第２７卷第１１期 文章编号：１００６—９３４８（２０１０）１１—０３３６—０４ 计算机仿真 ２０１０年１１月 基 于高阶累积量的 酉变换ＤＯＡ估计算法 韩 勇，乔晓林，金铭，曾丙霞 （哈尔滨工业大学，黑龙江哈尔滨１５０００１） 摘要：目前将酉变换算法用于奇数阵元均匀圆阵时需要利用模式空间算法进行预处理，而模式空间算法需要阵元数过多，且 与酉变换算法结合后只能针对特定俯仰角在方位向上进行一维搜索。针对问题提出利用高阶累积量算法对阵列接收数据 进行预处理，为提高测向精度和估角性能，利用酉变换算法将预处理得到的高阶累积量矩阵实数化。与模式空间算法相比 上述方法降低了对阵元个数的需要，并且能够直接进行二维谱峰搜索。与经典多重信号分类算法（ＭＵＳＩＣ）相比，在不增加 特征值分解及谱峰搜索计算量的情况下，提高了算法的分辨力。按照给出的算法原理，通过仿真试验验证了所得的结论的 正确性。 关键词：波达角估计；圆阵；高阶累积量；酉变换 中图分类号：ＴＮ９１１．７ 文献标识码：Ａ Ｕｎｉｔａｒｙ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ＤＯＡ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｈｉｇｈ——ｏｒｄｅｒ Ｃｕｍｕｌａｎｔ ＨＡＮ Ｙｏｎｇ，ＱＩＡＯ Ｘｉａｏ—ｌｉｎ，ＪＩＮ Ｍｉｎｇ，ＣＡＯ Ｂｉｎｇ—ｘｉａ （Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｅｒｂｉｎ Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ １５０００１，Ｃｈｉｎａ） ＡＢＳＴＲＡＣＴ：Ａｔ ｐｒｅｓｅｎｔ，ｐｒｅ—ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｄｏｎｅ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐａｔｔｅｒｎ ｓｐａｃｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｕｎｉｔａｒｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｄｄ ａｒｒａｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｕｎｉｆｏｒｍ ｃｉｒｃｕｌａｒ ａｒｒａｙ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｏｏ ｍａｎｙ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｔｔｅｒｎ ｓｐａｃｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ａｎｄ ｏｎｌｙ １一ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｅａｒｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｏｐｅｒａｔｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｓｐｅｃｉａｌ ｅｌｅｖａｔｉｏｎ ａｎｇｌｅ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｕｎｉｔａｒｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ，ｔｈｅ ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ｃｕｍｕｌａｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｐｒｏ— ｐｏｓｅｄ ｔｏ ｄｏ ｐｒｅ—ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ａｒｒａｙ ｒｅｃｅｉｖｉｎｇ ｄａｔａ．Ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ｃｕｍｕｌａｎｔ ｍａｔｉｘ ｉｒｓ ｒｅａｌ— ｖａｌｕｅｄ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｕｎｉｔａｒｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐａｔｔｅｒｎ ｓｐａｃｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｄｅ— ｃｒｅａｓｅ ｔｈｅ ｄｅｍａｎｄ ｔｏ ｅｌｅｍｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒ ａｎｄ ｃａｎ ｄｏ ２一ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｐｅａｋ ｓｅａｒｃｈ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ＭＵＳＩＣ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｅ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｃｏｓｔ ｏｆ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ—ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｐｅｃｔｕｍ ｐｅａｋ ｓｅａｒｒｃｈ．Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉｓ ｖｅｒｉｉｆｅｄ ｕｓｉｎｇ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ：ＤＯＡ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；Ｃｉｒｃｕｌａｒ ａｒｒａｙ；Ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ｃｕｍｕｌａｎｔ；Ｕｎｉｔａｒｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ １ 引言 自ＳＣＨＭＩＤＴ提出ＭＵＳＩＣ算法以来，子空间类ＤＯＡ估计 当布阵方式为均匀圆阵且阵元个数为奇数时，阵列不是中心 对称阵列，则不能直接应用酉变换算法。而文献［６］在分析 障碍物对阵列影响时利用了模式空间算法将均匀圆阵虚拟 为均匀线阵，进而以虚拟均匀线阵为基础应用酉变换算法实 现自相关矩阵实数化。该算法提高了估角性能，在俯仰角一 定时减少了方位向上一维搜索的计算量，并且适用于奇数阵 元的均匀圆阵。但是应用模式空间算法会带来以下３个问 题：①模式空间算法是近似算法，估角误差随阵元数减小而 增加，当阵元数小到一定个数时算法失效（此时普通ＭＵＳＩＣ 算法以其超分辨、测向精度高等特点，近几十年来受到学者 的关注。而如何在保持估角性能不变或提高的前提下降低 计算量或者在保持计算量不变的情况下提高估角性能是学 者研究的重点方向。为此文献［１］提出了酉变换算法，该算 法能将特征值分解及谱峰搜索的计算由复数变为实数，计算 量减小到四分之一，同时提高估角性能。文献［２～３］研究酉 变换算法的快速实现；文献［４，５］将酉变换算法应用到求根 ＭＵＳＩＣ算法中，并分析其性能。但是不论是文献［１］中的算 法还是文献［２～５］中的算法，都只能用于中心对称的阵列， 算法仍有效）。②模式空间算法与酉变换算法结合后需要针 对每一个俯仰角构建相应的转换矩阵，因此对于特定俯仰 角，算法虽然改善了方位向上的一维搜索计算量，但对于俯 仰、方位二维联合搜索计算量没有减少。③模式空间算法只 收稿日期：２００９—０９—２４ —－－－——３３６．－．．—— 能用于均匀圆阵。针对这些缺点，本文提出基于高阶累积量 由前提条件可将阵列接收数据表示为： 的酉变换算法。该算法利用真实阵元输出，采用高阶累积量 算法虚拟出一个对称阵列，该虚拟阵列的协方差矩阵可以用 高阶累积量算法构建的高阶累积量矩阵等效 ’ 。将酉变 换算用于高阶累积量矩阵可使基于高阶累积量的酉变换算 ｚ（ｔ）：［ （ｔ），ｚ２（ｔ），…，ｚＭ（ｔ）ｒ＝Ａ（Ｏ， ）ｓ（ｆ） （１） 式中： （ｔ）＝［ｓ （ｔ）， （ｔ），…，ｓ （ｔ）ｒ； Ａ（口， ）＝［ｎ（０ ， ），…，０（ ， ）ｒ为导向矢量矩阵， ａ（ ， ）＝［ａ。（０ ９ ），ａ （口， ），…，ａ （ ， ） 为入射方向 为（０， ）的导向矢量，其中 ａ （ ， ）＝ ２￣ｒ（ｘ ｓｉｎＯ＋ＹｉｃｏｓＯｓｉｒ￣）／Ａ 法的计算量总体上略低于经典ＭＵＳＩＣ算法的计算量，更主 要的是它能在保持高阶累积量算法优秀的抗高斯噪声能力 的基础上进一步提高估角性能。此外由于虚拟阵列的高阶 累积量矩阵维数高于传统的真实阵列的二阶累积量算法，因 此可估计的信源个数多于二阶累积量算法。与模式空间算 ＝ｅｘｐｊ￣ 式中（ ，Ｙ ）为第ｉ个阵元的坐标。 阵元问四阶累积量采用如下定义 （２） 法相比，高阶累积量算法可将奇数阵元的均匀圆阵虚拟为中 心对称阵列，避免了使用模式空间算法要求阵元个数过多、 不能够进行二维谱峰搜索的问题。而且高阶累积量算法不 只能用于奇数阵元的均匀圆阵，它还可以应用于任意阵列， 即基于酉变换的高阶累积量算法对阵列形式、阵元个数没有 特别的要求，它不要求阵列为中心对称阵列，也不要求阵列 必须为均匀圆阵（在文章中以非中心对称阵列的特例——奇 数阵元均匀圆阵对算法进行说明，但从推导过程可以看出算 法对阵列形式没有要求）。 高阶累积量算法略微减少了特征向量分解及谱峰搜索 的计算量，提高了ＭＵＳＩＣ算法的估计性能，但同时也增加了 构建高阶累积量矩阵的计算量，然而工程实现过程中高阶累 积量矩阵的获取更新与特征向量分解及谱峰搜索是空间并 行处理，而高阶累积量矩阵的计算时间冗余较大，因此该算 法合理的分配了计算量，提高了算法的估计性能。 ２ 数学模型及算法原理 ２．１前提条件 １）圆周上阵元Ｍ个阵元，圆周半径为ｒ。 ２）０ 为第ｉ个入射信号的方位角，定义为人射方向与 ＹＯＺ面的夹角； 为第ｉ个入射信号俯仰角，定义为人射方向 在ＹＯＺ面的投影与ｚ轴的夹角。信号源个数为Ｐ且互相独立， 信号波长为Ａ。信号入射方向如图１所示（图中 １＋ ～ ＋１为高阶累积量虚拟出的以真实阵元ｚＭ为中心的对称阵 元）。 ３）各通道的噪声为高斯噪声且互相独立，同时与信号 独立。 之量 、～＼。～～ ／一 ～…，．一 ｚ ’‘。。。一一一ｚ 图１ 阵列结构示意图 真实阵元：ｚ１～ＺＭ；虚拟出的阵元ｚ ＋ ～ ＋ ２．２ 算法推导 （ ｌ，Ｚｋ２，。 Ｚｋ４）＝ Ｅ｛ ， ，ｚ云， 五｝一Ｅ｛ ， ：｝Ｅ｛ｚ￡， ‘｝一 Ｅ ，Ｚｋ’３｝Ｅ ，Ｚｋ ４｝一Ｅ｛Ｚｋ ，Ｚｋ４ ｝Ｅ ：，ｚ蠢｝ （３） 式（３）中的计算目前普遍采用如下方式 １ Ｌ Ｅｌ ＺｋＩ Ｚｋ２， ｋ ３，ｚ五｝＝÷∑ 。（ｆ）ｚ ：（ｔ） 五（￡） ｔ（￡） １ Ｌ Ｅ｛ＺｋＩ Ｚｋ２｝：÷∑ 。（￡）Ｚｋ２（￡） 利用式构造高阶累积量矩阵 Ｒ（ｉ√）＝ ，ｘｉ， ） １≤ｉ≤Ｍ， １≤Ｊ≤Ｍ ，ｘｊ， ） Ｍ＜ｉ≤２Ｍ一１ ｊ≤Ｊ≤Ｍ ， Ｍ， ：Ｍ） １≤ ≤Ｍ， Ｍ＜ ≤２Ｍ一１ ， Ｍ，ｘｊ ＿ ）Ｍ＜ｉ≤２Ｍ一１ ＜Ｊ≤２Ｍ一１ （４） 由前提假设，并利用四阶累积量性质 及式（ｉ）可将式（４） 表示为 Ｒ＝Ｂ（０， ）Ｇ Ｂ （ ， ） ４ （５） 式中Ｂ（ ， ）＝［ｂ（０ ， 。），…，ｂ（ ， ）ｒ为４阶累积量矩 阵 对应的导向矢量矩，ｂ（ ， ）＝［ａ （ ， ），ａ：（ ， ），…， ａ： （０， ）］ ，ａ （０， ）的计算见式（２），可以看出该导向矢 量矩阵与由阵元ｚ１～ ＋１构成的虚拟阵列产生的导向矢 量矩阵相同，即高阶累积量算法虚拟出一个中心对称阵列； Ｃ ＝ｄｉａｇ（ …，ｙ ）， ， ． 为第ｉ个信号源的四阶累积 量； 为通道内噪声的四阶累积量。 按如下方式构造酉矩阵 ０ １］ ０ ｆ （６） ｏ ｊｆ ． （０， ）＝Ｕａ（０， ）＝ （７） √２ 为实数。因此令 Ｒ ＝Ｒｅ｛ ｝ ＝Ｒｅ｛Ｕ［Ｂ（ ， ）Ｃ，Ｂ （ ，妒） Ｙ４，ｎＩＮ］ＵＨ｝＝ＵＢ（Ｏ， ．．．——３３７．．．．—— ）Ｒｅ｛ ｝Ｂ （ ， ） 。卜ｙ４ ．：Ｂ（ ， ）（Ｃ ＋ｃ ）Ｂ （０，妒）／２＋ ４ Ｂ（０， ）Ｃ Ｂ （０， ） ｙ４ ＩＮ ＝对矩阵Ｒ 进行特征分解得到噪声空间向量，进而采用 ＭＵＳＩＣ算法进行ＤＯＡ估计。 ２．３ 计算量及性能分析 １）计算量分析 设基于二阶累积量矩阵的ＭＵＳＩＣ算法特征值分解及谱峰 搜索的计算量为 （ ）， 为矩阵维数。则由于高阶累积量矩阵 Ｒ的维数为２Ｍ一１，依据特征值分解及谱峰搜索的计算量正比于 图２ 基于四阶累积量的酉变换算法 矩阵维数的平方，并且由矩阵Ｒ与二阶累积量矩阵同为复数矩 阵可知基于矩阵Ｒ的ＤＯＡ估计的计算量为 （２Ｍ一１）＝ ４ ｎ（ ），式中ｋ为略小于１的系数。由式知矩阵为实数矩阵，因 此基于Ｒ 的特征值分解及谱峰搜索的计算量是基于相同维数 复数矩阵 进行ＤＯＡ估计的计算量的四分之一，即为 （２Ｍ一 １）＝０．２５ ４ｋＴ１（Ｍ）＝ｋＴ１（Ｍ），可知基于矩阵Ｒ 的特征值分 解及谱峰搜的计算量低于基于 的计算量。 ２）性能分析 与二阶累积量矩阵比较：由文献［１Ｏ］知高阶累积量在 高斯白噪声、特别是高斯色噪声条件下估计性能优于优于二 阶累积量矩阵的估计性能。因此在相同噪声条件下基于高阶 累积量矩阵Ｒ的ＤＯＡ估计性能优于基于基于二阶累积量矩 阵的估计性能。 实数矩阵与复数矩阵估计性能比较：通过与基于二阶 累积量矩阵的ＭＵＳＩＣ算法比较，可以看出矩阵Ｃ 、Ｃ 可以等 效为信源自相关矩阵，令Ｐ 、ｑ 分别表示矩阵Ｃ 、Ｃ 的第ｉ 行、第 列元素，则可将Ｐ 、ｑ 表示矩阵Ｒ 、Ｒ对应的第ｉ， 个 信号源之间的相关系数，由式（８）知 １ ＩＰ；Ｊ Ｉ＝÷ｌ ｑ Ｊ ｑｉ Ｉ＝Ｒｅ（ｑ Ｊ）≤ｌ ｑ Ｊ Ｉ （９） 可知经过酉变换的自相关矩阵Ｒ 对应的等效的信源ｉ√之间 的相关系数小于未经过酉变换的信源间的相关系数。因而基 于矩阵Ｒ 的ＭＵＳＩＣ算法估计性能高于基于矩阵Ｒ的估计性 能。且由式当相关系数的相位在０～２ｒｒ上均匀分布时有 Ｐｉ （ ｓ（ ） ≈０－６８ｑ－ （ ０） 既相关性平均降低到原相关系数的０．６８倍。 由上述可知基于矩阵Ｒ 的ＤＯＡ估计性能优于矩阵Ｒ，进而优 于直接以二阶累积量矩阵为基础的ＤＯＡ估计性能。 ３）与模式空间算法比较，基于 的ＭＵＳＩＣ算法能够直接 进行二维谱峰搜索，且不需要阵元数多于２ｒ２￣／ａＪ过多阵元。 ３ 仿真试验 试验１：两个独立信号源入射方向分别为（０．６。，０３、（一 ０．６。，０３，信噪比为ｌＯｄＢ，５个阵元，ｒ＝２Ａ。利用Ｒ 进行ＤＯＡ 估计的仿真结果如图２、４所示，利用二阶累积量矩阵的仿真 结果如图３、４。 ．．．．——３３８． ．—— 图３ 基于二阶累积量的ＤＯＡ估计算法 图４ 图２．３中在俯仰角为Ｏ。上的切片 由试验可以看出基于高阶累积量酉变换算法对非中心 对称阵列有效，且分辨力优于二阶累积量算法。而且当ｒ： ２ 时ｍｏｄｅ空间算法至少需要２ ｒ２ Ｊ个阵元。。 （ｒ Ｊ为向 下取整符号），而高阶累积量算法不受此限制，并且可直接形 成二维谱图。 ４ 结论 由公式推导及仿真试验可以看出与经典的二阶累积量 ＭＵＳＩＣ算法相比，利用高阶累积量算法进行酉变换ＭＵＳＩＣ 算法时在略降低特征值分解及谱峰搜索计算量的同时提高 了估计性能。与采用模式空间算法相比，该算法可以适用于 任意阵列，即使同样应用于均匀圆阵，该算法需要的阵元也 远小于模式空间算法，而且该算法可以实现二维谱峰联合搜 索，而不用像模式空间算法那样必须将谱峰搜索算法分成两 个一维算法。 参考文献： 电子与信息学报，２００７，（５）：１０４１—１０４５． ［１］ 吴仁彪．一种通用的高分辨率波达方向估计预处理新方法 ［８］ 黄佑勇，王激扬，陈天麟．任意结构阵列基于高阶累积量的信 ［Ｊ］．电子与信息学报，１９９３（０３）：３０５—３０９． 号频率和二维角联合估计算法［Ｊ］．系统工程与电子技术，５ ４ ３２ ｌ堇詈 ９ ８ ７６ ５ ４ ３ ２ Ｏ㈣ ［２］ Ｍ Ｋｉｍ，Ｋ ｌｃｈｉｇｅ．Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ＦＰＧＡ ｂａｓｅｄ ｆａｓｔ ＤＯＡ ｅｓｔｉ— ２００１，（６）：３２—３５． ｍａｔｏｒ ｕｓｉｎｇ ｕｎｉｔａｒｙ ＭＵＳＩＣ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ［ｃ］．２００４，２００３ ＩＥＥＥ ５８ｔｈ ［９］ 王永良，陈辉，彭应宁．空问谱估计理论与算法［Ｍ］．北京：清 Ｖｅｈｉｃｕｌａｒ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，２００４．２１３—２１７． 华大学出版社，２００４．３９１—４００． ［３］ Ｎ Ｙｉｌｍａｚｅｒ，Ｊ Ｋｏｈ，Ｔ Ｋ Ｓａｒｋａｒ．Ｕｔｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｕｎｉｔａｒｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ［１Ｏ］ 周围，周正中，张德民．基于高阶累积量的空间特征估计方法 ｆｏｒ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｐｅｎｃｉｌ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｄｉ— 及其应用［Ｊ］．系统工程与电子技术，２００６，（３）：４６７—４７０． ｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｒｉｒｖａｌ［Ｃ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｎｔｅｎｎａｓ ａｎｄ Ｐｒｏｐａ— ｇａｔｉｏｎ，２００６．１７５—１８０． ［作者简介］ ［４］ Ｍ Ｐｅｓａｖｅｎｔｏ，Ａ Ｂ Ｇｅｒｓｈｍａｎ．Ｈａａｒｄｔ Ｍ．Ｕｎｉｔａｒｙ ｒｏｏｔ—ＭＵＳＩＣ 韩勇（１９７６一），男（汉族），山东招远人，博士研究生， ｗｉｔｈ ａ ｒｅａｌ—ｖＭｕｅｄ ｅｉｇｅｎｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ：ａ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉ— 主要研究方向为阵列信号处理ＤＯＡ估计及目标识别。 ｍｅｎｔａｌ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｓｔｕｄｙ［Ｊ］．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃ－ 乔晓林（１９４８一），男（汉族），内蒙古赤峰人、教授， ｔｉｏｎｓ ｏｎ，２０００，５（４８）：１３０６—１３１４． 博士生导师，研究领域为雷达信息处理及电子对抗。 ［５］ 吕荣峰，杨力生．酉变换步进搜索求根ｍｕｓｉｃ算法的研究与仿 金铭（１９６８一），男（汉族），吉林人，教授，博士生 真［Ｊ］．计算机仿真，２００９，（１）：３２７—３３０． 导师、研究领域为雷达信息处理及电子对抗。 ［６］ 张成，陈克安．声场分解的均匀圆阵实值ＭＵＳＩＣ算法［Ｊ］．声 曹丙霞（１９８０一），女（汉族），山东人，博士研究生，主要研究方向为 学技术，２００８，０６，２７（３）：５—９． 地磁信号处理与测向。 ［７］ 陈建，王树勋．基于高阶累积量虚拟阵列扩展的ｄｏａ估计［Ｊ］． （上接第２９４页） 参考文献： ［１］Ｒ Ｓｔｒｉｂｅｅｋ Ｂａｌｌ ｂｅａｒｉｎｇｆｏｒ ｖａｒｉｏｕｓｌｏａｄｓ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓ ＡＳＭＥ，１９０７，（ ）． ［２］ Ｒ Ｐａｌｍｇｒｅｎ．Ｂａｌｌ ａｎｄ ｍｉｌｅｒ ｂｅａｒｉｎｇ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（３ｒｄ ｅｄｉｔｉｏｎ） ＿蕈 凿 ［Ｍ］．Ｂｕｒｂａｎｋ，１９５９． ［３］Ａ Ｂ Ｊｏｎｅｓ．Ｂａｌｌ ｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｌｉｄｉｎｇ ｆｉｒｃｔｉｏｎ ｉｎ ｂａｌｌ ｂｅａｒｉｎｇｓ［Ｊ］． 撂 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂａｓｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ。１９５９，８１：１—１２． ［４］ Ｔ Ａ Ｈａｒｒｉｓ．Ａｎ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｐｒｅｄｉｃｔ ｓｋｉｄｄｉｎｇ ｉｎ ｈｉｇｈ ｓｐｅｅｄ ｒｏｌｌｅｒ ｂｅａｒｉｎｇ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓ ＡＳＭＥ，１９６６，９３：１７—２４． 暑导 暑 赛宝墨兰墨墨呈墨呈墨星墨善 ［５ 罗继伟．滚动轴承受力分析及其进展［Ｊ］．轴承，２００１，９：２８—３１． ［６］ 吴云鹏．滚动轴承力学模型的研究及其发展趋势［Ｊ］．轴承， 图９ 理论与仿真结果对比曲线 ２００４，７：４４—４６． ［７］ 万长森．滚动轴承的分析方法［Ｍ］．北京：机械工业出版社，１９８７． ５ 结论 ［８］ 蒋蔚，周彦伟，梁波．配对角接触轴承刚度和摩擦力矩分析计 １）本文提出了微型角接触球轴承载荷与变形关系的力 算［Ｊ］．轴承，２００６，８：１—３． 学模型，并通过有限元仿真进行了验证，结果表明采用该模 ［９］ 张家库，李志远，张朝煌．高速角接触球轴承变形和接触角的数值分 型可客观准确的描述轴承接触区的力学性能。 析与求解［Ｊ］．合肥工业大学学报，２Ｏ０８，１１：１７６５—１７６６． ２）微型角接触球轴承的结构特点导致其受载后接触角会随 ［１Ｏ］ 王想生，等．机翼机身对接接头非线性有限元分析［Ｊ］．计算 负载迅速增大，在载荷较大的情况下，接触角增量可达５ｏ％甚至 机仿真，２００９，７（２６）：３７—４Ｏ 更多，因此在设计计算中必须予以考虑。而常规尺寸角接触球 ［作者简介］ 轴承初始接触角大于１５。时，接触角随负载变化很小，通常可忽 杨晨光（１９８６一），男（汉族），内蒙古鄂尔多斯人，硕士研 略其影响，采用简化模型即可达到较好的精度。 究生，主要研究方向为机械优化设计。 ３）在微型轴承的使用中，可以利用其接触特性预加轴向 贾宏光（１９７１一），男（汉族），黑龙江五常人，研究员，博 载荷，以提高轴承的刚度、减小间隙与变形等，得到更佳的力 士生导师，研究方向为光机电系统的微小型化技术，复合 学性能。另外，为防止受载后接触角迅速达到或超过安全接 制导及目标识别技术。 触角，造成轴承意外破坏，在使用中必须保证轴承有足够的 刘波（１９７７一），男（汉族），黑龙江庆安人，助理研究员，博士，主要从事微 接触角裕量。 机电系统方面的研究。 郑飞（１９８３一），男（满族），辽宁鞍山人，硕士研究生，主要研究方向为航 天相机的设计与分析。 －－－——３３９－－－—－—