高中数学 人教版 必修二 直线与圆的方程综合复习题(含解答)

直线与圆的方程综合复习（含答案）

一． 选择题

1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB的倾斜角是（ C ） A p B p C 2p D5p

36362.已知过点A(-2,m)和B（m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（ C ） A 0 B 2 C -8 D 10

3.若直线L1:ax+2y+6=0与直线L2:x+(a-1)y+(a-1)=0平行但不重合，则a等于（ D ）

22A -1或2 B C 2 D -1

34.若点A（2，-3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点 （a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0 5.直线xcos+y-1=0 (∈R)的倾斜角的范围是 ( D )

A.0，

44

3B.,4444



C., 

3D.0,,

6.“m=

1”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”2的（ B ）

A 充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件

7.已知A(7,-4)关于直线L的对称点为B（-5,6），则直线L的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线l1的方向向量a=(1,3),直线l2的方向向量b=(-1,k).若直线l2经过点（0,5）且 l1^ l2，则直线l2的方程为（ B ）

A x+3y-5=0 B x+3y-15=0 C x-3y+5=0 D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆x+y-4x+2y+=0相切的直线方程为（ A ）

2521111A y=-3x或y= x B y=3x或y= -x C y=-3x或y= -x D y=3x或y= x

3333210.直线x+y=1与圆x+y-2ay=0(a>0)没有公共点,则a的取值范围是（A）

22

A (02-1,) B (2-1, 2+1) C (-2-1, 2-1) D (0, 2+1) 11.圆x+y-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差

22是（ C ）

A 36 B 18 C 62 D 52 12.以直线：y=kx-k经过的定点为P为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D）， A x+y+2x=0 Bx+y+x=0 C x+y-x=0 D x+y-2x-0

2222222213.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P满足PA=2PB,则定点P的轨迹所 包围的面积等于（ B ）

A p B 4p C 8p D 9p

14.若直线3x+y+a=0过圆x+y+2x-4y=0的圆心，则a的值为（ B）

22A 1 B -1 C 3 D -3

15.若直线2ax-by+2=0 (a＞0,b＞0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则11ab的最小值是（ C ）A.14

C.4

4x2 B.2

D.12

16.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+k的取值范围是 A.

53 , 124有两个不同的交点，则

5D.0, 12（ A ）B.5,12

13C.,24

17.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离 ︱C1C2︱等于（ C ）

A 4 B 42 C 8 D 82 18.能够使得圆x2+y2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c

的一个值为 （ C ） A.2

a

b B.

5 C.3

D.3

5

19.若直线xy=1与圆x2+y2=1有公共点，则 A.a2+b2≤1

B.a2+b2≥1

C.

( D )

D.

1122ab1122ab≤1 ≥1

20.已知A（-3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（ B ） A.(-1,0)

B.(1,0)

22C.0 ，52

22 D. 0,

521.直线y=kx+3与圆(x-343)342+(y-2)=4相交于M、N两点，若︱MN︱≥23, 332,] D [-,0] 333则k的取值范围是（ A ）

A [-,0] B [-∞,-] U[0，∞） C [-22.（广东理科2）已知集合A{(x,y)|x,为y实数，且x2y21}，

B{(x,y)|x,y为实数，且yx}，则AB的元素个数为（ C ）

A．0 B．1 C．2 D．3 23.（江西理科9）若曲线C1：x2y22x0与曲线 C2：y(ymxm)0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是 ( B ) A. (3333,) B. (,0)(0,) 33333333,] D. (,)(,) 3333C. [答案：B 曲线x2y22x0表示以1,0为圆心，以1为半径的圆，曲线

yymxm0表示y0,或ymxm0过定点1,0，y0与圆有两个交点，故ymxm0也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应m33,0)(0,) 3333和m，由图可33知，m的取值范围应是(二．填空题

24．已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在X轴上，则C的方程为

(x2)2y210___________。

25.已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）2+（y-1）2=2，则C上各点到l距离的

最小值为 2 .

26.设直线l经过点A（-1，1），则当点B（2，-1）与直线l的距离最远时，直线l的方程为 3x-2y+5=0

27.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是( A )

1A.， 4

1

B.0， 4

C.,0

14

1D., 428.与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于2x+3y-8=0 。

13的直线方程是 2x+3y+18=0,或

29（重庆理8）在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别

是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ B ） A．52

B．102

C．152 D．202

解：圆的方程标准化方程为(x1)2(y3)210，由圆的性质可知，最长弦长为

|AC|210，最短弦长BD以E(0,1)为中点，设点F为其圆心，坐标为(1,3)故|EF|5，

|BD|210(5)225，SABCD1|AC||BD|102。 2三．解答题

30.已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R). （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,

即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1），

22

又有（3-1）+（1-2）=5＜25, ∴点（3，1）在圆内部，

∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.

（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得 |AB|=2

r2CM2=225（[31）2（12）2]45.

12113此时，kt=-

1kCM,从而kt=-=2.

∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.

31.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值. 解 将圆方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为C（1，1），半径r=1,如图，由于四边形PACB的面积等于r=

PC1.

2Rt△PAC面积的2倍，所以SPACB=2×1×|PA|×

2

∴要使四边形PACB面积最小,只需|PC|最小. 当点P恰为圆心C在直线3x+4y+8=0上的正射影时,|PC|最小,由点到直线的距离公式,得 |PC|min=348=3,

5

2故四边形PACB面积的最小值为2

.

32（全国课标20）在平面直角坐标系xoy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线xya0交与A,B两点，且OAOB，求a的值. 【解析】（Ⅰ）曲线yx26x1,与y轴交于点(0,1)，与与x轴交于点

(322,0),(322,0)

因而圆心坐标为C(3,t),则有32(t1)2(22)2t2,t1. 半径为32(t1)23，所以圆方程是(x3)2(y1)29.

xya0,（Ⅱ）解法一：设点A(x1,y1),B(x2,y2)满足. 22(x3)(y1)9解得：2x2(2a8)xa22a10.

5616a4a20

x1,2(82a)5616a4a2

4a22a1x1x24a,x1x2

2OAOB,x1x2y1y20,y1x1a,y2x2a.

2x1x2a(x1x2)a20,

解得a1，满足

a1

0，

解法二：设经过直线xya0和圆(x3)2(y1)29的交点的圆的方程为

x26xy22y1(xya)0，若OAOB，则以AB为直径的圆过坐标原点

设上述圆就是这样的圆，则圆过原点，所以1a0 ① 同时，该圆的圆心(62,)在直线xya0上，化简得a2 ② 22由①②求得a1。

33（上海理23）已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P,l)．

⑴ 求点P(1,1)到线段l:xy30(3x5)的距离d(P,l)；

⑵ 设l是长为2的线段，求点的集合D{P|d(P,l)1}所表示图形的面积； 【解析】⑴ 设Q(x,x3)是线段l:xy30(3x5)上一点，则

59|PQ|(x1)(x4)2(x)2(3x5)，

2222y1A-1B1当x3时，d(P,l)|PQ|min5．………４分 ⑵ 不妨设A(1,0),B(1,0)为l的两个端点，

-2 O-12 x则D为线段l1:y1(|x|1),线段l2:y1(|x|1)，………６分 半圆C1:(x1)2y21(x1),半圆C2:(x1)2y21(x1)

所围成的区域．这是因为对P(x,y),x1,则d(P,l)y;而对P(x,y),x1,则 y 3 CA d(P,l)(x1)2y2;对P(x,y),x1, 则d(P,l)(x1)2y2.………９分

于是D所表示的图形面积为4．………１０分

D -1 OB1 x

34.（12分）已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.

（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；

（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程. 解 （1）（x-1)2+(y-2)2=5-m,∴m＜5. （2）设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1=4-2y1，x2=4-2y2， 则x1x2=16-8（y1+y2）+4y1y2 ∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0

∴16-8（y1+y2）+5y1y2=0 ① 由x42y22xy2x4ym0

得5y2-16y+m+8=0

∴y1+y2=16,y1y2=8m,代入①得，m=8.

55

5（3）以MN为直径的圆的方程为 （x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0 ∴所求圆的方程为x2+y2-8x-16y=0.

5535．已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：

y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点． (1)求圆C的方程；

→·→＝－2，求实数k的值； (2)若OPOQ(3)过点(0,1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

解：(1)设圆心C(a，a)，半径为r. 因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)， 所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2. 所以圆C的方程是x2＋y2＝4.

→·→＝2×2×cos〈OP→，OQ→〉＝－2，且OP→与OQ→的夹角为∠POQ，

(2)因为OPOQ 1

所以cos∠POQ＝－2，∠POQ＝120°，

所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，

1

又d＝2，所以k＝0.

k＋1

(3)设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S. 因为直线l，l1都经过点(0,1)，且l⊥l1，

2

根据勾股定理，有d21＋d＝1.

又易知|PQ|＝2×4－d2，|MN|＝2×4－d21，

1

所以S＝2·|PQ|·|MN|，

1

即S＝2×2×4－d2×2×4－d21＝

222216－4d2d＝ 1＋d＋d1·

221d1＋d222＝212＋＝7， 212＋d1·d≤212＋

42

当且仅当d1＝d时，等号成立，所以四边形PMQN面积的最大值为7.