2021-2022学年广东省佛山市某校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将下列各题的正确选项填写在答题卡相应的位置上．
1. 在平面直角坐标系中，点(−2, 3)所在的象限是（ ） A.第一象限
2. 下列说法不正确的是( ) A.1的平方根是±1 C.√16的算术平方根是2
3. 下列各组数中以𝑎，𝑏，𝑐为边的三角形不是𝑅𝑡△的是（ ） A.𝑎=2，𝑏=3，𝑐=4 C.𝑎=6，𝑏=8，𝑐=10
4. 下列关于的说法中，错误的是（ ） A.是无理数 C.2<<3
5. 如图，在直角坐标系中，△𝐴𝑂𝐵是等边三角形，若𝐵点的坐标是(2, 0)，则𝐴点的坐
B.5的平方根是 D.的相反数是
B.𝑎=5，𝑏=12，𝑐=13 D.𝑎=3，𝑏=4，𝑐=5 B.−1的立方根是−1 D.√8是最简二次根式
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
标是（ ）A.(2, 1)
6. 下列运算正确的是（ ） A.
D.B.(1, 2)
C.(√3, 1)
D.(1, √3)
B.
C.＝
7. 与2−√3相乘，结果是1的数为（ ） A.√3
B.2−√3 C.−2+√3 D.2+√3 试卷第1页，总23页
8. 如图，一架长2.5𝑚的梯子𝐴𝐵靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端𝐴到墙根𝑂的距离为0.7𝑚，如果梯子的顶端𝐵下滑0.4𝑚至𝐵′，那么梯子底端将滑动（ ）
A.0.6𝑚
B.0.7𝑚
C.0.8𝑚
D.0.9𝑚
9. 若|𝑥+A.2021 10. 设A.0
|+(𝑦−
）2＝0，则(𝑥𝑦)2021等于（ ）
C.1
D.−1
B.−2021
的小数部分为𝑏，则𝑏(𝑏+4)的值是（ ）
B.5
C.3
D.无法确定
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
比较大小：3√2________2√5．
已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为________．
已知点𝑃(−12, 2𝑎+6)在𝑥轴上，则𝑎的值为________．
如果点𝑃在第四象限内，点𝑃到𝑥轴的距离是4，到𝑦轴的距离是3，那么点𝑃的坐标为________．
将一根16𝑐𝑚长的细木棒放入长、宽、高分别为4𝑐𝑚、3𝑐𝑚和12𝑐𝑚的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒子外面的最短长度是________．
试卷第2页，总23页
如图所示，一圆柱高𝐴𝐵为2𝑐𝑚，底面直径𝐵𝐶为4𝑐𝑚，一只蚂蚁从点𝐴出发沿圆柱表面爬行到点𝐶，则蚂蚁爬行的最短路程是 6 𝑐𝑚(𝜋取3)．
如图是一个“螺旋形”图案，该图案是由一连串直角三角形演化而成的，其中𝑂𝐴1＝1，𝐴1𝐴2＝𝐴2𝐴3＝𝐴3𝐴4＝…＝𝐴𝑛𝐴𝑛+1＝2，则△𝑂𝐴10𝐴11的面积为________．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
计算：（
）−2
-（
）2
．
观察图，每个小正方形的边均为1，可以得到每个小正方形的面积为1．
（1）图中阴影部分的面积是________；阴影部分正方形的边长是________．
（2）估计边长的值在整数________和________之间．
（3）在数轴上作出阴影部分正方形边长的对应点（要求保留作图痕迹）．
如图所示，△𝐴𝐵𝐶中．
（1）若∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶＝3:2:1，求∠𝐴的度数；
（2）在（1）的条件下，若𝐴𝐵＝2，𝐴𝐶＝6，求𝐵𝐶边上的高．
试卷第3页，总23页
四、解答题（二）(本大题共3小题，每小题8分，共24分）请在答题卡相应位置上作答．
如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△𝐴𝐵𝐶的顶点均在格点上，点𝐴、𝐵、𝐶的坐标分别是𝐴(−7, 4)、𝐵(−6, 7)、𝐶(−1, 2)．
（1）在这个坐标系内画出△𝐴1𝐵1𝐶1，使△𝐴1𝐵1𝐶1与△𝐴𝐵𝐶关于𝑥轴对称；
（2）判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由；
（3）求△𝐴𝐵𝐶的面积．
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边𝐴𝐶＝6𝑐𝑚，𝐵𝐶＝8𝑐𝑚．现将直角边𝐴𝐶沿直线𝐴𝐷折叠，使它落在斜边𝐴𝐵上，且与𝐴𝐸重合．
（1）分别求𝐴𝐵、𝐸𝐵的长；
（2）求𝐶𝐷的长．
已知：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶＝90∘，𝐴𝐵＝𝐴𝐶，直线𝑙是经过点𝐴的一条直线，𝐶𝐷⊥𝑙于点𝐷，𝐵𝐸⊥𝑙于点𝐸．
（1）说明：△𝐴𝐵𝐸≅△𝐶𝐴𝐷；
试卷第4页，总23页
（2）已知：𝐵𝐸＝
（3）若𝐵𝐸＝𝑎，𝐴𝐸＝𝑏，𝐴𝐵＝𝑐，利用此图证明勾股定理．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）请在答题卡相应位置上作答．
我们知道，（
）2＝2，(3+
）(3−
）＝32−（
）2＝7…如果两个含
，𝐷𝐸＝
，求𝐶𝐷；
有二次根式的非零代式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如3+
与3−
互为有理化因式，
+
与
-互为有理化
因式．
利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这
个过程称为分母有理化，例如．＝＝，＝
＝＝．
（1）
分母有理化的结果是________，分母有理化的结果是________；
（2）
分母有理化的结果是________；(𝑛≥0)
（3）求（（
+1)的值．
）
试卷第5页，总23页
如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶＝90∘，𝐴𝐵＝10𝑐𝑚，𝐵𝐶＝6𝑐𝑚，若动点𝑃从点𝐶开始，按𝐶→𝐴→𝐵→𝐶的路径运动，且速度为每秒1𝑐𝑚，设出发的时间为𝑡秒．
（1）𝐴𝐶＝ 8 𝑐𝑚；
（2）出发3秒后，求△𝐴𝐵𝑃的面积；
（3）当𝑡为几秒时，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶；
（4）问𝑡为何值时，△𝐵𝐶𝑃为等腰三角形？
试卷第6页，总23页
参考答案与试题解析
2021-2022学年广东省佛山市某校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将下列各题的正确选项填写在答题卡相应的位置上． 1. 【答案】 B 【考点】 点的坐标 【解析】
根据各象限内点的坐标特征解答． 【解答】
解：四个象限的符号特点分别是：第一象限(+, +)；第二象限(−, +)；第三象限(−, −)；第四象限(+, −)．
因为−2<0,3>0，所以点(−2, 3)在第二象限． 故选𝐵. 2. 【答案】 D
【考点】 最简二次根式 立方根的实际应用 算术平方根 平方根 【解析】
根据平方根与立方根的概念即可求出答案． 【解答】
解：√8=2√2，故√8不是最简二次根式. 故选𝐷. 3. 【答案】 A
【考点】
勾股定理的逆定理 【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【解答】
解：𝐴选项中，∵ 22+32=42，∴ 2，3，4不能作为直角三角形的三边长； 𝐵、𝐶、𝐷选项的三个数都满足这种关系，能作为直角三角形的三边长． 故选𝐴．
试卷第7页，总23页
4. 【答案】 B
【考点】
估算无理数的大小 【解析】
分别根据无理数的定义，平方根的定义，无理数的估算以及相反数的定义逐一判断即可． 【解答】
𝐴、是无理数，故本选项不合题意；
𝐵、5的平方根是±，故本选项符合题意； 𝐶、，说法正确； 𝐷、5. 【答案】 D
【考点】
等边三角形的判定方法 坐标与图形性质 【解析】
首先过点𝐴作𝐴𝐶⊥𝑂𝐵于点𝐶，由△𝐴𝑂𝐵是等边三角形，若𝐵点的坐标是(2, 0)，可求得𝑂𝐴=𝑂𝐵=2，𝑂𝐶=1，然后由勾股定理求得𝐴𝐶的长，则可求得答案． 【解答】
解：过点𝐴作𝐴𝐶⊥𝑂𝐵于点𝐶， ∵ 𝐵点的坐标是(2, 0)， ∴ 𝑂𝐵=2，
∵ △𝐴𝑂𝐵是等边三角形，
∴ 𝑂𝐴=𝑂𝐵=2，𝑂𝐶=𝑂𝐵=1，
21
的相反数是，故本选项不合题意．
在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐶中，𝐴𝐶=√𝑂𝐴2−𝑂𝐶2=√3， ∴ 𝐴点的坐标是：(1, √3)．
故选：𝐷．6. 【答案】 A
【考点】
二次根式的混合运算 【解析】
试卷第8页，总23页
利用二次根式的乘法法则对𝐴进行判断；根据二次根式的加减法对𝐵、𝐶进行判断；根据二次根式的除法法则对𝐷进行判断． 【解答】 𝐴、原式＝𝐵、
与
＝
；
不能合并； -； ＝
．
𝐶、原式＝8𝐷、原式＝7. 【答案】 D
【考点】 分母有理化 【解析】
用1除以2−√3，得出的结果即为所求的数． 【解答】 解：2−8. 【答案】 C
【考点】
勾股定理的应用 【解析】
利用勾股定理计算出𝐵𝑂长，进而可得𝐵′𝑂的长，然后再利用勾股定理计算出𝐴′𝑂的长，进而可得答案． 【解答】
∵ 𝐴𝐵＝2.5𝑚．𝐴𝑂＝3.7𝑚， ∴ 𝐵𝑂＝
＝
＝2.4(𝑚)，
1√2+√3√3)(2+√3)=(2−3=2+√3．
故选𝐷．
∵ 𝐵′𝑂＝𝐵𝑂−𝐵𝐵′＝5.4−0.3＝2(𝑚)． ∴ 𝐴′𝑂＝
＝1.5(𝑚)，
𝐴′𝐴＝𝐴′𝑂−𝐴𝑂＝5.5−0.8＝0.8(𝑚)． 故梯足将滑动的距离是5.8𝑚． 9. 【答案】 D
【考点】
非负数的性质：偶次方 非负数的性质：绝对值
试卷第9页，总23页
整式的加减——化简求值 【解析】
根据非负数的性质分别求出𝑥、𝑦的值，根据乘方法则计算即可． 【解答】
∵ |𝑥+|+(𝑦−
）2＝0，
∴ ，，
解得，，
∴ 10. 【答案】 C
【考点】
估算无理数的大小 平方差公式 【解析】 首先确定【解答】 ∵ ∴ 𝑏＝把𝑏＝
，
代入式子𝑏(𝑏+4)中，
−2)(4+
．
，
的小数部分为𝑏，
，
．
的整数部分，然后即可确定小数部分𝑏，由题意可知𝑏＝，把它代
入所求式子计算即可．
原式＝𝑏(4+𝑏)＝（
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 【答案】 <
【考点】 实数大小比较 【解析】
将两数进行平方，然后比较大小即可． 【解答】
试卷第10页，总23页
解：(3√2)2=18，(2√5)2=20， ∵ 18<20， ∴ 3√2<2√5． 故答案为：<． 【答案】 4或√34 【考点】 勾股定理 【解析】
此题要分两种情况：当3和5都是直角边时，当5是斜边长时，分别利用勾股定理计算出第三边长即可． 【解答】
解：当3和5都是直角边时，第三边长为：√32+52=√34， 当5是斜边长时，第三边长为：√52−32=4， 故答案为：4或√34． 【答案】 −3 【考点】 点的坐标 【解析】
根据𝑥轴上点的纵坐标为0列方程求出𝑎，再求解即可． 【解答】
∵ 𝑃(−12, 2𝑎+6)在𝑥轴上， ∴ 2𝑎+6＝0， 解得𝑎＝−2， 【答案】 (3, −4) 【考点】 点的坐标 【解析】
根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】
解：点𝑃在第四象限内，点𝑃到𝑥轴的距离是4，到𝑦轴的距离是3，那么点𝑃的坐标为(3, −4)，
故答案为：(3, −4)． 【答案】 3
【考点】
勾股定理的应用 【解析】
试卷第11页，总23页
长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可． 【解答】
如图，由题意知：盒子底面对角长为盒子的对角线长：
＝13(𝑐𝑚)，
，
∵ 细木棒长16𝑐𝑚，
∴ 细木棒露在盒外面的最短长度是：16−13＝3𝑐𝑚． 【答案】 6
【考点】
平面展开-最短路径问题 【解析】
首先画出示意图，连接𝐴𝐶，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，𝐵𝐶＝×底面圆的
周长，再在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中利用勾股定理算出𝐴𝐶的长即可，再计算𝐴𝐵+𝐵𝐶＝8，比较两种情形的数值的大小即可判断； 【解答】
将圆柱体的侧面展开并连接𝐴𝐶．
∵ 圆柱的直径为4𝑐𝑚，
∴ 𝐵𝐶＝×4⋅𝜋≈6(𝑐𝑚)，
在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，𝐴𝐶8＝𝐴𝐵2+𝐶𝐵2＝32+67＝40， ∴ 𝐴𝐶＝2
(𝑐𝑚)．
∵ 高𝐴𝐵为2𝑐𝑚，底面直径𝐵𝐶为2𝑐𝑚， ∴ 走高𝐴𝐵再走直径𝐵𝐶，其距离为6𝑐𝑚， ∵ 6<6
，
∴ 蚂蚁爬行的最短的路线长是6𝑐𝑚． 【答案】
【考点】 勾股定理 【解析】
根据勾股定理求出各斜边的长，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
试卷第12页，总23页
【解答】
∵ 𝑂𝐴1＝1，𝐴3𝐴2＝𝐴2𝐴7＝𝐴3𝐴4＝…＝𝐴𝑛𝐴𝑛+7＝2， ∴ 𝑂𝐴2＝＝
…，
， ，
＝
，𝑂𝐴3＝
＝
，𝑂𝐴4＝
，𝑂𝐴6
∴ 𝑂𝐴𝑛＝∴ 𝑂𝐴10＝
∴ △𝑂𝐴10𝐴11的面积＝【答案】 原式＝4+2＝1．
【考点】
二次根式的混合运算 负整数指数幂 【解析】
−3+
×2×＝，
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
先根据负整数指数幂和二次根式的性质计算，然后化简后合并即可． 【解答】 原式＝4+2＝1． 【答案】 10,3,4
如图，点𝑃表示数
的点．
−3+
【考点】 实数
在数轴上表示实数 估算无理数的大小 数轴 【解析】
试卷第13页，总23页
（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解；再利用算术平方根的定义求出边长； （2）根据无理数的大小估算方法解答；
（3）利用勾股定理作出边长表示的无理数即可 【解答】
阴影部分面积为：阴影部分正方形的边长为故答案为：10；∵ 2<10<16， ∴ 3<
<4，
；
，
＝16−6＝10，
即边长的值在整数3和4之间； 如图，点𝑃表示数
的点．
【答案】
∵ ∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶＝3:2:3， ∴ 设∠𝐴＝3𝑥，则∠𝐵＝2𝑥， ∵ ∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶＝180∘， ∴ 3𝑥+2𝑥+𝑥＝180∘， ∴ 𝑥＝30∘ ∴ ∠𝐴＝90∘；
如图，𝐴𝐷⊥𝐶𝐵于点𝐷，
∵ ∠𝐶＝30，𝐴𝐶＝6，
∘
∴ 𝐴𝐷＝𝐴𝐶＝3．
【考点】
含30度角的直角三角形 【解析】
（1）由三角形内角和定理可得出答案； （2）由直角三角形的性质可得出答案． 【解答】
试卷第14页，总23页
∵ ∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶＝3:2:3， ∴ 设∠𝐴＝3𝑥，则∠𝐵＝2𝑥， ∵ ∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶＝180∘， ∴ 3𝑥+2𝑥+𝑥＝180∘， ∴ 𝑥＝30∘ ∴ ∠𝐴＝90∘；
如图，𝐴𝐷⊥𝐶𝐵于点𝐷，
∵ ∠𝐶＝30，𝐴𝐶＝6，
∘
∴ 𝐴𝐷＝𝐴𝐶＝3．
四、解答题（二）(本大题共3小题，每小题8分，共24分）请在答题卡相应位置上作答． 【答案】
如图：△𝐴1𝐵1𝐶4即为所求；
△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
理由：∵ 𝐴𝐵2＝12+32＝10， 𝐵𝐶2＝52+32＝50， 𝐴𝐶2＝72+65＝40， ∴ 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2＝𝐴𝐶5， ∴ △𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
△𝐴𝐵𝐶的面积＝【考点】
作图-轴对称变换 勾股定理的逆定理 勾股定理
＝×＝10．
试卷第15页，总23页
【解析】
（1）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用勾股定理逆定理得出答案； （3）根据三角形面积面积求得即可． 【解答】
如图：△𝐴1𝐵1𝐶4即为所求；
△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
理由：∵ 𝐴𝐵2＝12+32＝10， 𝐵𝐶2＝52+32＝50， 𝐴𝐶2＝72+65＝40， ∴ 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2＝𝐴𝐶5， ∴ △𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
△𝐴𝐵𝐶的面积＝【答案】
∵ ∠𝐶＝90∘，𝐴𝐶＝6𝑐𝑚， ∴ 𝐴𝐵＝
＝×＝10．
＝10𝑐𝑚，
∵ 将直角边𝐴𝐶沿直线𝐴𝐷折叠，使它落在斜边𝐴𝐵上． ∴ 𝐴𝐸＝𝐴𝐶＝6𝑐𝑚， ∴ 𝐶𝐸＝4𝑐𝑚；
设𝐶𝐷＝𝐷𝐸＝𝑥，
在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐵中，∵ 𝐷𝐸5+𝐸𝐵2＝𝐷𝐵2， ∴ 𝑥2+42＝(7−𝑥)2 ∴ 𝑥＝3，
∴ 𝐶𝐷＝8𝑐𝑚． 【考点】
翻折变换（折叠问题） 【解析】
（1）根据勾股定理得到𝐴𝐵，根据翻折的性质可知：𝐴𝐶＝𝐴𝐸＝6，于是得到结论； （2）设𝐶𝐷＝𝐷𝐸＝𝑥，在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐵中利用勾股定理解决．
试卷第16页，总23页
【解答】
∵ ∠𝐶＝90∘，𝐴𝐶＝6𝑐𝑚， ∴ 𝐴𝐵＝
＝10𝑐𝑚，
∵ 将直角边𝐴𝐶沿直线𝐴𝐷折叠，使它落在斜边𝐴𝐵上． ∴ 𝐴𝐸＝𝐴𝐶＝6𝑐𝑚， ∴ 𝐶𝐸＝4𝑐𝑚；
设𝐶𝐷＝𝐷𝐸＝𝑥，
在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐵中，∵ 𝐷𝐸5+𝐸𝐵2＝𝐷𝐵2， ∴ 𝑥2+42＝(7−𝑥)2 ∴ 𝑥＝3，
∴ 𝐶𝐷＝8𝑐𝑚． 【答案】
证明：∵ 𝐶𝐷⊥𝑙，𝐵𝐸⊥𝑙， ∴ ∠𝐴𝐸𝐵＝∠𝐶𝐷𝐴＝90∘，
∵ ∠𝐵𝐴𝐷＝∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐷𝐴𝐶＝∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐸𝐵𝐴，∠𝐵𝐴𝐶＝90∘， ∴ ∠𝐷𝐴𝐶＝∠𝐸𝐵𝐴， 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐴𝐷中，
，
∴ △𝐴𝐵𝐸≅△𝐶𝐴𝐷(𝐴𝐴𝑆)； 由（1）得：△𝐴𝐵𝐸≅△𝐶𝐴𝐷， ∴ 𝐴𝐷＝𝐵𝐸＝∵ 𝐷𝐸＝
＝2＝4
，
； ，
∴ 𝐶𝐷＝𝐴𝐸＝𝐷𝐸−𝐴𝐷＝2
证明：由（1）得：△𝐴𝐵𝐸≅△𝐶𝐴𝐷， ∴ 𝐴𝐸＝𝐶𝐷＝𝑏，𝐵𝐸＝𝐴𝐷＝𝑎， ∵ 𝐶𝐷⊥𝑙，𝐵𝐸⊥𝑙， ∴ 𝐶𝐷 // 𝐵𝐸，
∵ 梯形𝐶𝐷𝐸𝐵的面积＝△𝐴𝐵𝐸得面积+△𝐶𝐴𝐷的面积+△𝐴𝐵𝐶的面积，
∴ (𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)＝𝑎𝑏+
𝑐2，
整理得：𝑎2+𝑏4＝𝑐2． 【考点】
全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形 勾股定理的证明 【解析】
试卷第17页，总23页
（1）由𝐴𝐴𝑆证明△𝐴𝐵𝐸≅△𝐶𝐴𝐷即可； （2）由全等三角形的性质得𝐴𝐷＝𝐵𝐸＝
＝2
，𝐴𝐸＝𝐶𝐷，进而得出答案；
（3）先由全等三角形的性质得𝐴𝐸＝𝐶𝐷＝𝑏，𝐵𝐸＝𝐴𝐷＝𝑎，再由梯形𝐶𝐷𝐸𝐵的面积＝△
𝐴𝐵𝐸得面积+△𝐶𝐴𝐷的面积+△𝐴𝐵𝐶的面积，得𝑐2，整理即可． 【解答】
(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)＝𝑎𝑏+𝑎𝑏+
证明：∵ 𝐶𝐷⊥𝑙，𝐵𝐸⊥𝑙， ∴ ∠𝐴𝐸𝐵＝∠𝐶𝐷𝐴＝90∘，
∵ ∠𝐵𝐴𝐷＝∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐷𝐴𝐶＝∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐸𝐵𝐴，∠𝐵𝐴𝐶＝90∘， ∴ ∠𝐷𝐴𝐶＝∠𝐸𝐵𝐴， 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐴𝐷中，
，
∴ △𝐴𝐵𝐸≅△𝐶𝐴𝐷(𝐴𝐴𝑆)； 由（1）得：△𝐴𝐵𝐸≅△𝐶𝐴𝐷， ∴ 𝐴𝐷＝𝐵𝐸＝∵ 𝐷𝐸＝
＝2＝4
，
； ，
∴ 𝐶𝐷＝𝐴𝐸＝𝐷𝐸−𝐴𝐷＝2
证明：由（1）得：△𝐴𝐵𝐸≅△𝐶𝐴𝐷， ∴ 𝐴𝐸＝𝐶𝐷＝𝑏，𝐵𝐸＝𝐴𝐷＝𝑎， ∵ 𝐶𝐷⊥𝑙，𝐵𝐸⊥𝑙， ∴ 𝐶𝐷 // 𝐵𝐸，
∵ 梯形𝐶𝐷𝐸𝐵的面积＝△𝐴𝐵𝐸得面积+△𝐶𝐴𝐷的面积+△𝐴𝐵𝐶的面积，
∴ (𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)＝𝑎𝑏+
𝑐2，
整理得：𝑎2+𝑏4＝𝑐2．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）请在答题卡相应位置上作答． 【答案】
,-
-
试卷第18页，总23页
原式＝（−3+-+--）（
＝（−1)（
＝2020−2 ＝2019．
【考点】 分母有理化
二次根式的混合运算 平方差公式 【解析】
（1）（2）利用分母有理化的定义进行计算；
（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【解答】
分母有理化的结果是，-；
分母有理化的结果是-；
故答案为，-；-；
原式＝（−3+-
+-
-）（
＝（−1)（
＝2020−2 ＝2019． 【答案】
如图1，
∵ ∠𝐶＝90∘，𝐴𝐵＝10𝑐𝑚， ∴ 𝐴𝐶＝＝3(𝑐𝑚)，
故答案为：8；
根据题意可得：𝑃𝐶＝3𝑐𝑚，则𝐴𝑃＝4𝑐𝑚，
故△𝐴𝐵𝑃的面积为：×𝐴𝑃×𝐵𝐶＝
2
)；
如图2所示，过点𝑃作𝑃𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷， ∵ 𝐵𝑃平分∠𝐶𝐵𝐴， ∴ 𝑃𝐷＝𝑃𝐶．
在𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐷与𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐶中，
，
试卷第19页，总23页
∴ 𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐷≅𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐶(𝐻𝐿)， ∴ 𝐵𝐷＝𝐵𝐶＝6𝑐𝑚，
∴ 𝐴𝐷＝10−6＝3(𝑐𝑚)． 设𝑃𝐶＝𝑥𝑐𝑚
在𝑅𝑡△𝐴𝑃𝐷中，𝑃𝐷2+𝐴𝐷2＝𝑃𝐴4， 即𝑥2+42＝(8−𝑥)2， 解得：𝑥＝3，
∴ 当𝑡＝3秒时，𝐵𝑃平分∠𝐶𝐵𝐴； 如图3，
若𝑃在边𝐴𝐶上时，𝐵𝐶＝𝐶𝑃＝5𝑐𝑚，
此时用的时间为6𝑠，△𝐵𝐶𝑃为等腰三角形； 若𝑃在𝐴𝐵边上时，有3种情况： ①如图7，
若使𝐵𝑃＝𝐶𝐵＝6𝑐𝑚，此时𝐴𝑃＝4𝑐𝑚，
所以用的时间为12𝑠，故𝑡＝12𝑠时△𝐵𝐶𝑃为等腰三角形； ②如图2，
若𝐶𝑃＝𝐵𝐶＝6𝑐𝑚，过𝐶作斜边𝐴𝐵的高， 根据勾股定理求得𝐵𝑃＝7.5𝑐𝑚，
所以𝑃运动的路程为18−7.2＝10.8(𝑐𝑚)， ∴ 𝑡的时间为10.8𝑠，△𝐵𝐶𝑃为等腰三角形； ③如图6，
若𝐵𝑃＝𝐶𝑃时，则∠𝑃𝐶𝐵＝∠𝑃𝐵𝐶，
∵ ∠𝐴𝐶𝑃+∠𝐵𝐶𝑃＝90∘，∠𝑃𝐵𝐶+∠𝐶𝐴𝑃＝90∘，
试卷第20页，总23页
∴ ∠𝐴𝐶𝑃＝∠𝐶𝐴𝑃， ∴ 𝑃𝐴＝𝑃𝐶，
∴ 𝑃𝐴＝𝑃𝐵＝3𝑐𝑚，
∴ 𝑃的路程为13𝑐𝑚，所以时间为13𝑠时．
∴ 𝑡＝6𝑠或13𝑠或12𝑠或10.8𝑠 时△𝐵𝐶𝑃为等腰三角形．
【考点】 三角形综合题 【解析】
（1）利用勾股定理得出𝐴𝐶＝8𝑐𝑚即可； （2）表示出𝐴𝑃的长，进而得出答案；
（3）过点𝑃作𝑃𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，由𝐻𝐿证明𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐷≅𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐶，得出𝐵𝐷＝𝐵𝐶＝6𝑐𝑚，因此𝐴𝐷＝10−6＝4(𝑐𝑚)，设𝑃𝐶＝𝑥 𝑐𝑚，则𝑃𝐴＝(8−𝑥)𝑐𝑚，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（4）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案． 【解答】
如图1，
∵ ∠𝐶＝90∘，𝐴𝐵＝10𝑐𝑚， ∴ 𝐴𝐶＝故答案为：8；
根据题意可得：𝑃𝐶＝3𝑐𝑚，则𝐴𝑃＝4𝑐𝑚，
＝3(𝑐𝑚)，
故△𝐴𝐵𝑃的面积为：×𝐴𝑃×𝐵𝐶＝
2
)；
如图2所示，过点𝑃作𝑃𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷， ∵ 𝐵𝑃平分∠𝐶𝐵𝐴， ∴ 𝑃𝐷＝𝑃𝐶．
在𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐷与𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐶中，
，
试卷第21页，总23页
∴ 𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐷≅𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐶(𝐻𝐿)， ∴ 𝐵𝐷＝𝐵𝐶＝6𝑐𝑚，
∴ 𝐴𝐷＝10−6＝3(𝑐𝑚)． 设𝑃𝐶＝𝑥𝑐𝑚
在𝑅𝑡△𝐴𝑃𝐷中，𝑃𝐷2+𝐴𝐷2＝𝑃𝐴4， 即𝑥2+42＝(8−𝑥)2， 解得：𝑥＝3，
∴ 当𝑡＝3秒时，𝐵𝑃平分∠𝐶𝐵𝐴； 如图3，
若𝑃在边𝐴𝐶上时，𝐵𝐶＝𝐶𝑃＝5𝑐𝑚，
此时用的时间为6𝑠，△𝐵𝐶𝑃为等腰三角形； 若𝑃在𝐴𝐵边上时，有3种情况： ①如图7，
若使𝐵𝑃＝𝐶𝐵＝6𝑐𝑚，此时𝐴𝑃＝4𝑐𝑚，
所以用的时间为12𝑠，故𝑡＝12𝑠时△𝐵𝐶𝑃为等腰三角形； ②如图2，
若𝐶𝑃＝𝐵𝐶＝6𝑐𝑚，过𝐶作斜边𝐴𝐵的高， 根据勾股定理求得𝐵𝑃＝7.5𝑐𝑚，
所以𝑃运动的路程为18−7.2＝10.8(𝑐𝑚)， ∴ 𝑡的时间为10.8𝑠，△𝐵𝐶𝑃为等腰三角形； ③如图6，
若𝐵𝑃＝𝐶𝑃时，则∠𝑃𝐶𝐵＝∠𝑃𝐵𝐶，
∵ ∠𝐴𝐶𝑃+∠𝐵𝐶𝑃＝90∘，∠𝑃𝐵𝐶+∠𝐶𝐴𝑃＝90∘，
试卷第22页，总23页
∴ ∠𝐴𝐶𝑃＝∠𝐶𝐴𝑃， ∴ 𝑃𝐴＝𝑃𝐶，
∴ 𝑃𝐴＝𝑃𝐵＝3𝑐𝑚，
∴ 𝑃的路程为13𝑐𝑚，所以时间为13𝑠时．
∴ 𝑡＝6𝑠或13𝑠或12𝑠或10.8𝑠 时△𝐵𝐶𝑃为等腰三角形．
试卷第23页，总23页
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