， ，
，解得
，
由勾股定理可知
∵∠FKB＝∠EHB＝90°，∠FBK＝∠BEH，BE＝BF， ∴△FKB≌△BHE（AAS）， ∴FK＝BH＝4，
∴S△BFC＝•BC•FK＝20．
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28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝﹣x+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M （4，a），分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点，△PBM的面积为15．
（1）求直线CD解析式和点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，平面直角坐标系内存在点N，使得以点B、N，M、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标； （3）如图2，当点P为直线CD上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接PQ与OQ．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成直线的解析式，以及OQ的最小值．
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【分析】（1）PBM的面积＝S△BDM+S△BDP＝×BD×（xM﹣xP）＝×（3+2）（4﹣xP）＝15，即可求解；
（2）分PB为边、PB为对角线两种情况，分别求解即可； （3）证明△BGP≌△QHB（AAS），求出点Q（5﹣m，3+m），当OQ⊥SR时，OQ最小，即可求解．
解：（1）将点M的坐标代入y＝﹣x+3并解得：a＝1，故点M（4，1），
将点M的坐标代入y＝kx﹣2并解得：k＝，
故直线CD的表达式为：y＝x﹣2，则点D（0，﹣2）， PBM的面积＝S△BDM+S△BDP＝×BD×（xM﹣xP）＝×（3+2）（4﹣xP）＝15，
解得：xP＝﹣2，故点P（﹣2，﹣）；
（2）设点N（m，n），而点P、B、M的坐标分别为（﹣2，﹣）、（0，3）、（4，1）； 当PB为边时，
点P向右平移2个单位向上平移向右平移2个单位向上平移故4±2＝m，1±
＝n，
或﹣
；
）；
个单位得到点B，同样点M（N）
个单位得到点N（M），
解得：m＝6或2，n＝故点N的坐标为（6，当PB为对角线时，
）或（2，﹣
由中点公式得：﹣2+0＝m+4，﹣+3＝n+1，
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解得：m＝﹣6，n＝﹣，故点N（﹣6，﹣1.5）；
综上，点N的坐标为（6，7.5）或（2，﹣5.5）或（﹣6，﹣1.5）； （3）如下图，分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，
设点P（m，m﹣2），
∵∠HQB+∠HBQ＝90°，∠HBQ+∠GBP＝90°， ∴∠HQB＝∠GBP，∠QHB＝∠BGP＝90°， BP＝BQ，
∴△BGP≌△QHB（AAS）， ∴HQ＝GB，HB＝GP＝m，
故HQ＝BG＝3﹣（m﹣2）＝5﹣m，OH＝OB+BH＝m+3， 故点Q（5﹣m，3+m）， 令x＝5﹣m，y＝3+m， 则y＝﹣x+0）、S（0，即OR＝
，设该直线与坐标轴的交点分别为R、S，则R（），
，
，
，OS＝
当OQ⊥SR时，OQ最小，
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则S△ORS＝×OR×OS＝×OQ×SR， 即
×
＝OQ×
，
．
，
解得：OQ＝
即OQ的最小值为
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