2019年陕西省中考数学试题(附解析)

2019年陕西中考数学

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算：-3

0A.1 B.0 C. 3 D.13

2. 如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为

3. 如图，OC是∠AOB的角平分线，l//OB,若∠1=52°，则∠2的度数为

A.52° B.54° C.64° D.69° 4. 若正比例函数y2x的图象经过点O（a-1,4）,则a的值为

A. -1 B.0 C.1 D.2 5. 下列计算正确的是

A. 2a3a6a B.3a2b222226a4b2

22222C.abab D.a2aa

6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为

A.2+2 B.23 C.2+3 D.3

7. 在平面直角坐标系中，将函数y3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为 A. (2,0) B.(-2,0) C.(6,0) D.(-6,0)

8. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为 A.1 B.

3 C.2 D.4 2

9. 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是

A.20° B.35° C.40° D.55°

10. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线yx2m1x2m4与yx3mnxn关于y轴对称，则符合条件的

22m，n的值为

A. m=

518,n=- B.m=5，n= -6 C.m= -1，n=6 D.m=1，n= -2

77二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 11. 已知实数1，0.16，3，，25，34，其中为无理数的是 212. 若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为

13. 如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4)，B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为

14. 如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为

三、解答题（共78分）

115. （5分）计算：-23-271-3-

2

216. （5分）化简：8aa2a22 2a2a4a2a

17. （5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）

18. （5分）如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BF，且AC=BD，求证：CF=DE

19. （7分）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”

为主题的读书活动。校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示： 所抽取该校七年级学生四月份“读书量”的统计图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 （2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；

（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数。

20. （7分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示。于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米。已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB。（小平面镜的大小忽略不计）

21. （7分）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变。若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃） （1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；

（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安图中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为－26℃时，飞机距离地面的高度为7km,求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温。

22. （7分）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球。其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球。

（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；

（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜。请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平。

23. （8分）如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD。 （1）求证：AB=BE

（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长。

24. （10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：yaxcaxc经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于

2原点O堆成的抛物线为L （1）求抛物线L的表达式

（2）点P在抛物线L上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D。若△POD与△AOB相似，求复合条件的点P的坐标

25. （12分） 问题提出：

（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究：

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离； 问题解决：

（3）如图3，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE。根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由。（塔A的占地面积忽略不计）

2019年陕西中考数学

四、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 26. 计算：-3

0A.1 B.0 C. 3 D.13

【解析】本题考查0指数幂，a1(a0)，此题答案为1，故选A

27. 如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为

0

【解析】本题考查三视图，俯视图为从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角，故选D 28. 如图，OC是∠AOB的角平分线，l//OB,若∠1=52°，则∠2的度数为

A.52° B.54° C.64° D.69°

【解析】∵l//OB，∴∠1+∠AOB=180°，∴∠AOB=128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=64°，又l//OB，且∠2与∠BOC为同位角，∴∠2=64°，故选C

29. 若正比例函数y2x的图象经过点O（a-1,4）,则a的值为

B. -1 B.0 C.1 D.2

【解析】函数y2x过O（a-1,4），∴2(a1)4，∴a1，故选A 30. 下列计算正确的是

B. 2a3a6a B.3a2b222226a4b2

22222C.abab D.a2aa

【解析】A选项正确结果应为23a为a2abb，故选D

22226a4，B选项正确结果应为9a4b2，C选项为完全平方差公式，正确结果应

31. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为

A.2+2 B.23 C.2+3 D.3 【解析】

过点D作DF⊥AC于F如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=2DF=2，∴BC=BD+CD=22，故选A

32. 在平面直角坐标系中，将函数y3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为 B. (2,0) B.(-2,0) C.(6,0) D.(-6,0)

【解析】根据函数图象平移规律，可知y3x向上平移6个单位后得函数解析式应为y3x6，此时与x轴相交，则y0，∴3x60，即x2，∴点坐标为（-2,0），故选B

33. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为 A.1 B.

3 C.2 D.4 2

【解析】BE＝2AE，DF＝2FC，G、H分别是AC的三等分点 ∴E是AB的三等分点，F是CD的三等分点 1

∴EG∥BC且EG＝－BC＝2

31

同理可得HF∥AD且HF＝－AD＝2

3

∴四边形EHFG为平行四边形EG和HF间距离为1 S四边形EHFG＝2×1=2，故选C

34. 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是

A.20° B.35° C.40° D.55°

【解析】连接FB，得到FOB＝140°； ∴∠FEB＝70° ∵EF＝EB ∴∠EFB＝∠EBF ∵FO＝BO， ∴∠OFB＝∠OBF，

∴∠EFO＝∠EBO，∠F＝35°，故选B

35. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线yx2m1x2m4与yx3mnxn关于y轴对称，则符合条件的

22m，n的值为 B. m=

518,n=- B.m=5，n= -6 C.m= -1，n=6 D.m=1，n= -2

77【解析】关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数，∴2m13mnm1解之得，故选D

n2n2m4

五、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 36. 已知实数1，0.16，3，，25，34，其中为无理数的是 234，含有π或者关于π的代数式，本【解析】无理数为无限不循环的小数，常见的有开方开不尽的数，本题为3，34 题为π，故本题答案为3,，37. 若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为

【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角

形，∴AD=2AB=6，故答案为6

38. 如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4)，B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为

【解析】如图所示，连接AB，作DE⊥OB于E，∴DE∥y轴，∵D是矩形AOBC的中心，∴D是AB的中点，∴DE是△AOB的中位线，∵OA=4，OB=6，∴DE=

11OA=2，OE=OB=3 22k6

，∴k326，反比例函数的解析式为y，∵AM∥x轴，∴xx

33M的纵坐标和A的纵坐标相等为4，代入反比例函数得A的横坐标为，故M的坐标为(,4)

22，∴D（3,2），设反比例函数的解析式为y39. 如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为

【解析】

如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N，连接PN，根据对称性质可知，PNPN，∴

PM-PNPMPNMN，当P,M,N三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，

∴AC=2AB=82，∵O为AC中点，∴AO=OC=42，∵N为OA中点，∴ON=22，

∴ONCN22，∴AN62，∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2，∴

CMCN1 BMAN3∴PM∥AB∥CD，∠CMN90°，∵∠NCM=45°，∴△NCM为等腰直角三角形， ∴CM=NM=2，故答案为2 六、解答题（共78分）

140. （5分）计算：-23-271-3-

2【解析】原式＝－2×(－3)＋3－1－4 ＝1＋3

241. （5分）化简：8aa2a22 2a2a4a2a

(a＋2)2a(a－2)

【解析】原式＝×＝a

(a－2)(a＋2)a＋2

42. （5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）

【解析】如图所示

43. （5分）如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BF，且AC=BD，求证：CF=DE

【解析】证明：∵AE＝BF， ∴AF＝BE ∵AC∥BD， ∴∠CAF＝∠DBE 又AC＝BD，

∴△ACF≌△BDE ∴CF＝DE

44. （7分）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动。校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示： 所抽取该校七年级学生四月份“读书量”的统计图

根据以上信息，解答下列问题：

（4）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 （5）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；

（6）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数。 【解析】

（1）如图所示，众数为3（本）

（2）平均数=

31182213124553

318211266120（人） 60（3）四月份“读书量”为5本的学生人数=120045. （7分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示。于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米。已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB。（小平面镜的大小忽略不计）

【解析】：如图，过点C作CH⊥AB于点H， 则CH＝BD，BH＝CD＝0.5 在Rt△ACH中，∠ACH＝45°， ∴AH＝CH＝BD

∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5

∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°. 由题意，易知∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△ABC

∴

EFFG1.62＝ 即＝ ABBGBD＋0.55＋BD

解之，得BD＝17.5 ∴AB=17.5＋0.5＝18(m)． ∴这棵古树的高AB为18m．

46. （7分）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变。若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃） （3）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；

（4）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安图中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为－26℃时，飞机距离地面的高度为7km,求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温。

【解析】(1)y＝m－6x

(2)将x＝7，y＝－26代入y＝m－6x，得－26＝m－42，∴m＝16 ∴当时地面气温为16℃ ∵x＝12＞11，

∴y＝16－6×11＝－50(℃)

假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为－50℃

47. （7分）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球。其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球。

（3）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；

（4）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜。请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平。

【解析】：(1)共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种 2

∴P(摸出白球)＝

3

(2)根据题意，列表如下：

A B 白1 白2 红 红1 (白1，红1) (白2，红1) (红，红1) 红2 (白1，红2) (白2，红2) (红，红2) 白 (白1，白) (白2，白) (白1，白) 由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种 45

∴P(颜色相同)＝，P(颜色不同)＝

9945

∵＜ 99

∴这个游戏规则对双方不公平

48. （8分）如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD。 （3）求证：AB=BE

（4）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长。

【解析】(1)证明：∵AP是⊙O的切线， ∴∠EAM＝90°，

∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°. 又∵AB＝BM， ∴∠MAB＝∠AMB， ∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE (2)解：连接BC ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°

在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6， ∴BC＝8

由(1)知，∠BAE＝∠AEB， ∴△ABC∽△EAM ACBC

∴∠C＝∠AME，＝

EMAM即108＝ 12AM

48

∴AM＝

5又∵∠D＝∠C， ∴∠D＝∠AMD 48

∴AD＝AM＝

5

49. （10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：yaxcaxc经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于

2原点O堆成的抛物线为L （3）求抛物线L的表达式

（4）点P在抛物线L上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D。若△POD与△AOB相似，求复合条件的点P的坐标

9a－3(c－a)＋c＝0a＝－1

【解析】(1)由题意，得，解之，得，

c＝－6c＝－6

∴L：y=－x2－5x－6

(2)∵点A、B在L′上的对应点分别为A′(－3，0)、B′(0，－6) ∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6 将A′(－3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5. ∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6 A(－3，0)，B(0，－6)， ∴AO＝3，OB＝6.

设P(m，m2－5m＋6)(m＞0). ∵PD⊥y轴，

∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6) ∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6 Rt△POD与Rt△AOB相似， ∴

PDODPDOD

＝或＝ AOBOBOAO

PDODmm2－5m＋6①当＝时，即＝，解之，得m1＝1，m2＝6

AOBO36∴P1(1，2)，P2(6，12)

PDODmm2－5m＋63②当＝时，即＝，解之，得m3＝，m4＝4

BOAO63233

∴P3(，)，P4(4，2)

24

∵P1、P2、P3、P4均在第一象限

33

∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)

24

50. （12分）

问题提出：

（4）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究：

（5）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离； 问题解决：

（6）如图3，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE。根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由。（塔A的占地面积忽略不计）

【解析】（1）如图记为点D所在的位置

（2）如图，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB＞AB.

∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1,P2两点，

连接P1B,P1O,P1C，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外；

∴△BPC的顶点P在P1或P2位置时，△BPC的面积最大

作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴AP1BEOBOE532

由对称性得AP28

（3）可以，如图所示，连接BD，

∵A为□BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°

»上，取BED¼的中点E，连接EB,ED 作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD则EBED，且∠BED=60°，∴△BED为正三角形. 连接EO并延长，经过点A至C，使EAAC，连接BC,CD ∵EA⊥BD，∴四边形EBCD为菱形，且∠CBE120°

作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EFEOOAEOOAEA ∴SBDE11BDEFBDEASBED 2222∴SYBCDES菱形BCDE=2SBDE100sin6050003(m)

2所以符合要求的□BCDE的最大面积为50003m