八年级（上）期中数学试卷
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）
1. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
①3x2+7=0；②ax2+bx+c=0；③（x-2）（x+5）=x2-1；④3x2-=0．
A. 1个 A. C. x1=0，
B. 2个 C. 3个 B. D.
，x2=0
D. 4个
2. 方程（4x-1）2=1的根为（ ）
3. 已知函数y=kx中y随x的增大而增大，那么它和函数
大致图象可能是（ ）
在同一直角坐标系内的
A. B. C. D.
4. 到一个三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形（ ）
A. 三条中线的交点 C. 三边中垂线的交点 B. 三条高的交点
D. 三条角平分线的交点
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆 B. 等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线
C. 在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分
线
D. 到直线l的距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直
线
6. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC
的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC=70°，则∠EAN
的度数为（ ）
A. 35° B. 40° C. 50° D. 55°
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分） 7. 函数的定义域是______． 8. 方程y2-6y+9=0的解为______． 9. 方程2（x-1）2=1-x的根是______．
10. 在实数范围内因式分解：3x2-2xy-2y2=______．
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11. 已知正比例函数y=（3k+4）x的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是______． 12. 已知点（x1，y1）和（x2，y2）都在反比例函数
y2的大小关系是y1______y2．
13. 命题“平行于同一直线的两直线平行”的逆命题是：______．
14. 某企业生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术革新，三年（包括今年）
的产量达到1400件，若明后两年的产量平均增长率相同为x，可以得到方程：______． 15. 在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半
径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，
连接AD．如果BC=5，CD=2，那么AD=______．
16. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC
＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于________．
的图象上，若x1＜x2＜0，则y1、
17. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点
E，交BD于点F，连接CF，∠ABD=24°．若△DFC为等腰三角形，则∠A的度数为______．
18. 如图，在△ABC中，∠ACB=α，∠ACB的平分线与∠ABC的外角
平分线交于E点，则∠AEB的度数为______．（用含α的式子表示）
三、解答题（本大题共10小题，共64.0分） 19. 解方程：
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20. 用配方法解方程：
21. 解方程：
22. 已知：∠MON、点A及线段a（如图）．求作：点P，使得点P到OM和ON的距
离相等，且PA=a．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
23. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m
的取值范围．
24. 小芸家与学校之间是一条笔直的公路，小芸从家步行前往学校的途中发现忘记带阅
读分享要用的U盘，便停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上U盘马上赶往学校，同时小芸沿原路返回．两人相遇后，小芸立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，
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并且小芸到达学校比妈妈到家多用了5分钟．若小芸步行的速度始终是每分钟100米，小芸和妈妈之间的距离y与小芸打完电话后步行的时间x之间的函数关系如图．．．．所示，根据图象回答下列问题：
（1）妈妈从家出发______分钟后与小芸相遇；
（2）相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟______米；
（3）小芸家离学校的距离为______米．
25. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=DC，
在以下三个论断“EA=ED，EF⊥AD，FB=FC”中选择两个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．
B，C，D在同一条直线上，AB=DC，已知：如图，点A，
______．
求证：______． 证明：
26. 某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高
产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？
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27. 在平面直角坐标系xOy中（如图），点A（-4，1）为直线y=kx和双曲线y=的一
个交点．
（1）求k、m的值；
（2）若点B（-5，0），在直线y=kx上有一点P，使得S△ABP=2S△ABO，请求出点P的坐标；
（3）在双曲线上是否存在点M，使得∠AOM=45°，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
28. 如图，等边△ABE，点D为射线AE上一点，延长BE至点C，使得EC=AD，联结
CD并延长交射线AB于点F．
（1）当点D在边AE上时，如图1，若ED=AD，则∠CFA-∠DBC=______；
（2）当点D在边AE上时；如图2，若ED≠AD，则（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出∠CFA与∠DBC的数量关系并证明；
（3）当点D在AE的延长线上时，则（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出∠CFA与∠DBC的数量关系并证明．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题.
根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】
解：①3x2+7=0是一元二次方程；
②ax2+bx+c=0，只有当a≠0时才是一元二次方程； ③（x-2）（x+5）=x2-1，整理后不是一元二次方程； ④3x2-=0是分式方程，不是一元二次方程． 故选：A． 2.【答案】C
【解析】解：∵（4x-1）2=1， ∴4x-1=1或4x-1=-1， 解得：x=或x=0，
故选：C．
两边直接开平方法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3.【答案】B
【解析】解：∵函数y=kx中y随x的增大而增大， ∴k＞0，
∴函数y=kx的图象经过一、三象限，故可排除C、D； ∵k＞0， ∴-k＜0，
∴函数y=的图象在二、四象限，故A错误，B正确．
故选：B．
先根据正比例函数的性质判断出k的符号，再根据反比例函数的性质利用排除法求解即可．
本题考查的是正比例函数及反比例函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 4.【答案】C
【解析】解：三角形的三边的中垂线到三个顶点距离相等， 故选：C．
根据线段的操作票个方向的性质即可判断．
本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
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型．
5.【答案】B
【解析】解：A、到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径为1cm的圆，故选项A不符合题意；
B、等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（线段BC中点除外），故选项B符合题意；
C、在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故选项C不符合题意；
D、到直线l的距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，故选项D不符合题意； 故选：B．
利用圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质依次判断即可求解．
本题考查了轨迹，圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 6.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=70°，
-70°=110°∴∠B+∠C=180°，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N， ∴EA=EB，NA=NC，
∴∠EAB=∠B，∠NAC=∠C，
∴∠BAC=∠BAE+∠NAC-∠EAN=∠B+∠C-∠EAN， ∴∠EAN=∠B+∠C-∠BAC， =110°-70° =40°． 故选：B．
根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA=EB，NA=NC，则
∠EAB=∠B，∠NAC=∠C，从而可得∠BAC=∠BAE+∠NAC-∠EAN=∠B+∠C-∠EAN，即可得到∠EAN=∠B+∠C-∠BAC，即可得解．
本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键． 7.【答案】x≥1.5
【解析】解：依题意有2x-3≥0， 解得x≥1.5．
故答案为：x≥1.5．
当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零，依此即可求解．
考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
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8.【答案】y1=y2=3
【解析】解：y2-6y+9=0， （y-3）2=0， 所以，y1=y2=3， 故答案为y1=y2=3．
根据配方法可以解答本题．
本题考查解一元二次方程-配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法． 9.【答案】x=1或x=0.5
【解析】解：∵2（x-1）2=-（x-1）， ∴2（x-1）2+（x-1）=0， 则（x-1）（2x-1）=0， ∴x-1=0或2x-1=0， 解得x=1或x=0.5，
故答案为：x=1或x=0.5． 利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
10.【答案】3（x-
y）（x-y）
【解析】解：解关于x的一元二次方程3x2-2xy-2y2=0得到：x1=所以3x2-2xy-2y2=3（x-故答案是：3（x-y）（x-y）．
y，x2=y．
y）（x-y）．
利用求根公式求得关于x的一元二次方程3x2-2xy-2y2=0的两根，然后利用公式法进行因式分解．
考查了因式分解-公式法．利用公式ax2+bx+c=a（x-）（x-）解答．
11.【答案】k＞-
【解析】解：正比例函数y=（3k+4）x的图象经过第一、三象限， ∴3k+4＞0， ∴k＞-．
故答案为：k＞-．
先根据正比例函数的图象经过第一、三象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时函数图象经过一、三象限．
12.【答案】＞
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【解析】解：∵k=2＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小， 又∵x1＜x2＜0， ∴可得y1＞y2， 故答案为：＞ 反比例函数
的图象位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，又x1＜
x2＜0，可得到点（x1，y1）和（x2，y2）在第三象限图象上的两点，可得y1＞y2
考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象性质和判断图象上点的位置，是正确解答的关键．
13.【答案】“如果两直线平行于同一直线，那么这两条直线平行”
【解析】解：命题“平行于同一直线的两直线平行”的逆命题是：“如果两直线平行于同一直线，那么这两条直线平行”，
故答案为：“如果两直线平行于同一直线，那么这两条直线平行”． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查的是命题与定理，掌握逆命题的概念是解题的关键． 14.【答案】200+200（1+x）+200（1+x）2=1400
【解析】解：设明后两年的产量平均增长率为x， 依题意，得：200+200（1+x）+200（1+x）2=1400． 故答案为：200+200（1+x）+200（1+x）2=1400．
设明后两年的产量平均增长率为x，根据三年（包括今年）的产量达到1400件，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15.【答案】3
【解析】解：由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD=BD， ∵BC=5，CD=2，
∴BD=AD=BC-DC=5-2=3． 故答案为：3．
直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．
此题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，正确得出MN垂直平分AB是解题关键．
16.【答案】5
【解析】 【分析】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键，过E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质可求得EF=DE，则可求得△BCE的面积． 【解答】
解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC， ∴EF=DE=2，
5×2=5， ∴S△BCE=BC•EF=×
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故答案为：5．
或28°或42°17.【答案】60°
【解析】解：BD平分∠ABC， ∴∠CBA=2∠CBD=2∠ABD=48°， ∵EF是BC的中垂线， ∴FB=FC，
∴∠FCB=∠FBC=24°，
∴∠DFC=∠FBC+∠FCB=48°， ∵△DFC为等腰三角形， ∴当DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC=48°， ∴∠ACB=72°，
-72°-48°=60°∴∠A=180°，
当∠FDC=∠DFC=48°， ∴∠DCF=84°， ∴∠ACB=108°，
-48°-108°=28°∴∠A=180°， -48°当∠FDC=∠DCF=（180°）=66°，
∴∠ACB=90°， -90°-48°=42°∴∠A=180°，
综上所述，∠A的度数为60°或28°或42°， 故答案为：60°或28°或42°．
根据角平分线的定义求出∠FBC的度数，根据线段垂直平分线的性质得到FB=FC，根据等腰三角形的性质得到答案．
本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，分类讨论的思想，掌握段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． -α 18.【答案】90°
【解析】解：∵E在∠C的平分线上， ∴E点到CB的距离等于E到AC的距离， ∵E在∠B的外角的平分线上，
∴E点到CB的距离等于E到AB的距离， ∴E点到AC的距离等于E到AB的距离， ∴AE是∠BAC的外角的平分线，
-∠CAB+180°-∠CBA）=90°+α， ∴∠EAB+∠EBA=（180°
-（∠EAB+∠EBA）=90°-α， ∴∠AEB=180°-α． 故答案为90°
首先证明AE也是∠BAC的外角的平分线，根据平角的定义和角平分线的定义求得∠EAB，
∠EBA的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得∠AEB． 此题主要考查角平分线的定义和性质，三角形的内角和定理，证明AE是∠A的外角的平分线是关键．
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19.【答案】解：
x2+x-=0，
∵a=，b=1，c=- ∴△=b2-4ac=1-4××（-x=
=
，
，
）=25，
所以x1=，x2=-．
【解析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式求解．
本题考查了用公式法解一元二次方程，找出a，b，c，求出△=b2-4ac的值，是解此题的关键．
20.【答案】解：方程整理得：x2-x=1，
配方得：x2-x+（）2=1+，即（x-）2=， ∴x-=或x-=-， ∴x1=3，x2=-．
【解析】方程二次项系数化为1，常数项移到右边，利用完全平方公式配方后，开方即可求出解．
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21.【答案】解：
，
整理得：5y2-9y-4=0，
∵a=5，b=-9，c=-4，△=b2-4ac=81+80=161， ∴y=即y1=
=
． ，y2=
．
【解析】先将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，然后代入求根公式进行计算即可． 此题考查了公式法解一元二次方程，解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．
22.【答案】解：
所以两个位置的点P就是所要求作的点． 每作对一个点P得2分，共4分；结论2分．
【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点P在∠MON的平分线上，然后再以点A为圆心，以a的长度为半径画弧，与∠MON的平分线相交于一点，交点就是所求的点P．
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本题主要考查了作已知角的平分线，是基本作图，需要注意符合要求的点的位置有两个，不要漏解而导致出错．
23.【答案】解：∵方程（2m-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴△＞0且2m-1≠0且m≥0即（-2解得0≤m＜1且m≠．
故m的取值范围是0≤m＜1且m≠．
【解析】由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
本题主要考查二次根式的性质及根的判别式，利用根的判别式求得m的取值范围是的关键．
24.【答案】8 60 2100
【解析】解：（1）由图象可得， 妈妈从家出发8分钟后与小芸相遇， 故答案为：8；
8）÷（2）相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟：（1400-100×（18-8）=60（米），
故答案为：60；
2）×100=1400+（23-16）（3）小芸家离学校的距离为：1400+（23-8×
×100=1400+7×100=1400+700=2100（米）， 故答案为：2100．
（1）根据函数图象中的数据可知妈妈从家出发几分钟后与小芸相遇； （2）根据函数图象中的数据可以求得相遇后妈妈回家的平均速度； （3）根据函数图象中的数据可以求得小芸家离学校的距离．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25.【答案】EA=ED，FB=FC EF⊥AD
【解析】已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=DC，EA=ED，FB=FC， 求证：EF⊥AD， 证明：∵EF=ED，
∴点E在线段AD的垂直平分线上， ∵FB=FB
∴点F在线段BC的垂直平分线上， ∵AB=DC，
∴点F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF⊥AD，
故答案为：EA=ED，FB=FC；EF⊥AD．
根据题意写出已知、求证，根据线段垂直平分线的判定定理证明．
本题考查的是命题和定理、线段垂直平分线的判定，掌握到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上是解题的关键．
26.【答案】解：设应多种x棵桃树，则由题意可得：
1000×（100+x）（1000-2x）=100×（1+15.2%）
整理，得：x2-400x+7600=0， 即（x-20）（x-380）=0，
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）2-4（2m-1）＞0且m≠且m≥0，
解得：x1=20，x2=380
因为所种桃树要少于原有桃树，
所以x=380不符合题意，应舍去，取x=20， 答：应多种20棵桃树．
【解析】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种x棵树每棵桃树的产量就会减少2x个（即是平均产1000-2x个），桃树的总共有100+x棵，所以总产量是
1000×（100+x）（1000-2x）个．要使产量增加15.2%，达到100×（1+15.2%）个．
本题考查一元二次方程的应用，关键找出桃树的增加量与桃子总产量的关系．
27.【答案】解：（1）∵点A（-4，1）在直线y=kx和双曲线y=的图象上，
∴k=-，m=-4．
（2）如图1中，设直线y=-x与反比例函数y=-的另一个交点为C（4，-1）．
由对称性可知：OA=OC，
∴当点P与C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P（4，-1）．
当点P在OA的延长线上时，P′A=AC时，S△ABP=2S△ABO，此时P′（-12，3）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，-1）或（-12，3）． （3）如图2中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则A′（1.4），
取AA′的中点D，作直线OD在第二象限交反比例函数于M．此时∠AOM=45°，
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∵D（-，），
∴直线OD的解析式为y=-x，
由，解得或，
∵点M在第二象限， ∴M（-，
）．
【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，设直线y=-x与反比例函数y=-的另一个交点为C（4，-1）．由对称性可知：OA=OC，推出当点P与C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P（4，-1）．当点P在OA的延长线上时，P′A=AC时，S△ABP=2S△ABO，再利用中点坐标公式求解即可． （3）如图2中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则A′（1.4），取AA′的中点D，作直线OD在第二象限交反比例函数于M．此时∠AOM=45°，求出直线OD的解析式，再构建方程组确定点M的坐标． 本题属于反比例函数综合题，考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法，分类讨论的思想等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
28.【答案】60°
【解析】解：（1）∵△ABE是等边三角形，ED=AD， ∴BD⊥AE，∠DBE=∠DBA=30°，AB=AE， ∵EC=AD，∠BEA=60°， ∴∠ECF=30°，
∴∠CFA=∠ABC+∠ECD=90°，
-30°=60°∴∠CFA-∠DBC=90°，
故答案为：60°；
（2）如图2，过点C作CH∥AB交AE的延长线于H，
∵CH∥AB，
∴∠H=∠EAB=60°，∠HCE=∠EBA=60°， ∴△CHE是等边三角形， ∴CH=CE=HE， ∵EC=AD，
∴HE=CH=AD，
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∴HE+DE=AD+DE， ∴HD=AE=AB，
∵HD=AB，AD=CH，∠H=∠BAD=60°， ∴△BAD≌△DHC（SAS） ∴∠DBF=∠HDC，
∵∠CFA=∠CBF+∠BCF=∠CBD+∠DBF+∠BCF，
∴∠CFA-∠DBC=∠DBF+∠BCF=∠HDC+∠BCF=∠BEA=60°； （3）如图3，过点C作CH∥AB交AE的延长线于H，
∵CH∥AB，
∴∠HCD=∠CFA，∠H=∠EAB=60°，∠HCE=∠EBA=60°， ∴△CHE是等边三角形， ∴CH=CE=HE， ∵EC=AD，
∴HE=CH=AD， ∴HE-DE=AD-DE， ∴HD=AE=AB，
∵HD=AB，AD=CH，∠H=∠BAD=60°， ∴△BAD≌△DHC，（SAS）
∴∠DBA=∠HDC，∠HCD=∠BDA， ∴∠BDA=∠CFA，
∵∠AEB=∠ADB+∠DBC=60°， ∴∠CFA+∠DBC=60°．
（1）由等边三角形的性质可得BD⊥AE，∠DBE=∠DBA=30°，AB=AE，可求∠CFA=∠ABC+∠ECD=90°，即可求解；
（2）如图2，过点C作CH∥AB交AE的延长线于H，可证△CHE是等边三角形，可得CH=CE=HE=AD，通过证明△BAD≌△DHC，可得∠DBF=∠HDC，由外角性质可求解； （3）如图3，过点C作CH∥AB交AE的延长线于H，可证△CHE是等边三角形，可得CH=CE=HE=AD，通过证明△BAD≌△DHC，可得∠DBF=∠HDC，由外角性质可求解； 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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