石油仪器 ＰＥＴＲｏＬＥＵＭ ＩＮＳＴＲＵＭＥＮＩＳ ・方法研究・ 六角晶系固体中传播的平面波的极化研究Ｉ：理论推导 法 林 贾俊强 王艳强 汤少杰 梁 猛 马俊威 （１．西安邮电大学陕西西安）（２ 西安电子科技大学陕西西安） 摘 要：文章依据Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ方程推导出了六角晶系固体内传播的准 波和准ＳＶ－波的极化系数的解析表达式，论证了准 尸－波的极化方向垂直于准ＳＶ－波的极化方向，给出了相速度方向和能量速度方向与极化方向之间的关系，为分析六角晶系 固体的各向异性对准Ｐ－波和准ＳＶ－波的极化行为的影响提供了一个理论依据。 关键词：各向异性；极化；纯纵波ＶＴＩ介质；六角晶系 中图法分类号：Ｐ３１５．０ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１００４—９１３４（２０１４）０３—００５４—０４ ０引 言 弹性各向异性在地球内部是一种常见的现象。许 Ｃ＝ 一 多地球物理学家已观察到这一现象并进行了广泛的研 ０ ０ ０ ％ 究＿１ ｊ。人们通常是把沉积岩（例如页岩）视为横向 ０ ０ ０ 各向同性（ＴＩ）的。理论上，力学性质关于其垂直轴 彩 对称的横向各向同性介质（即ＶＴＩ介质）可以用六方 如图１所示，直角坐标系０一．瑚０ 一％ 中，Ｚ车由是六角晶 ｌＪ ●．＿＿●●一● ０ ０ ０ 臼 晶体的弹性模量张量来描述ｌ５Ｊ。在这个意义上，我们 系固体的对称轴。坐标系０一 轴逆时针方向旋转 ， ，ｈ， 可把ＶＴＩ介质和六角晶体称为六角晶系固体。研究各 ０ ０角度得到新的坐标系０一ｘ＇ ０ ４ ０ ０ ｙ＇ｚ ，坐标变换矩阵可写为 向异性对在六角晶系固体内传播的准尸．波和准ＳＶ－波 ０ １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ 的极化，传播和反射／折射的影响对地震勘探的正演 研究ｌ６］和地震勘探数据的反演解释ｌｌ７］具有潜在的重要 ０ Ｏ Ｏ ０ ０ 性。在下面我们对六角晶系固体内传播的准Ｐ一波和准 ＿ｃ ０删 ＳＶ－波的极化系数进行严格的推导，论证准Ｐ－波的极 化方向垂直于准ＳＶ－波的极化方向，并给出相速度方 向和能量速度方向ｌ８ Ｊ与极化方向之间的关系。 Ｏ ＝：－Ｊ … 一 ｔ 、、 １ 准Ｐ－波的极化方向和准 波的极化方向的 图１坐标旋转 关系 由公式（２）可以得到六角晶系固体的刚度系数 １．１ 系中六角晶系的弹性模量的表达式 在坐标系０一ｘｙｚ中的表示式变换到新坐标系０一 中 对于六角晶系固体，其弹性模量张量可以写为 的表示式的变换矩阵如下［ ］： ｆ 靠 ２ｎ ｎｘｚ ２ ２以 ＣＯＳ２０ ０ ｓｉｎ２０ ０ －ｓｉｎ０ｃｏｓ０ ０ Ｉ靠 靠 ２ ２ ｗ ｗ ２ ０ ｌ ０ ０ ０ ０ 赢 ２ｎ胡ｚｚ ２ｄｚ ｚｘ ２ｄ ｓｉｎ２０ ０ ＣＯＳ２０ ０ ｓｉｎ０ｃｏｓ０ ０ ： ｌｌＩｆｌｙｘａｚｘ ｎ ｎｙ私ｚ２ ａ ｎｚｚ＋ｎ 棚 ｎ ｚｚ十ｎ ａ ｄ ｚ ａ 私 ０ ０ ０ ｃｏｓ０ ０ ｓｉｎ０ ｛ａｚ ｎ＝ ｗ ａ＝ ｎ ｎｚｚ＋ａｘｚｎ ｎｘ ｚ ｎ Ｇｚｚ ａ ｎ ２ｓｉｎ０ｃｏｓ０ ０－２ｓｉｎ０ｃｏｓ０ ０ ｃｏｓ２０－ｓｉｎ２０ ０ Ｌａｘｘａｙｘ ａｖａｙｙ ａｘｚａｙｚ ｎ ｎ ｎｘ ａ ａ胡ｙＺ Ｑ胡 ｎ ０ ０ ０ －ｓｉｎ０ ０ ｃｏｓ０ ｆ３） 第一作者简介：法林，男，１９５５年牛，教授，高级工程师，１９８２年毕业于山东大学物理系，现在西安邮电大学从事教学研究工作。邮编：７ｌ００６１ ２０１４年 第２８卷 第３期 法林等：六角晶系固体中传播的平面波的极化研究Ｉ：理论推导 ａｘｘａｘｙ ・５５・ ０‘ ０ 蟊 ％ ａｘｚａ￣ ａｙｚａｙｘ ｃｏｓ２０ ０ ０ ｌ ｓｉｎＺＯ Ｏ ０ ０ ０ －ｓｉｎＯｃｏｓＯ ０ ０ ａｙｘａ￣ ａ￣ａｚｒ ｓｉｎ２０ ０ ０ ０ ｃｏｓＺＯ ０ ０ ｓｉｎＯｃｏｓＯ ０ ０ ｓｉｎＯ Ｎ＝ ２ｄ ２ａ ｚ），２ｎ ｎ ａｙｚａｚｙ ｄ ａ ｎ ｄ胡 ｃｏｓＯ ０ ２ｄ Ｈ ２ｎ ２ｎ胡 ｎ ｚｚ＋ｄ ａ ａ ｚｚ ｎ ａ）ｃ）ｎ ２ｓｉｎＯｃｏｓＯ ０－２ｓｉｎＯｃｏｓＯ ０ ０ ０ ０ ０ ＣＯＳ 一ｓｉｎ ０ ０ ０ ｃｏｓＯ２ａ ２ｎ ２ｎ １】ｚ ａ 证＋ｎ ａ棚ｖｘ＋ｎ ａ胡ｗ＋ｎ ｙｘ －ｓｉｎＯ ０ ０ （４） 则变换矩阵Ｎ的逆可写为 Ｃ０Ｓ２０ ０ ｓｉｎ２０ ０ ｓｉｎ２０ ，， ０ １ ０ ０ Ｏ Ｎ—Ｉ＝ ｓｉｎ２０ ０ ｃｏｓ２０ ０ ｓｉｎ２０ ９ ０ ０ ０ ｃｏｓＯ ０ 一ｓｉｎＯ ｓｉｎ２０ ０ ｓｉｎ２０ ０ ｃｏｓ２０ ０ ０ ０ ０ ｓｉｎＯ ０ ｃｏｓＯ （５） 因此在新坐标系０一 ｒｚ 中，六角晶系固体的弹性 模量可以写为： Ｃ，＝＾ １Ⅳ一１： 【０， 式中， ｃ １：Ｃ１１ｃｏｓ４ ＋Ｃ３３ｓｉｎ ＋—（Ｃ１３＋２Ｃ ４４）ｓｉｎ２２０———～， Ｃ ２＝Ｃｌ２ＣＯＳ ０＋Ｃ１ ３ｓｉｎ ０， Ｃ１３＝ｃ ｓｉｎ ＋ＣＯＳ４ （ 一６＇４ ２ ， ３一Ｃ１２ｓｉｎ ０＋Ｃ１３ＣＯＳ ０， Ｃａ５一—Ｃ１２－ Ｃ１ ３～ｓｉｎ２０， ｃ 一『一ｃ４ ｃ。ｓ２ ＋ （Ｃ１１－Ｃ１３）ＧＯＳ２０＋ （ＣＩ３－－Ｃ３３）ｓｉｎ２０］ｌｓｉｎ２ ， Ｃ￣３＝Ｃ１１ｓｉｎ４ ＋Ｃ］３Ｃ０Ｓ４ ＋（孚＋Ｃ４ ）ｓｉｎ ２ ， ［ ＋Ｃ４４… ２ ］ｓｉｌｌ２ ， Ｃ ＝Ｃ４４ＣＯＳ ＋Ｃ６６ｓｉｎ ０， ａ６一—Ｃ６６ －Ｃ４４一ｓｉｎ２０， ６一Ｃａ４ｓｉｎ ＋ｃ６６ＣＯＳ ０ 和 ０ ０ Ｏ ４ ０ ６ ５＝（ｃ１１＋ ３—２Ｃ１３，ｓｉ０ ｎ２２０２＋Ｃ４４ｃ０ｓ２２０。０ １．２准尸－波的极化方向垂直于准ＳＶ－波的极化方向的 ０ ０ ０ ０ 证明 如果简谐准Ｐ一波或简谐准ＳＶ－波在ｘ－ｙ平面内的任 意角 方向上（新坐标系的 轴方向）传播，其质点 位移速度可用ｅ， ’的形式来描述，因此可得如下 关系： ， 茜一０和 。这里， 是波数，∞是简谐波的角频率，，是时间变量。 由声场动态方程以及应力与质点位移速度（或质 点位移）之间的本构关系： ．于 ：ｐ （７） 和 吊 一Ｃ ： （８） 可以得到如下关系： 一 ＝ｊｃｏｐ ， （９） 一 死＝ ＆ ， （１０） 一 ＝ｌｆｏｐ ， （１１） ∞ ＝一 （Ｃ １ Ｖｘ ｒ十Ｃｉ５Ｖｚ，） （１２） 一一ｊｋ（ｃ１ ５Ｖｘ．＋ ５ ，） （１３） ∞ ＝一 尼ｃ６６ ｒ （１４） 式中 是矩阵运算的梯度算法，Ｐ是六角晶系固 体的密度，于和 （Ｉ＝１，２，３，４，５，６）是应力张 量和其分量， 和 （ｉ＝ ，Ｙ ，ｚ ）分别是质点位移 速度矢量和其分量。 消除方程（１０）和（１４）中的 得到： ∞ ，＝ｋ２ ６Ｖｙ （１５） 由方程（１５）可以得到关系 Ｔ ∞ （１６） 且由方程（１４）和（１５）可以得到 死一一 ， （１７） 因此应力分量也可用 （耐一 ’这种形式来描述。所 以 方向极化的切变波是一个纯切变波，即 。 消除方程（９），（１１），（１２）和（１３）中的 和 ，可以得到： 石油仪器 ＰＥＴＲｏＬＥＵＭ ｌＮＳＴＲＵＭＥＮＩＳ （ｃｌ１一ｐ ） 一－Ｉ－Ｃ ５ ，：０ （１８） Ｃｌ ５ ，＋（Ｃ；５一ｐｖ ） ，一０ （１９） 方程（１ ８）和（１９）存在非零解的条件是要求是 该方程组的行列式必须等于零，即： （ｃ １一ｐ ）（ｃ ５一ｐ ）一（ｃ ５） ＝０ （２０） 求解这个方程得出相速度的两个解如下： （ ）。，（ ）ＩＩ＝ＣＩ，＋Ｃ￣５＋．，／（ＣＩ，－ Ｃｊ５）２＋４（Ｃ１ ５）２ ，）（２１） 这两个解分别是沿 方向传播的准Ｐ一波和准ＳＶ－波 的相速度的解。这两个波的质点位移速度既有Ｘ 分量， 又有ｚ 分量，所以，这两个波既不是纯ＪＰ一波也不是纯 ＳＶ－波。 将相速度解（ ）Ｉ带人到方程（１ ８）和（１９）中 得到： Ｃ ｌ（ ，）１＋ｃ ５（ ，）Ｉ＝Ｐ（ ）１（ ，）Ｉ （２２） Ｃｌ ５（ ，）Ｉ＋Ｃ ５（ ，）ｌ＝Ｐ（ ）Ｉ（ ，）ｌ（２３） 用方程（２２）和（２３）分别乘以（ 一）ＩＩ和（Ｖｚ，）Ｉｌ１ 然后相加得到： ｃ ｌ（ ｒ）ｌ（ ，）ＩＩ＋ｃ ５［（ ，）Ｉ（ ｒ）Ｉｌ＋（ ，）Ｉ（ ｒ）ＩＩ］＋ Ｃ；５（ ，）１（ ｒ）ＩＩ＝ （ ）Ｉ（１４，ｉ・Ｖ１） （２４） 式中，Ｖ。和 。分别是准Ｐ－波和准ＳＶ－波的质点位 移速度。 用相反的角标重写上式得到： Ｃ；１（ ，）ＩＩ（Ｖｘ，）Ｉ＋ｃｌ ５［（ 一）ＩＩ（ ，）Ｉ＋（ ，）ＩＩ（ ，）Ｉ］＋ ｃ；５（ ，）１１（ ，）Ｉ＝ｐ（ ）ＩＩ（ Ｉ・Ｖ１） （２５） 方程（２４）减方程（２５）得到： Ｐ［（ ）ｔ一（ ）ＨＩ（ ｌ・ ）：０ （２６） 因为（ ）－≠（ ） 所以有 。・ ＝０。这就意味 着准尸一波的质点位移速度（或质点位移）矢量与准 ＳＶ－波的质点位移速度（质点位移）矢量相互垂直， 即：准Ｐ一波的极化方向垂直于准ＳＶ波的极化方向。 ２准ＪＦ）一波的极化矢量的推导 我们将归一化的质点位移矢量称为极化矢量，记 为甜，将其Ｘ分量，Ｙ分量和ｚ分量称为极化系数，记为 ，／，ｉｖｇｌｕ：。由于准尸一波的质点位移矢量与准ＳＶ－波的 质点位移矢量相互垂直，在下面我们仅推导准尸一波的 极化系数矢量。将其旋转９０。就可得到准ＳＶ－波的极化 系数矢量。如图２所示，假设准Ｐ一波在Ｘ—ｚ平面中传 播。定义波矢方向（或相速度矢量方向）与ｚ车由之间 的夹角０为相角，能速方向（或坡印廷矢量方向）与 砰由之间的夹角 为能角，极化矢量与ｚ轴之间的夹角 为极化角。 图２相角、能角和极化矢量之间的关系 （ｌ【 ｒｌ ０Ｆ ＦＩ ３ ２２０＿一 Ｆ ０ ｉ／１一 Ｕｖ 【 ｄｚ ０ Ｊｌ一 （２７，’ ｓｉｎ ０，ｋ一∞／ 和 ，，＝ ，，＝１，２，３，４，５，６）。 —一 ｌ （３０） １ ３ ［＇３３－－Ｖｚ （３１） —一 。 １ １ “：一 一 ＿一一—了 一一— ～～ Ｆｌ３ Ａｌｘｂ！ｚ一一 一一 （３２） 一 一｛ （３３） 啦一 ］ 三 ｉ （３４） ｃｒｔｇ ＝ａｃｒｔｇ（＂Ｘ／／ Ｆｌｌ－ｖ２） 【３５） ３能角和相角关系的推导 在弹性六角晶系固体中传播的准Ｐ一波的波前是非 球面的，波前的法线方向就是波的相速度方向，坡印 廷矢量的方向就是波的能速方向。除了纯模式方向 外，在一般情况下，准尸＿波的相速度方向，能速方向 和极化矢量方向是不相同的，也就是说如图２所示相 角０、能角 和极化角 是不相等的。在六方晶系弹性 ２０１ ４年 第２８卷 第３期 法林等：六角晶系同体中传播的平面波的极化研究Ｉ：理论推导 ・５７・ 固体中的Ｘ－Ｚ平面上传播的准Ｐ－波 （见图２），其坡印 廷矢量可以写为［９］＝ 一 ＝ 一行为的影响提供了一个理论依据。 参考文献 ［１］Ｃｈｅｓｎｏｋｏｖ Ｅ Ｍ，Ａｂａｓｅｙｅｖ Ｓ Ｓ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｓｅｉｓｍｏｇｒａｍｓ ｏｆ ｓｕｒｆａｃｅ ｓｅｉｓｍｉｃ ｗａｖｅｓ ｉｎ ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｍｅｄｉａ．Ｄｏｋｌａｄｙ，Ｅａｒｔｈ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｓｅｃｔｉｏｎ，１ ９８７，２８６ 号 ） （３７） 解得其 分量和ｚ分量分别为： ＝Ｕ （Ｃ１１Ｕｘｓｉｎ０＋Ｃｌ ３ＵｚＣＯＳＯ）＋ｕｚＣ４４（ＵｘＣＯＳＯ＋甜＝ ［２］Ｃｒａｍｐｉｎ Ｓ，Ｓｔｅｐｈｅｎ Ｒ Ａ，ＭｃＧｏｎｉｇｌｅ Ｒ．Ｔｈｅ ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｐ—ｗａｖｅｓ ｉｎ ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｍｅｄｉａ，Ｇｅｏｐｈｙｓ．Ｊ．Ｒ．Ｓｏｃ．，１ ９８２，６８ 尸ｚ＝ＵｘＣ４４（ＵｘＣＯＳ０＋ｕ￣ｓｉｎ０）＋ ｚ（Ｃ１ ３ＵｘｓｉｎＯ十Ｃ３３ｂ／ｚ ｃｏｓ０） （３８） 【３】Ｔｓｖａｎｋｉｎ Ｉ Ｄ，Ｃｈｅｓｎｏｋｏｖ Ｅ Ｍ．Ｓｙｎｔｈｅｔｉｃ ｏｆｂｏｄｙ ｗａｖｅｓ ｓｅｉｓ— ｍｏｇｒａｍｓ ｆｒｏｍ ｐｏｉｎｔ ｓｏｕｒｃｅｓ ｉｎ ａｎｉｓｏ￣ｏｐｉｃ ｍｅｄｉａ，Ｊ．Ｇ．Ｒ．， 由方程（３７）和（３８），我们可以得到准Ｐ一波能 １９９０，９５ 角和相角之间的关系如下： 一ａｔａｎ［４］Ｃａｒｃｉｏｎｅ Ｊ Ｍ．Ｗａｖｅ Ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ Ｒｅａｌ Ｍｅｄｉａ：Ｗａｖｅ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｉｎ Ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ，Ａｎｅｌａｓｔｉｃ ａｎｄ Ｐｏｒｏｕｓ Ｍｅｄｉａ．Ｐｅｒｇａｍｏｎ，Ａｎ Ｉｍｐｒｉｎｔ ｏｆＥｌｓｅｖｉｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，Ｈｏｌａｎｄ，２００１ （譬）一ａｔａｎ （３９１ ｌ（ Ｃ１ １ ＵｘｓｉｎＯ＋Ｃ１ ３ ：ｃｏｓ０）＋ ：Ｃ４４（ＵｘＣＯＳＯ＋ｕｚｓｉｎＯ）ｌ ｃ４ｉ４（Ｕ，ＣＯＳ０＂＋＇Ｕ ｓｉｎ０）＋Ｚ／ｚ（Ｃ１ ３ ＵｘｓｉｎＯ＋Ｃ３３ ｂ／ｚＣＯＳ０）ｌ ［５］Ｃｅｒｖｅｎ２７ Ｖ Ｓｅｉｓｍｉｃ Ｒａｙ Ｔｈｅｏｒｙ．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，Ｕ．Ｋ．，２００１ ［６］梁力锋，刘秀娟．弹性层系的反射系数正演［Ｊ］．物探与化 ４结论 探．２００７，３１（２） ［７］法林，岳伏生，阙征，等．岩石的各向异性对地震勘 探信号的影响［Ｊ］．石油仪器．２００７，２１（６） 【８】Ｆａ Ｌ，Ｂｒｏｗｎ Ｒ Ｌ，Ｃａｓｔａｇｎａ Ｊ Ｐ．Ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｐｏｓｔ—ｃｒｉｔｉｃａｌ ｒｅ－ ｆｒａｃｔｉｏｎ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｆｏｒ ｃｅｒｔａｉｎ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｌｙ ｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｍｅｄｉａ．Ｊ． Ａｃｏｕｓｔ．Ｓｏｃ．Ａｍ．，２００６，１２０ 通过以上推导，可得以下结论： （１）从数学上说明了除了在纯模式方向外，通常 在六角晶系固体中传播的尸一波和ＳＶ－波是准Ｐ－波和准 ＳＶ－波，即Ｐ一波的极化方向不平行于波的传播方向， ｓｖ－波的极化方向不垂直于波的传播方向，而 波是 一［９］韩颜颜，郭智奇，刘财，等．弹性各向异性介质速度特 种纯切变波； （２）证明了准Ｐ一波的极化方向与准ＳＶ－波的极化 征分析［Ｊ］．吉林大学学报（地球科学版）．２００８，３８ ［１０］罗彩明．ＴＩ介质速度分析与建模方法研究［Ｄ】．中国石油 大学，２００７ 方向相互垂直，从而只要研究了准尸一波的极化行为， 也就知道准ＳＶ－波的极化行为； （３）建立了准Ｐ－波和准ＳＶ－波的极化方向与六角 ［１ １］Ａｕｌｄ Ｂ Ａ．Ａｃｏｕｓｔｉｃ Ｆｉｅｌｄｓ ａｎｄ Ｗａｖｅｓ ｉｎ Ｓｏｌｉｄｓ．Ｗｉｌｅｙ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ，ＵＳＡ，１９７２ 晶系固体的各向异性和波的传播方向之间的理论关 系，为研究六角晶系固体的各向异性对弹性波的极化 广一● （收稿日期：２０１４－０１—２９编辑：韩德林） 一一一 一 一 一 一 一 一 …一 一 一 一 一 一 一 ’ 一 一 。一 一一 一“ 一‘一 。一 一 一 一 一 一一 一 一 ● ； ● ● 本刊加入‘‘万方数据’——数字化期刊群的声明 ； ‘ ’ Ｉ ● ： ● 为了实现科技期刊编辑、出版发行工作的电子化，推进科技信息交流的网络化进程，我刊现已入网； ● ；“万方数据——数字化期刊群”，所以，向本刊投稿并录用的稿件文章，将一律由编辑部统一纳入“７Ｊ－方； ；数据——数字化期刊群”，进入因特Ｎ ４￣，４Ｘ，－４￣息服务。凡有不同意者，请另投它刊或特别声明需另作处 ； ● ：理。本刊所付稿酬包含刊物内容上网服务报酬，不再另付。 ● ： ● ； ： ● “万方数据——数字化期刊群”是国家“九五”重点科技攻关项目。本刊全文内容按照统一格式制； ：作，读者可上网查询浏览本刊内容，并征订本刊。 ； ： ； ● ： ● 网址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｗａｎｆａｎｇｄａｔａ．ｃｏｍ．ｃｎ： ●； ； ． ～． ． ～～～～． ．． ～～～～～ ． ～一 ～ ～ ～ ～．一 ～ 一 一． ～．～．一 一． ～ 一 ～～ ～石油仪器 编辑部 。 。 ．一 ～～～～～～．～～． ～．．；● ● ｊ
