二次函数习题

（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点

关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离

y 1 O A －1 －3 x －9 图2

B 2、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线yxm与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.

（1）求m的值及这个二次函数的关系式；

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函

数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.

y A P D E B O C x

图1

1

3、如图10，已知点A(0,8)，在抛物线y1x2上，以A为顶点的四边形ABCD2y A D 是平行四边形，且项点B，C，D在抛物线上，AD∥x轴，点D在第一象限. (1)求BC的长；

(2)若点P是线段CD上一动点，当点P运动到何位置时，△DAP的面积是7.

(3)连结AC，E为AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线OE将 ABCD分成面积相等的两部分？并求此时E点的坐标及直线OE的函数关系式.

B O 图10

C x 4、(07浙江中考)如图6，抛物线yx22x3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。 （1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

备图6

2

4、（05海南中考）如图8，抛物线yx2bxc与x轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时， 满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标；

(3)设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上

是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 图8

7、如图3，已知抛物线yax2bxc经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB，过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C.

（1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动. 设这两个动点运动的时间为t（秒) (0＜t＜4)，△PQA的面积记为S.

① 求S与t的函数关系式；

② 当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；

③ 是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.

y

B C Q

x O P A 图3

3

8（07海南中考）如图7，直线yx4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B1,0.

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；

（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC 按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线

运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S .

①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ③设S0是②中函数S的最大值，那么S0 = . yyy4332

MCCMCMBOAxBOAxBOAx图7 备用 备用 4

9、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为E（1,0），与y轴的交点坐标为（0,1）.

（1）求该抛物线的函数关系式.

（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥x轴交

抛物线于D，过B作BC⊥x轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（t,0），四边形ABCD的面积为S.

① 求S与t之间的函数关系式.

② 求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？

③ 当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由.

yy D

C

1 1

xxA O E B O E

图5 备用图

5

二次函数综合题训练题型集合

1、 (1) m=1. ∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x2-2x+1.

(2) 设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE .

∴ PE=h=yP-yE =(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x. 即h=-x2+3x (0＜x＜3).

(3) 存在.

要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.∵ 点D在直线y=x+1上,

∴ 点D的坐标为(1,2),∴ -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 .解之，得 x1=2，x2=1 (不合

题意，舍去) ∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形. 2、解：（1）二次函数的表达式为yx24x6． （2）对称轴为x2；顶点坐标为（2，-10）．

（3）将（m，m）代入yx24x6，得 mm24m6，解得m11,m26．

∵m＞0，∴m11不合题意，舍去．∴ m=6．∵点P与点Q关于对称轴x2对称，∴点Q到x轴的距离为6．

3、（1）∴ 所求抛物线的函数关系式为y3x243x.

33 （2）① 过点B作BE⊥x轴于E，则BE=3，AE=1，AB=2. 由tan∠BAE=BE3，得∠

AEBAE =60°.

（ⅰ）当点Q在线段AB上运动，即0＜t≤2时，QA=t，PA=4-t. 过点Q作QF⊥x轴于F，则QF=3t，

2y C B Q O P 图13 E F A ∴ S=1PA²QF1(4t)3t3t23t.

2224 （ⅱ）当点Q在线段BC上运动，即2≤t＜4时，Q点 的纵坐标为3，PA=4-t.这S=1(4t)33t23 2244 x ②（ⅰ）当0＜t≤2时，S3t23t3(t2)23. ∵ 30，∴ 当t=2时，S有最大值，最大值S=3. 4（ⅱ）当2≤t＜4时，S3t23 ∵ 30， ∴ S随着t的增大而减小. 22∴ 当t=2时，S有最大值，最大值S32233.

2 综合（ⅰ）（ⅱ），当t=2时，S有最大值，最大值为3. △PQA是等边三角形. ③ 存在. 当点Q在线段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，这时PA=2QA，即4-t=2t，∴ t4. ∴ P、Q两点的坐标分别为P1(4,0)，Q1(10,23).

3333当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-t和t，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-t=t，∴ t5∴ P、Q两点的坐标分别为P2(5,0)，Q2(5,3)

222 6

4、（1）由图象可知公司从第4个月末以后开始扭亏为盈 （2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2.∵ 所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得 a(t-2)2-2=0，解得a=1 . ∴ 所求函数关系式为：S=1t-2)2-2或S=1t2-2t. （3）把

222S=30代入S=1t-2)2-2，得1t-2)2-2=30 解得t1=10，t2=-6（舍去）. 22答：截止到10月末公司累积利润可达30万元. （4）把t=7代入关系式，得S=1³72-2

y 2³7=10.5 把t=8代入关系式，得S=1³82-2³8=16 2 16-10.5=5.5 答：第8个月公司所获利是5.5万元. 5、（1）∵ 抛物线yax2bxc顶点为F（1,0） ∴ ya(x1)2∵ 该抛线经过点E（0,1）∴ 1a(01)2 D C P A B ∴ a1∴ y(x1)2， 即函数关系式为yx22x1. （2）① ∵ A点的坐标为（t,0）, AB=4，且点C、D在抛物线上， 1 ∴ B、C、D点的坐标分别为(t+4,0)，(t+4, (t+3)2)，(t,(t-1)2). ∴

S11(ADBC)AB[(t1)2(t3)2]44t28t20. 22O E x

② S4t28t204(t1)216∴ 当t=-1时，四边形ABCD的最小面积为16 此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD是正方形

③ 当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，其对角线BD上存在点P, 使得ΔPAE的周长最小. ∵AE=4（定值），∴要使ΔPAE的周长最小，只需PA+PE最小. ∵此时四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD所在直线对称, ∴由几何知识可知，P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点. ∵点E、B、C、D的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4） ∴直线BD，EC的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2. ∴ P(5,4)

33在Rt△CEB中，CE=224225,∴ △PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+25.

6、解：（1）C（2，－3）∴直线AC的函数解析式是y=－x－1

（2）设P点的横坐标为x（－1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，－x－1），（1分） E（(x,x22x3)∵P点在E点的上方，PE=(x1)(x22x3)x2x2∴当xPE的最大值=

1时，29 4（3）存在4个这样的点F，分别是F1(1,0),F2(3,0),F3(47),F4(47)

7

4816 7、解：（1）∴yx2x4 （2）顶点M的坐标为1, 过点M作MFx轴于F 333∴S四边形AOCMSAFMS梯形FOCM

116116=314110 2323∴四边形AOCM的面积为10 （3）①不存在DE∥OC ∵若DE∥OC，则点D、E应分别在线段OA、CA上，此时 1x1312t124t4，∴x1 ∵DE∥OC，

5512t12388t ∴t ∵t>2，不满足11334524（秒） 现分情况讨论如下：ⅰ当0 511 3t3y46t12设点D的坐标为x4,y4∴，∴y4 2545SSAOESAOD337224313616t16t1233=t ③S0

5580252510、（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC. ∵A(0,8),

∴设D点坐标为(x1,8), 代入y1x2中， 得x1=±4. 2 又∵D点在第一象限，

∴ x1=4，∴ BC=4. y （2）∵C(2,2)，D(4,8)，

D A ∴直线CD的函数关系式为y=3x-4. 设点P在线段CD上，P(x2,y2)， E ∴y2=3x2-4.

C B ∵AD=BC=4,

O

8 x ∴1³4(8-y2)=7， ∴y2=9.

22 ∴3x2-4=9， ∴x2=17. ∴P(17,9),

2662即当点P在(17,9)的位置时，△DAP的面积是7.

62 （3）连接AC，当点E运动到AC的中点（或AC与BD的交点）时，即E点为 ABCD 的中心，其坐标为E（1,5）,直线OE将 ABCD分成面积相等的两部分. 设直线OE的函数关系式为y=kx,

∴k=5，∴直线OE的函数关系式为y=5x.

11、(1) 根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).

6c,将B、C的坐标代入yax2c，得 500100ac.

C y 解得a3,c6. ∴抛物线的表达式是y3x26. H 50(2) 可设N(5,yN)，

50于是yN35264.5. 图12-2 从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.

(3) 设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，

则G点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2³3).

过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH3726313.

5050A D E O G B x 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

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