2021-2022学年广东省佛山市南海区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. √9的平方根是( )
A. 3
𝜋
B. ±3 C. √3
227
D. ±√3
2. 下列各数3，3.14159265，√8，−8，3√9，√36，中，无理数有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3. 点𝑀(1,2)关于𝑥轴对称的点的坐标为( )
A. (−1,−2) B. (−1,2) C. (1,−2) D. (2,−1)
4. 下列条件中，不能判断△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的是( )
A. 𝑎=5，𝑏=12，𝑐=13 C. ∠𝐴+∠𝐵=80°
5. 下列计算正确的是( )
B. 𝑎：𝑏：𝑐=3：4：5 D. ∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶=1：1：2
A. √12−√3=√3 C. 3√5×√5=4√5
1
B. √2+√3=√5 D. (2√2)2=4√2
6. 一次函数𝑦=𝑥−1的图象与𝑦轴交点是( )
2
A. (−1,0) B. (2,0)
𝑥=2
4 𝑦=
3
C. (0,1) D. (0,−1)
7. 以下是二元一次方程2𝑥+3𝑦=8的正整数解有( ) 𝑥=4A. {𝑦=0
B. {
C. {𝑦=2
𝑥=1
D. {𝑦=3
𝑥=1
8. 甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，
2222
这四个旅游团游客年龄的方差分别为𝑆甲=6，𝑆乙=1.8，𝑆丙=5，𝑆丁=8，这四个旅游团中
年龄相近的旅游团是( )
A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 丁团
9. 下列命题为真命题的是( )
A. 同位角相等 C. 相等的角是对顶角
B. 三角形的外角等于两个内角的和 D. 全等三角形的对应角相等
10. 如图，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)与𝑥轴交于点(−5,0)，下列说法正确的是( )
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A. 𝑘>0，𝑏<0
B. 直线𝑦=𝑏𝑥+𝑘经过第四象限 C. 关于𝑥的方程𝑘𝑥+𝑏=0的解为𝑥=−5
D. 若(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)是直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏上的两点，若𝑥1<𝑥2，则𝑦1>𝑦2
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 如图，以直角三角形的三边向外作正方形，其面积分别是25，169和𝐵，则𝐵的值是______．
12. 比较实数的大小：3 ______√11(填“>”、“<”或“=”)．
13. 一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏与𝑦=𝑥+2的图象交点在𝑦轴上，则关于𝑥，𝑦的二元一次方程组𝑦=𝑘𝑥+𝑏{的解是______． 𝑦=𝑥+2
14. 小明八年级上学期数学期中成绩是110分，期末是115分，若学期的总评成绩是根据如图的权重计算，则小明该学期的数学总评成绩为______分．
15. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是______．
16. 如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度𝐷𝐸=0.5𝑚，将它往前推送1.5𝑚(水平距离𝐵𝐶=1.5𝑚)时，秋千的踏板离地的垂直高度𝐵𝐹=1𝑚，秋千的绳索始终拉直，则绳索𝐴𝐷的长是______𝑚.
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17. 如图，直角坐标系中，△𝐴1𝐴2𝐴3，△𝐴3𝐴4𝐴5，△𝐴5𝐴6𝐴7…，是斜边在𝑥轴上，斜边长分别4，6，8，…的等腰直角三角形，𝐴2(1,1)，𝐴3(0,0)，为2，若△𝐴1𝐴2𝐴3的顶点坐标分别为𝐴1(2,0)，则依图中所示规律，𝐴2021的坐标为______．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
18. 计算：√6×√4−1+√(−2)2．
3
√2𝑥−2𝑦=219. 解二元一次方程组：{3． 1
𝑥+𝑦=184
四、解答题（本大题共6小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题6.0分)
如图，已知𝐴(1,2)，𝐵(1,−4)，𝐶(−4,−2)． (1)△𝐴𝐵𝐶的面积是______．
(2)在坐标系中作出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称的图形△𝐴1𝐵1𝐶1．
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21. (本小题8.0分)
某市举行知识大赛，𝐴校，𝐵校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示． (1)根据图示填写表；
𝐴校 𝐵校 平均数/分 中位数/分 众数/分 ______ 85 ______ ______ ______ 100 (2)结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好．
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22. (本小题8.0分)
如图，已知𝐶𝐷//𝐸𝐹，𝑀𝐷平分∠𝐴𝐷𝐶，∠2=∠3． (1)求证：𝑀𝐷//𝐵𝐶．
(2)若𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝐵𝐷=2，求𝐵𝐶的长．
23. (本小题8.0分)
为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表： 产品 展板 1 20 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间(小时) 制作一件产品所获利润(元) 1 53 1 210 (1)若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量； (2)若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值．
24. (本小题10.0分)
如图，在直角坐标系中，𝐴(1,4)，𝐵(1,1)，𝐶(5,1)，点𝐷是𝑥轴上的动点． (1)四边形𝐴𝐵𝐷𝐶的面积是______；
(2)当直线𝐴𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的面积时，求此时直线的表达式； (3)当△𝐴𝐶𝐷的面积是10时，直接写出点𝐷的坐标．
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25. (本小题10.0分)
我们知道，等腰三角形的两个底角相等，它反映了边与角的转化关系． 如图，△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵=𝐴𝐶，我们可以用几何语言表示如下： ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐵=∠𝐶．
如图1，现在有△𝐴𝐵𝐶，点𝐷是𝐴𝐶的中点，𝐸是𝐵𝐶上．一点，将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸折叠到△𝐹𝐷𝐸，连接𝐴𝐹．
(1)设∠𝐷𝐴𝐹=𝛼，∠𝐷𝐶𝐹=𝛽，∠𝐷𝐹𝐶=______(结果用含𝛼或𝛽式子表示)． 则∠𝐷𝐹𝐴=______，(2)求证：𝐷𝐸//𝐴𝐹．
(3)如图2，当点𝐸与点𝐵重合时，𝐴𝐵平分∠𝐶𝐴𝐹，若∠𝐴𝐹𝐷=56°，求∠𝐴𝐵𝐷的度数．
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答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】 【分析】
本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果𝑥2=𝑎(𝑎≥0)，则𝑥是𝑎的平方根．若𝑎>0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫𝑎的算术平方根；若𝑎=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根． 首先根据算术平方根概念求出√9=3，然后求3的平方根即可． 【解答】 解：∵√9=3， ∴√9的平方根是±√3． 故选：𝐷．
2.【答案】𝐵
【解析】 【分析】
本题考查无理数的概念，属于基础题型．能理解无理数的定义是解此题的关键． 根据无理数的概念即可判断． 【解答】 解：√36=6，
无理数有：3，√8，3√9，共有3个， 故选：𝐵．
𝜋
3.【答案】𝐶
【解析】解：点𝑀(1,2)关于𝑥轴对称的点的坐标为(1,−2)， 故选：𝐶．
根据关于𝑥轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于𝑥轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2)关于𝑦轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
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(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴.∵𝑎=5，𝑏=12，𝑐=13，
∴𝑎2+𝑏2=52+122=25+144=169，𝑐2=132=169， ∴𝑎2+𝑏2=𝑐2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故本选项不符合题意； B.∵𝑎：𝑏：𝑐=3：4：5， ∴𝑎2+𝑏2=𝑐2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故本选项不符合题意； C.∵∠𝐴+∠𝐵=80°，
∴∠𝐶=180°−(∠𝐴+∠𝐵)=100°>90°， ∴△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，故本选项符合题意； D.∵∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶=1：1：2，∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180°， ∴最大角∠𝐶=×180°=90°，
2∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：𝐶．
根据勾股定理的逆定理即可判断选项A和选项B，根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．
本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是解此题的关键．
1
5.【答案】𝐴
【解析】解：𝐴、原式=2√3−√3=√3，原计算正确，故此选项符合题意； B、√2与√3不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意； C、原式=3√5×5=3×5=15，原计算错误，故此选项不符合题意； D、原式=8，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：𝐴．
根据二次根式加减法运算法则判断𝐴和𝐵，根据二次根式乘法的运算法则判断𝐶，根据二次根式的
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性质判断𝐷．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式加减法，二次根式乘法运算法则是解题关键．
6.【答案】𝐷
【解析】 【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式𝑦=𝑘𝑥+𝑏是解题的关键．代入𝑥=0求出𝑦的值，进而可得出一次函数𝑦=𝑥−1的图象与𝑦轴交点是(0,−1)． 【解答】
解：当𝑥=0时，𝑦=×0−1=−1，
2∴一次函数𝑦=𝑥−1的图象与𝑦轴交点是(0,−1)． 故选：𝐷．
121
127.【答案】𝐶
𝑥=4
【解析】解：𝐴、{，𝑦的值为0，故选项A不符合题意；
𝑦=0𝑥=2
4中，𝑦的值为分数，故选项B不符合题意； B、{𝑦=
3𝑥=1C、把{代入方程2𝑥+3𝑦=8得，左边=2×1+3×2=8，右边=8，左边=右边，故选项C
𝑦=2符合题意；
𝑥=1
D、把{代入方程2𝑥+3𝑦=8得，左边=2×1+3×3=11≠8，故选项D不符合题意；
𝑦=3故选：𝐶．
先判断每组解是否为正整数，再把每组解分别代入方程可得答案．
此题考查二元一次方程的解，能够分清每组解中是否为正整数是解决此题关键．
8.【答案】𝐵
2222
【解析】解：∵𝑆甲=6，𝑆乙=1.8，𝑆丙=5，𝑆丁=8， 2∴𝑆乙最小，
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∴这四个旅游团中年龄相近的旅游团是乙团； 故选：𝐵．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的外角等于它两个不相邻的内角的和，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、全等三角形的对应角相等，正确，是真命题，符合题意． 故选：𝐷．
利用平行线的性质、三角形的外角的性质、对顶角的性质及全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、三角形的外角的性质、对顶角的性质及全等三角形的性质，难度不大．
10.【答案】𝐶
【解析】解：∵直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)经过一、二、三象限， ∴𝑘>0，𝑏>0，故A错误；
∴直线𝑦=𝑏𝑥+𝑘经过一、二、三象限，故B错误； ∵直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)与𝑥轴交于点(−5,0)， ∴当𝑥=−5时，函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏=0，
∴关于𝑥的方程𝑘𝑥+𝑏=0的解为𝑥=−5，故C正确； ∵直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)经过一、二、三象限， ∴𝑦随𝑥的增大而增大，
(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)是直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏上的两点，若𝑥1<𝑥2，则𝑦1<𝑦2，故D错误； 故选：𝐶．
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根据一次函数的性质，一次函数与方程的关系即可判断．
本题考查了一次函数的图象和系数的关系，一次函数与一元一次方程，熟知一次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】144
【解析】解：由勾股定理得：𝐴𝐸2=𝐴𝐷2−𝐷𝐸2=169−25=144， ∴𝐵的值是144， 故答案为：144．
根据勾股定理计算，得到答案．
𝑏，斜边长为𝑐，那么𝑎2+𝑏2=本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是𝑎，𝑐2．
12.【答案】<
【解析】解：∵9<11<16， ∴√9<√11<√16， ∴3<√11<4， 故答案为：<．
估算出√11的值即可解答．
本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握平方数是解题的关键．
13.【答案】{𝑦=2
【解析】 【分析】
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．先利用𝑦=𝑥+2确定𝑃点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案． 【解答】
解：把𝑥=0代入𝑦=𝑥+2得，𝑦=2， ∴𝑃点坐标为(0,2)，
𝑥=0
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∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏与𝑦=𝑥+2的图象交点在𝑦轴上， ∴一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏与𝑦=𝑥+2的图象交点为(0,2)， 𝑦=𝑘𝑥+𝑏𝑥=0
∴关于𝑥，𝑦的二元一次方程组{的解是{．
𝑦=2𝑦=𝑥+2𝑥=0
故答案为：{．
𝑦=2
14.【答案】113
【解析】 【分析】
此题考查了加权平均数，本题易出现的错误是求110，115这两个数的平均数，对平均数的理解不正确．根据期中与期末的分数分别乘各自的权重，相加即可得到总评成绩． 【解答】 解：根据题意得：
110×40%+115×60% =44+69
=113(分)，
则小明该学期的数学总评成绩为113分． 故答案为：113．
15.【答案】15°
【解析】解：如图，过𝐴点作𝐴𝐵//𝑎，
∴∠1=∠2， ∵𝑎//𝑏， ∴𝐴𝐵//𝑏， ∴∠3=∠4=30°， 而∠2+∠3=45°， ∴∠2=15°， ∴∠1=15°． 故答案为15°．
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∠3=∠4=30°，过𝐴点作𝐴𝐵//𝑎，利用平行线的性质得𝐴𝐵//𝑏，所以∠1=∠2，加上∠2+∠3=45°，易得∠1=15°．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
16.【答案】2.5
【解析】 【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．设绳索𝐴𝐷的长为𝑥 𝑚，则𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝑥 𝑚，𝐴𝐶=𝐴𝐷−𝐶𝐷=(𝑥−0.5)𝑚，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】
解：∵𝐵𝐹⊥𝐸𝐹，𝐴𝐸⊥𝐸𝐹，𝐵𝐶⊥𝐴𝐸， ∴四边形𝐵𝐶𝐸𝐹是长方形，△𝐴𝐶𝐵是直角三角形， ∴𝐶𝐸=𝐵𝐹=1𝑚，
∴𝐶𝐷=𝐶𝐸−𝐷𝐸=1−0.5=0.5(𝑚)， 设绳索𝐴𝐷的长为𝑥 𝑚，
则𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝑥 𝑚，𝐴𝐶=𝐴𝐷−𝐶𝐷=(𝑥−0.5)𝑚， 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2， 即(𝑥−0.5)2+1.52=𝑥2， 解得：𝑥=2.5(𝑚)， 即绳索𝐴𝐷的长是2.5𝑚， 故答案为：2.5．
17.【答案】(1012,0)
【解析】解：由题意知：𝐴3(0,0)，𝐴7(−2,0)，𝐴11(−4,0)…， 𝐴1(2,0)，𝐴5(4,0)，𝐴9(6,0)…， ∵2021÷4=505……1，
∴点𝐴2021在𝑥轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是(2021+3)÷2=1012， ∴𝐴2021的坐标为(1012,0)． 故答案为：(1012,0)．
观察图形可以看出𝐴3，𝐴7，𝐴11…，𝐴1，𝐴5，𝐴9…的坐标，由于2021÷4=505……1，点𝐴2021在
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𝑥轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是(2021+3)÷2=1012，即可解． 本题是对点的坐标变化规律的考查．
18.【答案】解：原式=√6×4−√2+2
3
2
=√8−
√22+2
=2√2−2+2 =
3√2+2． 2
√2【解析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质运算，再分母有理化，然后化简后合并即可．
19.【答案】解：方程组整理得：{
①+②得：4𝑥=10， 解得：𝑥=2.5，
把𝑥=2.5代入①得：2.5−2𝑦=2， 解得：𝑦=0.25，
𝑥=2.5则方程组的解为{． 𝑦=0.25
【解析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
𝑥−2𝑦=2①
，
3𝑥+2𝑦=8②
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20.【答案】解：(1)15；
(2)如图，△𝐴1𝐵1𝐶1为所作．
【解析】 【分析】
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． (1)直接利用三角形面积公式计算；
(2)利用关于𝑦轴对称的点的坐标特征得到𝐴1、𝐵1、𝐶1的坐标，然后描点即可． 【解答】
解：(1)△𝐴𝐵𝐶的面积=×6×5=15；
2故答案为：15； (2)见答案．
1
21.【答案】解：(1) 平均数/分 中位数/分 众数/分 85 85 85 80 85 100 𝐴校 𝐵校
(2)𝐴学校的决赛成绩较好．理由如下：
由表知，𝐴、𝐵两校选手成绩的平均数相等，而𝐴校选手成绩的中位数大于𝐵校， 所以𝐴学校的决赛成绩较好． 【解析】
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【分析】
此题考查了平均数、中位数、众数的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
(1)先根据条形统计图得出𝐴、𝐵学校5位选手的具体成绩，再根据平均数、中位数及众数的定义求解即可；
(2)在平均数相等的前提下，中位数越大高分人数越多，据此求解即可． 【解答】
解：(1)由图知，𝐴校5位选手的成绩为75、80、85、85、100， 𝐵校5位选手的成绩为70、75、80、100、100， ∴𝐴校5名选手成绩的平均数为
75+80+85+85+100
5
=85，中位数是85，众数为85，
𝐵校5名选手成绩的中位数为80， 故答案为：85，85，85，80； (2)见答案．
22.【答案】(1)证明：∵𝐶𝐷//𝐸𝐹，
∴∠𝐷𝐶𝐵=∠3， ∵∠2=∠3， ∴∠2=∠𝐷𝐶𝐵， ∴𝑀𝐷//𝐵𝐶；
(2)解：∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝐶𝐷//𝐸𝐹， ∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐴𝐹𝐸=90°， ∵𝑀𝐷//𝐵𝐶，
∴∠2=∠𝐵𝐶𝐷，∠1=∠𝐵， ∵𝑀𝐷平分∠𝐴𝐷𝐶， ∴∠1=∠2， ∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵， ∴𝐶𝐷=𝐵𝐷=2，
在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶=√𝐵𝐷2+𝐶𝐷2=√22+22=2√2．
【解析】(1)由平行线的性质可得∠𝐷𝐶𝐵=∠3，从而可得∠2=∠𝐷𝐶𝐵，即可判定𝑀𝐷//𝐵𝐶； (2)由𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝐶𝐷//𝐸𝐹得∠𝐵𝐷𝐶=90°，再由𝑀𝐷//𝐵𝐶得∠2=∠𝐵𝐶𝐷，从而可得∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵，故CD=𝐵𝐷=2，利用勾股定理可求𝐵𝐶的长度．
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本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质，并灵活运用．
23.【答案】解：(1)设制作展板数量为𝑥件，横幅数量为𝑦件，则宣传册数量为5𝑥件，
𝑥+5×5𝑥+2𝑦=25
由题意得：{，
20𝑥+3×5𝑥+10𝑦=450𝑥=10
解得：{，
𝑦=10
答：制作展板数量10件，宣传册数量50件，横幅数量10件；
(2)设制作种产品总量为𝑤件，展板数量𝑚件，则宣传册数量5𝑚件，横幅数量(𝑤−6𝑚)件， 由题意得：20𝑚+3×5𝑚+10(𝑤−6𝑚)=700， 解得：𝑤=𝑚+70， ∴𝑤是𝑚的一次函数， ∵𝑘=2，
∴𝑤随𝑚的增加而增加，
∵三种产品均有制作，且𝑤，𝑚均为正整数， ∴当𝑚=2时，𝑤有最小值，则𝑤𝑚𝑖𝑛=75， 答：制作三种产品总量的最小值为75件．
【解析】(1)设制作展板数量为𝑥件，横幅数量为𝑦件，则宣传册数量为5𝑥件，根据题意列出二元一次方程组即可；
(2)根据三种产品的利润之和等于700列出函数关系式，然后根据一次函数的性质求出最小值． 本题考查一次函数的应用和二元一次方程组，关键是根据三种产品的利润之和等于700列出函数关系式．
5
521
1
24.【答案】解：(1)8；
(2)当直线𝐴𝐷过边𝐵𝐶的中点𝐹时，直线𝐴𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的面积， ∵𝐵(1,1)，𝐶(5,1)， ∴𝐹(3,1)，
设直线𝐴𝐹的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，
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𝑘=−𝑘+𝑏=42
∴{，解得{， 113𝑘+𝑏=1𝑏=
2
3
∴直线𝐴𝐹的解析式为𝑦=−𝑥+
3
211． 2
(3)如图，延长𝐴𝐶交𝑥轴于点𝐺，
设直线𝐴𝐶的解析式为：𝑦=𝑚𝑥+𝑛， ∵𝐴(1,4)，𝐶(5,1)，
𝑚=−4𝑚+𝑛=4
∴{，解得{19， 5𝑚+𝑛=1𝑛=4∴直线𝐴𝐶的解析式为：𝑦=−𝑥+．
443
193
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令𝑦=0，则𝑥=．
3∴𝐺(
19
,0)， 319
设点𝐷的坐标为(𝑡,0)， 则𝐷𝐺=|𝑡−|，
3∴△𝐴𝐷𝐺的面积为×4×|𝑡−|=2|𝑡−|，
233△𝐷𝐶𝐺的面积为：×1×|𝑡−
1219|31
19
19
19
=|𝑡−
1219
|， 33219|3∴△𝐴𝐶𝐷的面积=△𝐴𝐷𝐺的面积−△𝐶𝐷𝐺的面积=|𝑡−解得𝑡=13或𝑡=−．
∴点𝐷的坐标为(13,0)或(−,0)． 【解析】 【分析】
1313
=10，
本题属于一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，三角形的面积等知识，利用图形表达出所求三角形面积是解题关键，难度适中．
(1)过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，则四边形𝐴𝐵𝐷𝐶的面积=△𝐴𝐵𝐶的面积+△𝐵𝐷𝐶的面积，根据三角形面积公式求解即可；
(2)当直线𝐴𝐷过边𝐵𝐶的中点𝐹时，直线𝐴𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的面积，求出点𝐹的坐标，将点𝐴和点𝐹的坐标代入求解即可；
(3)延长𝐴𝐶交𝑥轴于点𝐺，则△𝐴𝐶𝐷的面积=△𝐴𝐷𝐺的面积−△𝐶𝐷𝐺的面积，设出点𝐷的坐标，表达面积，建立方程，求解即可． 【解答】
解：(1)如图，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，
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∵𝐴(1,4)，𝐵(1,1)，𝐶(5,1)，
∴𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=4，且𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐷𝐸=1，
∴△𝐴𝐵𝐶的面积=×3×4=6，△𝐵𝐷𝐶的面积=×4×1=2， ∴四边形𝐴𝐵𝐷𝐶的面积=△𝐴𝐵𝐶的面积+△𝐵𝐷𝐶的面积=8． 故答案为：8； (2)见答案； (3)见答案．
121225.【答案】(1)𝛼；90°−𝛼；
(2)证明：因为将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸折叠到△𝐹𝐷𝐸， 所以∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐸𝐷𝐹， ∵点𝐷是𝐴𝐶的中点， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝐷𝐹， ∴∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐷𝐹𝐴，
∵∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐷𝐴𝐹+∠𝐷𝐹𝐴
所以∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐷𝐴𝐹， 所以𝐷𝐸//𝐴𝐹；
(3)解：因为∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐷𝐹𝐴=56°，𝐴𝐵平分∠𝐶𝐴𝐹， 所以∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐵𝐴𝐹=28°，
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因为𝐷𝐴=𝐷𝐵， 所以∠𝐴𝐵𝐷=28°． 【解析】 【分析】
本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． (1)由等腰三角形的性质和折叠的性质可求解；
(2)由折叠的性质可得∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐷𝐴𝐹，可得结论；
(3)由角平分线的性质可求∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐵𝐴𝐹=28°，由角平分线的定义可求解． 【解答】
(1)解：因为点𝐷是𝐴𝐶的中点， 所以𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐷𝐹，
因为将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸折叠到△𝐹𝐷𝐸， 所以𝐶𝐷=𝐷𝐹， 所以𝐴𝐷=𝐷𝐹，
所以∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐷𝐹𝐴=𝛼， 所以∠𝐶𝐷𝐹=2𝛼， 因为𝐶𝐷=𝐷𝐹， 所以∠𝐷𝐹𝐶=∠𝐷𝐶𝐹=
180°−2𝛼
2
=90°−𝛼，
故答案为：𝛼；90°−𝛼； (2)见答案； (3)见答案．
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