卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．
的平方根是（ ）
B．±3
，3.14159265，
B．3个
，﹣8，
C．，
，
D．±
A．3 2．下列各数A．2个
中，无理数有（ ）
D．5个
C．4个
3．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ） A．（﹣1，﹣2）
B．（﹣1，2）
C．（1，﹣2）
D．（2，﹣1）
4．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ） A．a＝5，b＝12，c＝13 C．∠A+∠B＝80° 5．下列计算正确的是（ ） A．6．一次函数A．（﹣1，0）
B．
C．
D．
B．a：b：c＝3：4：5
D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
的图象与y轴交点是（ ） B．（2，0）
C．（0，1）
D．（0，﹣1）
7．以下是二元一次方程2x+3y＝8的正整数解有（ ） A．
B．
C．
D．
8．甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别为S个旅游团中年龄相近的旅游团是（ ） A．甲团
B．乙团
C．丙团
D．丁团
甲
2
＝6，S
乙
2
＝1.8，S
丙
2
＝5，S
丁
2
＝8，这四
9．下列命题为真命题的是（ ） A．同位角相等
B．三角形的外角等于两个内角的和 C．相等的角是对顶角
D．全等三角形的对应角相等
10．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是（ ）
A．k＞0，b＜0
B．直线y＝bx+k经过第四象限 C．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5
D．若（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝kx+b上的两点，若x1＜x2，则y1＞y2 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．如图，以直角三角形的三边向外作正方形，其面积分别是25，169和B，则B的值是 ．
12．比较实数的大小：3 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
13．y的二元一次方程组一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象交点在y轴上，则关于x，的解是 ．
14．小明八年级上学期数学期中成绩是110分，期末是115分，若学期的总评成绩是根据如图的权重计算，则小明该学期的数学总评成绩为 分．
15．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 ．
16．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 m．
17．如图，直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，8，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2021的坐标为 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18．计算：
．
19．解二元一次方程组：．
20．如图，已知A（1，2），B（1，﹣4），C（﹣4，﹣2）． （1）△ABC的面积是 ．
（2）在坐标系中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．某市举行知识大赛，A校，B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示． （1）根据图示填写表； A校 B校
平均数/分 中位数/分 众数/分
85
100
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好．
22．如图，已知CD∥EF，MD平分∠ADC，∠2＝∠3． （1）求证：MD∥BC．
（2）若EF⊥AB，BD＝2，求BC的长．
23．为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：
产品
制作一件产品所需时间
（小时） 制作一件产品所获利润
（元）
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，在直角坐标系中，A（1，4），B（1，1），C（5，1），点D是x轴上的动点． （1）四边形ABDC的面积是 ；
（2）当直线AD平分△ABC的面积时，求此时直线的表达式； （3）当△ACD的面积是10时，直接写出点D的坐标．
20
3
10
展板 1
宣传册
横幅
25．我们知道，等腰三角形的两个底角相等，它反映了边与角的转化关系． 如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，我们可以用几何语言表示如下： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C．
如图1，现在有△ABC，点D是AC的中点，E是BC上．一点，将△CDE沿DE折叠到△FDE，连接AF．
（1）设∠DAF＝α，∠DCF＝β，则∠DFA＝ ，∠DFC＝ （结果用含α或β式子表示）． （2）求证：DE∥AF．
（3）如图2，当点E与点B重合时，AB平分∠CAF，若∠AFD＝56°，求∠ABD的度数．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．
的平方根是（ ）
B．±3
C．
D．±
A．3
【分析】首先根据平方根概念求出解：∵∴
＝3，
．
＝3，然后求3的平方根即可．
的平方根是±
故选：D． 2．下列各数A．2个
，3.14159265，
B．3个
，﹣8，
，
，
中，无理数有（ ）
D．5个
C．4个
【分析】根据无理数的概念即可判断． 解：
＝6，
，
，
，共有3个，
无理数有：故选：B．
3．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ） A．（﹣1，﹣2）
B．（﹣1，2）
C．（1，﹣2）
D．（2，﹣1）
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 解：点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2）， 故选：C．
4．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ） A．a＝5，b＝12，c＝13 C．∠A+∠B＝80°
B．a：b：c＝3：4：5
D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项A和选项B，根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D． 解：A．∵a＝5，b＝12，c＝13，
∴a2+b2＝52+122＝25+144＝169，c2＝132＝169，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵a：b：c＝3：4：5， ∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵∠A+∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝100°＞90°， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角∠C＝
180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C．
5．下列计算正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式加减法运算法则判断A和B，根据二次根式乘法的运算法则判断C，根据二次根式的性质判断D． 解：A、原式＝2B、
与
﹣
＝
，原计算正确，故此选项符合题意；
不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
＝3×5＝15，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、原式＝3
D、原式＝8，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．一次函数A．（﹣1，0）
的图象与y轴交点是（ ） B．（2，0）
C．（0，1）
D．（0，﹣1） 的图象与y轴交点是（0，
【分析】代入x＝0求出y的值，进而可得出一次函数﹣1）．
解：当x＝0时，y＝×0﹣1＝﹣1， ∴一次函数故选：D．
的图象与y轴交点是（0，﹣1）．
7．以下是二元一次方程2x+3y＝8的正整数解有（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】先判断每组解是否为正整数，再把每组解分别代入方程可得答案． 解：A、
，y的值为0，故选项B不符合题意；
B、中，y的值为分数，故选项B不符合题意；
C、把代入方程2x+3y＝8得，左边＝2×1+3×2＝8，右边＝8，左边＝右边，故选
项C符合题意； D、把故选：C．
8．甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别为S个旅游团中年龄相近的旅游团是（ ） A．甲团
B．乙团
C．丙团
D．丁团
甲
代入方程2x+3y＝8得，左边＝2×1+3×3＝11≠8，故选项D不符合题意；
2
＝6，S
乙
2
＝1.8，S
丙
2
＝5，S
丁
2
＝8，这四
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 解：∵S甲2＝6，S乙2＝1.8，S丙2＝5，S丁2＝8， ∴S乙2最小，
∴这四个旅游团中年龄相近的旅游团是乙团； 故选：B．
9．下列命题为真命题的是（ ） A．同位角相等
B．三角形的外角等于两个内角的和 C．相等的角是对顶角 D．全等三角形的对应角相等
【分析】利用平行线的性质、三角形的外角的性质、对顶角的性质及全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、 三角形的外角等于它两个不相邻的内角的和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、全等三角形的对应角相等，正确，是真命题，符合题意． 故选：D．
10．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是（ ）
A．k＞0，b＜0
B．直线y＝bx+k经过第四象限 C．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5
D．若（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝kx+b上的两点，若x1＜x2，则y1＞y2 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与方程的关系即可判断． 解：∵直线y＝kx+b（k≠0）经过一、二、三象限， ∴k＞0，b＞0，故A错误；
∴直线y＝bx+k经过一、二、三象限，故B错误； ∵直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0）， ∴当x＝﹣5时，函数y＝kx+b＝0，
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5，故C正确； ∵直线y＝kx+b（k≠0）经过一、二、三象限， ∴y随x的增大而增大，
（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝kx+b上的两点，若x1＜x2，则y1＜y2，故D错误； 故选：C．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．如图，以直角三角形的三边向外作正方形，其面积分别是25，169和B，则B的值是 144 ．
【分析】根据勾股定理计算，得到答案．
解：由勾股定理得：AB2＝AD2﹣DE2＝169﹣25＝144， ∴B的值是144， 故答案为：144．
12．比较实数的大小：3 ＜ 【分析】估算出解：∵9＜11＜16， ∴∴3＜
＜4，
，
（填“＞”、“＜”或“＝”）．
的值即可解答．
故答案为：＜．
13．y的二元一次方程组一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象交点在y轴上，则关于x，的解是
．
【分析】先利用y＝x+2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案．
解：把x＝0代入y＝x+2得，y＝2， ∴P点坐标为（0，2），
∵一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象交点在y轴上， ∴一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象交点为（0，2）， ∴关于x，y的二元一次方程组故答案为：
．
的解是
．
14．小明八年级上学期数学期中成绩是110分，期末是115分，若学期的总评成绩是根据如图的权重计算，则小明该学期的数学总评成绩为 113 分．
【分析】根据期中与期末的分数分别乘各自的权重，相加即可得到总评成绩． 解：根据题意得： 110×40%+115×60% ＝44+69 ＝113（分），
则小明该学期的数学总评成绩为113分． 故答案为：113．
15．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 15° ．
【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°． 解：如图，过A点作AB∥a， ∴∠1＝∠2， ∵a∥b， ∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°， 而∠2+∠3＝45°， ∴∠2＝15°， ∴∠1＝15°． 故答案为15°．
16．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 2.5 m．
【分析】设绳索AD的长为xm，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，△ACB是直角三角形， ∴CE＝BF＝1m，
∴CD＝CE﹣DE＝1﹣0.5＝0.5（m）， 设绳索AD的长为xm，
则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣0.5）2+1.52＝x2， 解得：x＝2.5（m）， 即绳索AD的长是2.5m， 故答案为：2.5．
17．如图，直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，8，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2021的坐标为 （1012，0） ．
【分析】观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，由于2020÷4＝505，A2020在第四象限，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即可解． 解：∵各三角形都是等腰直角三角形， ∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半， ∴A3（0，0），A7（﹣2，0），A11（﹣4，0）…， ∵2021÷4＝505……1，
∴点A2021在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是（2021+3）÷2＝1012， ∴A2021的坐标为（1012，0）． 故答案为：（1012，0）．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18．计算：
．
【分析】先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质运算，再分母有理化，然后化简后合并即可． 解：原式＝＝＝2＝
﹣﹣
+2 +2
﹣
+2
+2．
19．解二元一次方程组：．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
解：方程组整理得：①+②得：4x＝10， 解得：x＝2.5，
，
把x＝2.5代入①得：2.5﹣2y＝2， 解得：y＝0.25， 则方程组的解为
．
20．如图，已知A（1，2），B（1，﹣4），C（﹣4，﹣2）． （1）△ABC的面积是 15 ．
（2）在坐标系中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
【分析】（1）直接利用三角形面积公式计算；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可． 解：（1）△ABC的面积＝×6×5＝15； 故答案为：15；
（2）如图，△A1B1C1为所作．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．某市举行知识大赛，A校，B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示． （1）根据图示填写表； A校 B校
平均数/分 中位数/分 众数/分 85 85
85 80
85 100
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好．
【分析】（1）先根据条形统计图得出A、B学校5位选手的具体成绩，再根据平均数、中位数及众数的定义求解即可；
（2）在平均数相等的前提下，中位数越大高分人数越多，据此求解即可． 解：（1）由图知，A校5位选手的成绩为75、80、85、85、100， B校5位选手的成绩为70、75、80、100、100， ∴A校5名选手成绩的平均数为B校5名选手成绩的中位数为80，
＝85，中位数是85，众数为85，
故答案为：85、85、85、80；
（2）A学校的决赛成绩较好．理由如下：
由表知，A、B两校选手成绩的平均数相等，而A校选手成绩的中位数大于B校， 所以A学校的决赛成绩较好．
22．如图，已知CD∥EF，MD平分∠ADC，∠2＝∠3． （1）求证：MD∥BC．
（2）若EF⊥AB，BD＝2，求BC的长．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠DCB＝∠3，从而可得∠2＝∠DCB，即可判定MD∥BC；
（2）由EF⊥AB，CD∥EF得∠BDC＝90°，再由MD∥BC得∠2＝∠BCD，从而可得∠BCD＝∠B，故CD＝BD＝2，利用勾股定理可求BC的长度． 【解答】（1）证明：∵CD∥EF， ∴∠DCB＝∠3， ∵∠2＝∠3， ∴∠2＝∠DCB， ∴MD∥BC；
（2）解：∵EF⊥AB，CD∥EF， ∴∠BDC＝∠AFE＝90°， ∵MD∥BC，
∴∠2＝∠BCD，∠1＝∠B， ∵MD平分∠ADC， ∴∠1＝∠2， ∴∠BCD＝∠B， ∴CD＝BD＝2， 在Rt△BCD中，BC＝
．
23．为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：
产品
制作一件产品所需时间
（小时） 制作一件产品所获利润
（元）
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值．
【分析】（1）设制作展板数量为x件，横幅数量为y件，则宣传册数量为5x件，根据题意列出二元一次方程组即可；
（2）根据三种产品的利润之和等于700列出函数关系式，然后根据一次函数的性质求出最小值．
解：（1）设制作展板数量为x件，横幅数量为y件，则宣传册数量为5x件， 由题意得：
，
20
3
10
展板 1
宣传册
横幅
解得：，
答：制作展板数量10件，宣传册数量50件，横幅数量10件；
（2）设制作三种产品总量为w件，展板数量m件，则宣传册数量5m件，横幅数量（w﹣6m）件，
由题意得：20m+3×5m+10（w﹣6m）＝700， 解得：w＝m+70， ∴w是m的一次函数， ∵k＝，
∴w随m的增加而增加，
∵三种产品均有制作，且w，m均为正整数， ∴当m＝2时，w有最小值，则wmin＝75， 答：制作三种产品总量的最小值为75件．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，在直角坐标系中，A（1，4），B（1，1），C（5，1），点D是x轴上的动点． （1）四边形ABDC的面积是 8 ；
（2）当直线AD平分△ABC的面积时，求此时直线的表达式； （3）当△ACD的面积是10时，直接写出点D的坐标．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ABDC的面积＝△ABC的面积+△BDC的面积，根据三角形面积公式求解即可；
（2）当直线AD过边BC的中点F时，直线AD平分△ABC的面积，求出点F的坐标，将点A和点F的坐标代入求解即可；
（3）延长AC交x轴于点G，则△ACD的面积＝△ADG的面积﹣△CDG的面积，设出点D的坐标，表达面积，建立方程，求解即可． 解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∵A（1，4），B（1，1），C（5，1）， ∴AB＝4，BC＝4，且AB⊥BC，DE＝1，
∴△ABC的面积＝×3×4＝6，△BDC的面积＝×4×1＝2， ∴四边形ABDC的面积＝△ABC的面积+△BDC的面积＝8． 故答案为：8．
（2）当直线AD过边BC的中点F时，直线AD平分△ABC的面积， ∵B（1，1），C（5，1）， ∴F（3，1），
设直线AF的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AF的解析式为y＝﹣x+．
（3）如图，延长AC交x轴于点G，
设直线AC的解析式为：y＝mx+n， ∵A（1，4），C（5，1），
∴，解得，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+令y＝0，则x＝∴G（
，0），
．
．
设点D的坐标为（t，0）， 则DG＝|t﹣
|，
|＝2|t﹣|＝|t﹣
|， |，
|＝10，
∴△ADG的面积为×4×|t﹣△DCG的面积为：×1×|t﹣
∴△ACD的面积＝△ADG的面积﹣△CDG的面积＝|t﹣解得t＝13或t＝﹣．
∴点D的坐标为（13，0）或（﹣，0）．
25．我们知道，等腰三角形的两个底角相等，它反映了边与角的转化关系． 如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，我们可以用几何语言表示如下： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C．
如图1，现在有△ABC，点D是AC的中点，E是BC上．一点，将△CDE沿DE折叠到△FDE，连接AF．
（1）设∠DAF＝α，∠DCF＝β，则∠DFA＝ α ，∠DFC＝ 90°﹣α （结果用含α或β式子表示）． （2）求证：DE∥AF．
（3）如图2，当点E与点B重合时，AB平分∠CAF，若∠AFD＝56°，求∠ABD的度数．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和折叠的性质可求解； （2）由折叠的性质可得∠CDE＝∠EDF＝α＝∠DAF，可得结论；
（3）由角平分线的性质可求∠DAB＝∠BAF＝28°，由角平分线的性质可求解． 【解答】（1）解：∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD＝DF，
∵将△CDE沿DE折叠到△FDE， ∴CD＝DF， ∴AD＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA＝α， ∴∠CDF＝2α， ∵CD＝DF， ∴∠DFC＝∠DCF＝故答案为：α；90°﹣α；
（2）证明：∵将△CDE沿DE折叠到△FDE， ∴∠CDE＝∠EDF＝α， ∴∠CDE＝∠DAF＝α， ∴DE∥AF；
（3）解：∵∠DAF＝∠DFA＝56°，AB平分∠CAF， ∴∠DAB＝∠BAF＝28°， ∵DA＝DB， ∴∠ABD＝28°．
＝90°﹣α，
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