几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型

一.一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类

全等篇

CDDCBACDAPPBAPB同侧

锐角 直角 钝角

DDDABPABCAPBCPC 异侧

相似篇

DDCDCCAPBAPBAPB同侧

锐角 直角 钝角

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DDDAABPABCBPPCC 异侧

三、“一线三等角”的性质

1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.

3.中点型“一线三等角”

如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且BOC90“一线三等角”.

1BAC时，点 O 是△ABC 的心.可以考虑构造2

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如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的心或旁心相关，

1BOC90BAC这是心的性质，反之未必是心.

2在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心.

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）

图 3-5

其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题

四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况.

a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题； c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.

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体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.

2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.

3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似

坐标系中，要讲究“线”的特殊性

如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角

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当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。

上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握.

解题示

例 1 如图所示，一次函数yx4与坐标轴分别交于 A、B 两点，点 P 是线段 AB 上一个动点（不包括 A、B 两端点），C 是线段 OB 上一点，∠OPC=45°，若△OPC 是等腰三角形,求点 P 的坐标.

例 2 如图所示，四边形 ABCD 中，∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°，AE⊥BC 于 E，∠ADE=67.5°，AB=6,则 CE= .

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例 3 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.

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例 4 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.

一线三等角，补形最重要，构勤思考，外构更精妙.找出相似形， 比例不能少.巧设未知数，妙解方程好

还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造

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例 5 如图，在△ABC 中，∠BAC=135°， AC= 求△ABC的面积

2AB, AD⊥AC 交 BC 于点 D，若 AD =2，

当然有45°或 135°等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角

一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种 .

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大练身手：

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例7：在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（－3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求点D的坐标，猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．

B D y E C O A x . -可修遍-

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例8：如图，直线y＝x＋2与y轴交于点C，与抛物线y＝ax交于A、B两点（A在B的左侧），

2

BC＝2AC，点P是抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；

（3）若点P在直线AB的上方，且∠BPC＝45°，求所有满足条件的点P的坐标．

y B

C

A

x O

练1：.如图，抛物线的顶点为C（－1，－1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为－3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为抛物线上的一点，且△BOD的面积等于△BOC的面积，请直接写出点D的坐标；

（3）若点E的坐标为（0，2），点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P，使得∠OPE＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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y

B

E

A O

C

课后作业：

如图，点A(0,-1),B(3,0),P为直线y= -x+5上一点，若∠APB=45°，求点P的坐标

x

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在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3,AD=4,求AC的长.

如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证：BE+GC=3BC

如图，△ABC

△DBA,且AC=2BC,求证:CD=2AB.

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如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，求BD的长

如图，点A 是反比例（X＞0）图形上一点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为（0，2），点△ABC是等边三角形时，求点A的坐标.

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如图，抛物线y＝ax＋bx＋4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，17直线l：y＝－x＋m经过点A，与抛物线交于另一点D（5，－），点P是直线l上方的抛物

22线上的动点，连接PC、PD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PCD为直角三角形时，求点P的坐标；

（3）设△PCD的面积为S，请你探究：使S的值为整数的点P共有几个，说明理由．

2

y C l A O B x D . -可修遍-

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4222y1.如图1,已知直线y=kx与抛物线 x  3 交于点A（3，6）. 27（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M（点M、O不重合）,

交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由； （3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上（与点O、A不重

合）,点D（m，0）是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探 究：m在什么围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

y P Q N O 图1 y A A E B M x O D 图2 x . -可修遍-

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如图，直线AC：y＝－2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）过A、C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△OBC∽△OCA． （1）求抛物线的解析式；

（2）点D为抛物线上一点，∠DCA＝45°，求点D的坐标； 2

. y C O A B x y C O A B x 备用图

-可修遍-