关于2005年湖北省高考(文)第21题的探讨

６—４２　数学教学　２００６年第６期　关于２００５年湖北省高考（文）第２１题的探讨　７１０４００陕西省周至县教育局教研室高伟鹏李立哲　本文主要纠正２００５年湖北省高考（文）第２１　率为ｐｌ，寿命为两年以上的概率为Ｐ２，从使用之　题标准答案解法中的一个错误．　日起每满一年进行一次灯泡更换工作，只更换已　原题【２００５年湖北省高考（文）第２１圆：某会　坏的灯泡，平时不换．　议室用５盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且　（Ｉ）在第一次（年）灯泡更换工作中，求不需要　型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡　更换灯泡的概率和更换两只灯泡的概率；　的寿命有关，该型号的灯泡寿命为一年以上的概　（Ⅱ）在第二次（年）灯泡更换工作中，对其中　＝Ｉ　ｌ—ＩＩ、／，ｒ干　．Ｉ　２一ＩＩ　这真是一个意外的收获！接下来再考虑ＡＢ、　＝ＩＸｌＸ２一（Ｘｌ＋Ｘ２）＋１Ｉ・（１＋ｋ２）　ＣＤ３Ｚ相垂直，就可以得出ＡＢ、　Ｄ的斜率不是　一Ｉ！生二　！３　ｋ２：二　一　生！３＋ｋ２生二　　。‘Ｉ１　Ｉ　．ｆ１　２一～　、　１的中点就行了．就是一１，写出直线方程，．　　验证一下点Ⅳ是ＡＢ　．　＝ｆ‘　坪　得，１．（１　　），　①　…　，不为０的相反数，那么Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆．　可以跚如果ＡＢ与∞斜率是　　ＮＣ１．ＩＮＤ　＝Ｉ　Ｉ２－　Ｉ由由于千Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ＋　Ａ　“　难　ｍ　ａ２。ｂ２一　搿Ｘ２　ｙ２　．＞　＞、　、　、　四点共圆，所以ＩⅣＡＩ．　ｕ’　ＩＮＢＩ：ＩＮＣ１．ＩＮＤＩ；由于点Ⅳ在椭圆　，所　０，凸≠６）的内接四边形・Ａ、Ｂ、　、Ｄ四点共　３．１２＋３２一入＜０即１２一入＜０；再由①和②　圆　ＡＢ与ＣＤ的斜率是不为０的相反数（证　，可得ｌ（１＋　２）　（Ｉ３＋ｍ２）＝（．（１＋　＝．１＋ｍ２）３１２　－Ｉ（３＋　）．［　１　，，　　推广到抛物线和双曲线也是成立的，证明方　；　ｋ２一ｍ２＝０，　法类似于椭圆情形．于是有更为一般的结论：　又由于　≠ｍ，所以ｋ＝一ｍ．　设Ａ　ＢＤ是圆锥曲线（采用标准方程）的内　（２）如果ＡＢ、ＣＤ中有一个斜率不存在，不　接四边形．Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆　ＡＢ￣ＣＤ　妨设　Ｄ的斜率不　在，则ＣＤ的方程是　＝１‘　的斜率是不为０的相反数．　联立方程组｛Ｌ　通过这个反思，重新考虑解题顺序，研究一　．　　３ｘ‘＋Ｙ‘＝。　，消去　并化　＝：　，　个新问题，得到有关圆锥曲线上四点共圆的一个　简，　ＩⅣ　Ｉ？一　＝０—ＮＤ１＝Ｉ，　　３一ａｌｌｙ４—３Ｉ＝＝：　规律，这当然令人兴奋．　３３（ｙ３　ｙ４）　＿＋９Ｉ．＝　一入＋　＝１３　９１　＝＝Ｉ１　４上２一入Ｉ，Ｙ一　套用一句名言作为本文的结束：反思就是站　・冉　可得　③　在ｃｃ过去，参考文献　，的肩膀上．能没有收获吗？　Ｉ　１０　、Ｉ　’７＾甩＾　ＡＢ、。ｌ　　‘　ｌ‘（１＋ｋ２）＝Ｉ１２一入Ｉ，　无解．即　【１】蔡明、王苏文．从上海市２００５年春季高考　一个斜率不存在是不可能的．　中一题看如何读题　数学教学．２００５．９．　因此，根据（１）和（２），ＡＢ与ＣＤ斜率是不为　【２】贺斌．对一道２００５年高考解析几何题的　０的相反数．　研究性学习．数学教学．２００５．１１．　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００６年第６期　率；　数学教学　６—４３　的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概　（Ⅲ）当ｐｌ＝０．８，ｐ２＝０．３时，求在第二次　（年）灯泡更换工作中，至少需要更换４只灯泡的　概率（结果保留两个有效数字）．　ｐ２是两个独立事件的概率，那么这就是一种错误　标准答案中的解法如下：　判断．因为　、Ｂ事实上是不独立的．因而只能　（１一ｐ１）２；但在第一次（年）未更换灯泡而在第二　次（年）需要更换灯泡的概率Ｐ（Ａ・Ｂ）＝ｐ１（１一　ｐ２）．这却是不对的．　标准解答如果认为‘　１（１一ｐ２）”中ｐ１和１一　解：（Ｉ）在第一次（年）灯泡更换工作中，不需　把ｐ１和１一ｐ２看成两个不独立事件的概率．按　要更换灯泡的概率为ｐ｝，需要更换２只灯泡的概　公式Ｐ（Ａ・Ｂ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（ＢＩＡ），应该有ｐ１（１一　ｐ２）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（ＢＩＡ）．而Ｐ（Ａ）＝ｐｌ，所以应该　率为ｃ２ｐ￣（１一ｐ１）２；　（Ⅱ）在第二次（年）灯泡更换工作中，对其中　的某一盏灯来说，该盏灯在第一、二次（年）都更　换了灯泡的概率为（１一Ｐ１）２，该盏灯在第一次　（年）未更换灯泡而在第二次（年）需要更换灯泡　的概率为ｐ１（１一ｐ２），故所求的概率为Ｐ＝（１一　ｐ１）２＋ｐ１（１一ｐ２）；　（Ⅲ）至少换４只灯泡包括换４只和换５只两　种情况．换５只的概率为Ｐ５【其中Ｐ为（ＩＩ）中所　求，下ＮＩ；换４只的概率为　ｐ４（１一ｐ），故至少　换４只灯泡的概率为Ｐ３＝Ｐ５＋　ｐ４（１一ｐ），又　当Ｐｌ＝０．８，Ｐ２＝０．３时，Ｐ＝０．２　＋０．８×０．７＝　０．６，故Ｐ３＝０．６５＋５×０．６４×０．４＝０．３４．　辨析：第（Ｉ）问的解法没问题．但第（Ⅱ）问的　解法是有问题的．我们试作如下分析．设Ａ＝“第　一次（年）更换灯泡工作中该盏灯需更换灯泡”，　Ｂ＝“第二次（年）更换灯泡工作中该盏灯需更换　灯泡”，　＝“第一次（年）更换灯泡工作中该盏灯　不需要更换灯泡”，Ｂ＝“第二次（年）更换灯泡工　作中该盏灯不需要更换灯泡”，这里，　与Ｂ并不　独立．为了说明这一点，不妨考虑事件独立性的　定义：设　与ｙ是一次试验中的两个事件，如果　其中一事件发生与否不影响另一事件的概率（例　如，　发生时，ｙ的概率Ｐ（ｙ）＝ｍ；Ｘ不发生　时，ｙ的概率仍旧是Ｐ（Ｙ）＝ｍ，反之亦然）．但　在此问题中，Ａ发生时，Ｂ发生的概率Ｐ（ＢＩＡ）＝　１一Ｐ１；Ａ不发生时，　发生的概率Ｐ（ＢＩＡ）一般　却不等于１一ｐ１（在ｐ１、ｐ２间存在特殊关系时可　等于１一ｐ１），故　、Ｂ一般不独立（　、Ｂ一般也　不独立）．　现在我们回过来看原标准答案中问题２的解　法．　对该盏灯来说，在第一、二次（年）都更换了　灯泡的概率Ｐ（ＡＢ）＝（１－ｐ１）２，这是对的．因为　Ｐ（Ａ・Ｂ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（ＢＩＡ）＝（１一ｐ１）（１一Ｐ１）＝　有Ｐ（ＢＩＡ）＝１一ｐ２．但事实上Ｐ（ＢＩＡ）≠１一　２・　为了说明１一ｐ２的含义，不妨把必然事件Ｑ　分成四个事件的和，即Ｑ＝Ａ・Ｂ＋Ａ・Ｂ＋Ａ・　Ｂ＋　・Ｂ．而Ｐ（　・－Ｂ－）＝Ｐ２，Ｐ（Ｑ）＝１，因此　Ｐ（Ａ・Ｂ＋Ａ・Ｂ＋Ａ・Ｂ）＝１一ｐ２．而　・Ｂ＋　・　Ｂ＋　・Ｂ＝‘该盏灯在第一、二次（年）中至少更　换一次”，故１一ｐ２是“该盏灯在第一、二次（年）　中至少更换一次”的概率而不是“该盏灯在第一　次（年）不更换条件下、第二次（年）更　’的概率．　事件　＝“该盏灯第一次（年）未更换灯泡”也　可以看成“该盏灯第一个灯泡寿命为一年以上”；　事件　・Ｂ＝‘该盏灯第一次（年）未更换灯泡而　在第二次（年）需要更换灯泡”也可以看成“该盏　灯第一个灯泡寿命为一年以上而不超过两年＇’；　事件　・Ｂ＝“该盏灯第一次（年）、第二次（年）都　未更换灯泡”也可以看成‘该盏灯第一个灯泡寿　命为两年以上”．　在此，我们用两种方法来计算该盏灯第一次　（年）未更换灯泡而第二次（年）需要更换灯泡的　概率Ｐ（　・　）．　方法１：Ｐ　＝Ｐ（　・Ｂ）＋Ｐ（　・－ｅ），　其中Ｐ（　）＝Ｐｌ，Ｐ（　・－ｅ）＝Ｐ２，　代入Ｐ（　・Ｂ）＝Ｐ（　）一Ｐ（　・Ｂ），　得Ｐ（　・Ｂ）＝Ｐｌ—Ｐ２．　方法２：把Ａ＝“该盏灯第一个灯泡寿命为一　年以上’’分为两个互斥事件Ｃ＝‘该盏灯第一个　灯泡为一年以上而不超过两年＇’与Ｄ＝“该盏灯　第一个灯泡寿命为两年以上’’的和（其中Ｃ＝Ａ・　Ｂ，Ｄ＝Ａ・Ｂ）．　‘．．Ｐ（　）＝Ｐ（Ｃ）＋Ｐ（Ｄ），　‘．．Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ａ）一Ｐ（Ｄ），　‘．．Ｐ（Ｃ）＝ｐｌ—ｐ２．　（下转第６＿１８页）　维普资讯 http://www.cqvip.com

６一ｌ８　数学戡学　２００６年第６期　／’　‘　．　．　．／：　）　图７　图５　实例应用：　探究五探求点Ｄ在线段ＡＢ上的射影的运　例１（２００３年第１４届“希望杯’’数学竞赛题）　动轨迹是怎样的曲线？　设病床的长和宽分别为Ｐ、ｑ（ｐ＜口），病房走廊　过原点Ｄ作ＯＭ上ＡＢ，垂足为Ｍ，点击几　宽度为ｌ，拐角处成直角，如图８．为保证病人躺　何画板的“轨迹’’按钮，拖动线段ＡＢ，可以发现　在病床上能进入手术室，走廊的宽度ｌ最窄应是　点Ｍ形成美丽的四叶玫瑰线图案（如图６）．　多少，说明理由？　Ｂ　＼　分析：本题的难点在于如何正确的建立‘　ｆ　床能水平地通过拐角进入手术室”的数学模型．　，　通过上述分析不难看出，这一问题的本质是‘【端　Ｉ　点在坐标轴上的定长线段运动轨迹问题＇’，类比　探究四分析过程可以求出靠近　点的边的轨迹　图６　不妨设Ｍ（ｍ，ｎ），则ｋｏＭ＝　，．．．ｋＡＢ　方程为　ｙ－－　ｇ）吾　：一　，直线ＡＢ的方程为　一ｎ：…ｍ（ｘ　只需将　＝ｌ，Ｙ＝ｌ代入上述方程得ｆ＿ｐ　＋２ｑ，　ｍ）．在上述方程中分别令Ｙ＝０，　＝０得　所以“病床能水平地通过拐角进入手术室”等价　Ａ（芸＋ｍ，０）、Ｂ（。，　ｍ２＋ｎ），　于“内拐角顶点Ｍ在阴影区域（外拐角两边内）　外　，，即ｌ≥ｐ　＋２　ｑ＝－７，故走廊的宽度ｌ最窄应是　Ｐ＋２ｑ　＝ｌ２，整理得（ｍ２＋ｎ２）３＝ｍ２ｎ２２ｚ得　＋ｍ）　＋２，　＋　　２　‘　．．．点Ｍ的轨迹方程为（　２＋ｙ２）３＝ｘ２ｙ２ｌ２，　对应的曲线被称为四叶玫瑰线（如图６），在平面　极坐标系中，玫瑰线的复方程为Ｐ＝ａｓｉｎｎＯ（ａ　是不等于０的常数）．　当ｎ＝２时，就是本题所求得的四叶玫瑰线；　当ｎ＝３时，曲线有三叶，通常叫做三叶玫　瑰线（如图７）．　图８　～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～，、，～　（上接第６－４３页）　有点超“纲”了！　无论用方法１还是方法２，总可得到该盏灯　第（Ⅲ）问解法思路是正确的，但按Ｐｌ＝０．８、　第一次（年）未更换灯泡而在第二次（年）需要更　Ｐ２＝０．３算出Ｐ＝０．５４，Ｐ３＝０．２４．　换灯泡的概率为ｐｌ一　．　特别要提醒的是，关于事件“独立　’的判定　故在第二次（年）更换灯泡工作中该盏灯需　是我们要思考的关键！如果执意要以中学阶段　要更换灯泡的概率为Ｐ＝（１一ｐ１）２＋　ｌ一　）．　的知识局限为借口而把“不独立’’事件人为地看　观察以上过程，我们会发现，问题２的求解　成“独立’’事件，这实在有悖于科学上的“求箕’精　必须用到条件概率的知识，所以说，此问题确实　神．