高等代数考研真题 第一章 多项式

第一章 多项式

1、（清华２000—20分）试求7次多项式f(x)，使f(x)1能被(X1)整除,而f(x)1能

被(X1)整除。

2、（南航2001—20分）

242

（1）设x2px+2∣x+3x+px+q，求p,q之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式

2

（x+1)h(x)+(x1) f(x)+ (x2) g(x)=0

2

（x+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0

22

证明：x+1∣f(x)，x+1∣g(x)

d n

3、（北邮2002—12分）证明：x1∣x1的充分必要条件是d∣n（这里里记号d∣n表

示正整数d整除正整数n）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P上的多项式g1(x)，g2(x)，g3(x)，f(x),已知g1(x)∣f(x)，

g2(x)∣f(x)， g3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：

（1）如果g1(x)，g2(x)， g3(x)两两互素，则一定有g1(x)，g2(x)，g3(x)∣f(x) （2）如果g1(x)，g2(x)， g3(x)互素，则一定有g1(x)g2(x)g3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证

明P是素数当且仅当任取正整数a，b若p∣ab则p∣a或p∣b。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项

式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以

m

推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m，f(x)∣h(x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。

若存在数使得f()=g()=0，则f(x)∣g(x)。

7654322

8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x+2x 6x8 x +19x+9x22x+8，g(x)=x+x2，

将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成

kk-1

f(x)=Ck(x)g(x)+ Ck-1(x)g(x)+ … + C1(x)g(x)+C0(x)

其中次（Ci(x)）<次（g(x)）或Ci(x)=0，i=0,1, …,k。（15分 ） （2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f1(x)≠0，f2(x)，g1(x)，g2(x)是多项式，且g1(x)g2(x)∣f1(x) f2(x)，证明：若f1(x)∣g1(x), 则g2(x)∣f2(x)。

44

110、（上海交大2005—15分）假设f(x)= 2x12x212x31

2x213x314x31（1）证明：存在实数c(011、（大连理工2005—10分）设f(x) ，g(x)是数域P上的多项式，证明：在数域P中，若

33

f(x)∣g(x),则f(x)∣g(x)。

232

12、（北航2001—10分）求一个次数最低的多项式，使其被x+1除余x+1，被x+x+1除余

2

x1。 13、（北航2003—10分）设h(x) ，f(x) ，g(x)均为域F上的一元多项式，若h(x)∣f(x)，

而h(x)不整除g(x)，证明h(x)不整除f(x) +g(x)。 14、（南航2003—20分）求满足以下条件的三次多项式f(x)：

（1）x3整除f(x)；

（2）x+3除f(x)的余数是4；

（3）x+2除f(x)的余数等于x2除f(x)的余数。

2

15、（北京科大2004—15分）求一个三次多项式f(x)，使得f(x)+1能被(x1)整除，而

2

f(x)1能被(x+1)整除.

16、（南航2003—20分）设A∈C, f(x)，g(x)∈C[x]，f(x)的次数大于0，g(x)是A的

最小多项式。证明：

(1)若d(x)是f(x)，g(x)的最大公因式，则rank(d(A))=rank(A); (2) f(A)可逆的充分必要条件是f(x)，g(x)互质（或互素）。 17、（南航2005—35分）本题中等都是多项式。 （1）设a≠b，用（xa），（xb）除f(x)的余数分别为r1和r2 ，求用（xa）（xb）

除f(x)的余式。(10分)

(2)证明：若(f(x)，g(x))=d(x)，f(x)∣h(x)，g(x)∣h(x)则f(x)g(x)∣d(x)h(x)。(10分))

（3）设f(x)= f1(x) f2(x)，次（f1(x)）>0，次（f2(x)）>0，且(f1(x) f2(x))=1。 证明：若次（g(x)）<次(f(x))，且f2(x)不整除g(x)，则存在u(x)和v(x)，使得

u(x) f1(x)+v(x) f2(x)= g(x)

成立，且满足次(u(x))<次(f2(x))，次(v(x))<次(f1(x))。(15分) 18、（北京科大2005—10分）求出所有的多项式f(x)，使得（x1)f(x+1) （x+2)f(x)≡0。

543243

19、（北交大2002—12分）多项式f(x)=x+3x+x+x+3x+1 g(x)=x+2x+x+2

n×n

求(f(x)，g(x))和u(x)，v(x)，使u(x) f(x)+v(x)g(x)=(f(x)，g(x))

43232

20、（南航2002—20分）设f(x)=x4x+5x2x2 ，g(x)=xx+2x2 (1)已知1 i是f(x)的根，求f(x)的其余三个根 .(6分)

（2）求u(x)，v(x)使u(x) f(x)+v(x)g(x) =(f(x)，g(x)) 。(14分)

21、（上海交大2002—12分）设f1(x)=a f(x)+b g(x)，g1(x)=c f(x)+d g(x)且

abcd≠0。

证明(f(x)，g(x))= (f1(x)，g1(x))。 22、（北理工2003—15分）设多项式h(x) ，f(x) ，g(x)有

5525432

f(x) +xg(x)+xh(x)=(x+x x+x+1)k(x)

证明：x1是h(x) ，f(x) ，g(x)的一个公因式。 23、（重大2004—10分）证明：如果d(x)︱f(x)，d(x)︱g(x)，且d(x)是f(x)与g(x)的一

个组合，那么d(x)是f(x)与gx)的一个最大公因式。 24、（北邮2004—18分）设多项式f(x) ≠0，h(x)为任意多项式，证明：若(f(x)，g(x))=1，

则(f(x)，g(x) h(x))= (f(x)，h(x))，问反之是否成立？ 25、（北理工2004—15分）给定不全为零的多项式f1(x)，f2(x)，f3(x)，证明：存在六个多

项式g1(x)，g2(x)，g3(x)，h1(x)，h2(x)，h3(x)使

f1(x)f2(x)f3(x)g1(x)g2(x)g3(x)=（f1(x)，f2(x)，f3(x)） h1(x)h2(x)h3(x)这里（f1(x)，f2(x)，f3(x)）表示f1(x)，f2(x)，f3(x)表示的首项系数为1的最大公因式。

2

26、（北邮2005—18分）试问k为何值时，整系数多项式f(x)=x+(k+6)x+4k+2和g(x)=

2

x+(k+2)x+2k的最大公因式是一次的？并求出这时的最大公因式(f(x)，g(x))。 27、（北航2002—10分）证明当且仅当(f(x)，g(x))=1，(f(x)，h(x))=1时有(f(x)，g(x) h(x))=1。 28、（西安交大2004—12分）证明：数域P上的一元多项式f(x)与g(x)互质（即互素）的

充要条件是存在P上的多项式u(x) ，v(x)，使得：u(x) f(x)+v(x)g(x)=1。

29、（北京化工大2002—20分）设A是n级矩阵，mA(x)是A的最小多项式，f(x)是多项式且其次数(f(x))≥1。

证明：（1）若f(x)︱mA(x)，则f(A)是退化矩阵，即︱f(A)︱=0；

（2）若d(x)=（f(x)，mA(x)），即两多项式的首项系数为1的最大公因式，则

它们的秩相等：r(f(A)= r(d(A))；

（3）f(A)是非退化矩阵的充要条件是（f(x)，mA(x)）=1。

n22n130、（北大2002—12分）对于任意非负整数n，令fn(x)x(x1)，

2证明(xx1,fn(x))1

31、（北理工2005—15分）设A为数域F上的n阶矩阵，f(x)，g(x)∈F[x]，证明：如果

d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，那么齐次线性方程组d(A)=0的解空间等于f(A)=0的解空间与g(A)=0的解空间的交集。 32、（北交大2005—15分）设A为n阶方阵，g(x)是A的最小多项式，f(x)是次数大于零的

任一多项式，证明方阵f(A)可逆的充分必要条件是f(x)与g(x)互素。 33、（东南2005—10分）设F一数域，多项式f(x)，g(x) ∈F[x]具有性质：当h(x)∈F[x]

且f(x)︱h(x)，g(x)︱h(x)时，必有f(x)g(x)︱h(x) 。证明：（f(x)，g(x)）=1 34、（重大2005—10分）设A为方阵，g()

证明：f(A)可逆(f()，g())=1 35、（南开2000—15分）设f(x)是数域P上的多项式，这里n≥1；且设f(x)的一阶微商可

n

以整除f(x)。证明f(x)=a(xb)，a,b∈P，a≠0。

36、（南开2001—10分）设f(x)是复数域上首项系数为1的n阶多项式，如

f(x)=(xb1) (xb2)，b1≠b2

(f(x),f(x))且xb1是f(x)的k重因式（这里f(x)是f(x)的一阶微商），问f(x)=？为什么？

37、（清华1998—16分）试求多项式f=x+px+q的判别式D(f)(即用f的系数表出D(f)。

判别式定义为D(f)=(x1x2)(x1x3)(x2x3)；x1 ，x2 ，x3为f的复根，p,q为实数)

2

2

2

3

38、（北航2001—10分）用线性代数方法证明：若一个n次多项式P(x)在n+1个互不相等

的数x1，x2 ，… ，xn1处取值为0，则P(x)≡0

39、（北大2000—10分）设f(x)和p(x)都是首项系数为1的整系数多项式，且p(x)在有理数Q上不可约，如果f(x)与p(x)有公共根，证明: (1)在Q[x]中，p(x)整除f(x)；

(2)存在首项系数为1的整系数多项式g(x)，使得f(x)= g(x) p(x) 40、（北航2000—10分）设p(x)是一个整系数多项式，又知p(0)及p(1)都是奇数，证明p(x)=0

没有整数根。 41、（浙大2003—10分）设f(x)是一个整系数多项式。证明存在一个偶数a及一个奇数b，

使得f(a)与f(b)都是奇数，则f(x)没有整数根。

n

42、（北交大2003—15分）设f(x)复数域上次数大于0的多项式，且f(x)︱f(x)，n是大

于1的整数。证明：f(x)的根只能是零或单位根。 43、（大连理工2004—24分）设R,Q分别表示实数域，有理数域，f(x)，g(x)∈Q[x].

(1)证明：如果在R[x]中有g(x)︱f(x)，则在Q[x]中，也有g(x)︱f(x)。 (2)证明：f(x)与g(x)在Q[x]中互素当且仅当f(x)，g(x)在R[x]中互素。 (3)证明：设f(x)是Q[x]中不可约多项式，则f(x)的根都是单根。

32

44、（重大2005—15分）设f(x)=x+6x+3px+8，试确定P的值使f(x)有重根并求其根。 45、（清华2001—20分）（1）叙述并证明关于整数系数多项式不可约性的“艾森斯坦

（Eisenstein）判别法”。

（2）此判别法有哪些推广？尽量多地叙述之。

nn146、（北航2004—20分）设f(x)= anxan1xa0是一个整系数多项式，如果存

在一个素数P，使得 （1）p不能整除an

(2)p︱an1，an2，… ，a0 （3）p不能整除a0

2

则此多项式在有理数域上是不约的。

47、（北京化工大2004—10分）设a1,a2 证明：f(x)1

,an是两两互异的整数。

(xa)i1n2在Q[x]中不可约，这里Q表示有理数域。

48、（东南2004—15分）设a1,a2,an互不相同的整数，

g(x)(xa1)(xa2)(xan)1，（1）求证g(x)在有理数域Q上不可约。

(xan)t在有理数域Q上是否可

（2）对于整数t≠1，问h(x)(xa1)(xa2)约，为什么？

49、（浙大2004—10分）设整系数多项式f(x)的次数是n2m或n2m1（其中为正整

数）。证明：如果有k(1)个不同的整数1,L,k使f(i)取值1或1则f(x)在有理数域上不可约。（提示：用反证法）

50、（北师大2005—10分）试用n元初等对称多项式(x)i1达下列多项式： （1）n2，(x1x2)

（2）x1x2，此处表示对脚标进行所有可能的n元置换后对不同的项求和 （3）x1

51、（西安交大2005—12分）求由下述行列式所表示的一元多项式f(x)的最高次幂项：

422ikxi1xik,k1,2,,n表

f(x)1234n123n1x1232xxxxnn1n21x其中，a1,a2,an为数域P中的数。

21

52、（西安电子科大2005—12分）设f0(x),f2(x),nn证明：如果多项式f1(x)xf2(x),fn1(x)是n1（n2）个多项式，

xn2fn1(xn)能被1x2x3xn1整除，

则每个fi(x)(i1,2,

,n1)的所有系数之和为零。

53、（华南师大2004—15分）设c是复数，并且是有理数Q上的一个非零多项式的根，令J={f(x)Q(x)f(c)0}。证明J中存在唯一的首项系数为1的多项式p(x)，使得对于任意f(x)∈J，f(x)p(x)q(x),q(x)Q(x)

54、（华南师大2003—15分）设f(x),g(x)是数域F上的多项式，m是一正整数。

证明：fm(x)gm(x)f(x)g(x)

55、（华南师大2004—15分）设f(x)是数域F上的多项式，f(x)cp11(x)p22(x)kkpsks(x)

是其标准分解式（c0,ki0,pi(x)是首项系数为1不可约多项式），f(x)是f(x)的导数。证明：（1）

f(x)cp1(x)p2(x)(f(x),f(x))ps(x)

（2）f(x)无重因式当且仅当(f(x),f(x))=1

56、（华南师大2002—12分）设f(x)，g(x)是数域F上的多项式，

f(x)d(x)f1(x),g(x)d(x)g1(x)，证明：d(x)是f(x),g(x)的最大公因式当且仅当 (f1(x),g1(x))1

57、（华南师大1999—20分）（1）设a≠0，证明：(xmam)(xnan)的充要条件mn； （2）设f(x),g(x),h(x)是数域F上的多项式，证明(f(x),g(x)h(x))1的充要条件是

(f(x),g(x))1且(f(x),h(x))1

58、（华南师大2005—15分）令f(x)与g(x)是数域F上的多项式， a,b,c,d∈F且adbc

≠0，证明(af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x))/=(f(x),g(x))

59、（华南师大1998—15分）设F是数域，f1(x),证明：若(xa)n,fn1(x)F[x],aF,a0

f(x)x，则必有(xa)niii0n1fi(x),i0,1,2,n1

60、（华南师大1998—10分）求多项式f(x)6xx5xx1的有理数。

61、（华南师大2000—20分）（1）设f(x),g(x)是两个不同时为0的实系数多项式，证明：对于任意正整数n，(f(x),g(x))(f(x),g(x)) （2）设是a一个实数，证明：多项式f(x)xax有一个实根（不计重数）

3262、（华南师大1997—10分）设f(x)xa2xa1xa0，ai为整数，i0,1,2

432nnnnn1a2xn2an1xan最多只

如果a2a0a1a0为奇数，证明：f(x)无正整根。