韦达定理常见经典题型

一

元二次方程知识网络结构图

定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知

数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程 直接开平方法

解法（降次） 因式分解法

配方法 ，这样的方程1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是步骤应用一元二次方程解决实际问题 0方程有两个不相等的实数根 叫做一元二次方程。b24ac＞

一元二次

方程

实际问题的答案2 ( a、b、c、为常数，a )。 通常可写成如下的一般形式公式法b4ac＝0方程有两个相等的实数根

2. 一元二次方程的解法： b24ac＜方程无实数根 的平方，（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的

而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

2（2）配方法：用配方法解一元二次方程axbxcoa0的一般步骤是：

①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；

②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方；

2④化原方程为(xm)n的形式，

如果n是非负数，即n0，就可以用 法求出方程的解。 如果n＜0，则原方程 。

（3）公式法: 方程ax2bxc0(a0)，当b24ac_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：

①将方程的右边化为 ；

②将方程的左边化成两个 的乘积；

③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3、韦达定理

一、 一元二次方程的基本概念及解法

1、已知关于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为

A．－１ B．0 C．1 D．2 2、

3、一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（ ）

A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2 二 一元二次方程根的判别式

4、关于x的方程x22kxk10的根的情况描述正确的是( )． A．k为任何实数．方程都没有实数根

B，k为任何实数．方程都有两个不相等的实数根 C．k为任何实数．方程都有两个相等的实数根

D．根据k的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

x2﹣2x+l＝0有两个不相等的实数根，5、已知关于x的一元二次方程（a﹣l）

则a的取值范围是（ ） A、a＜2 B、a＞2 C、a＜2且a≠l D、a＜﹣2 6、已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？

三 一元二次方程根与系数的关系 一）韦达定理

7、不解方程，判别方程两根的符号。

8、关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。 （1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值。

二）、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 9、已知方程

22的一个根为2，求另一个根及m的值。

10已知方程x2(m2)xm40有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求m的值。

三）、运用判别式及根与系数的关系解题。

11已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x4(m1)xm0的两个非零实数根，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由， 四）、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。 12已知

、

是方程

的两个实数根，求2的值。 和

至少有一个相同的实数根，

22213、已知两方程

求这两个方程的四个实数根的乘积。 作业

一、填空题： 1、如果关于的方程

22的两根之差为2，那么

2。

2、已知关于x的一元二次方程(a1)x(a1)x10两根互为倒数，则a_________。 3、已知关于x的方程x3mx2(m1)0的两根为x1，x2且4、已知

1113，则m=__________。 x1x2422是方程2x7x40的两个根，那么：x2x2______________；

5、已知关于x的一元二次方程

的两根为x1，x2，且x1+x2=-2，则

(x1x2)x1x2____________；

6、如果关于的一元二次方程值为__________。 7、已知

是

的一个根是

，那么另一个根是_____，的

的一根，则另一根为，的值为___________。

和

，那么这个一元二次方程为_________。

的值。 的值。

8、一个一元二次方程的两个根是二、计算题： 1、已知2、已知

是方程

的两个根，利用根与系数的关系，求

是方程3x23x40的两个根，利用根与系数的关系，求

52253、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求x1•x2x1•x2的值。 4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。 5、已知关于x的方程mx4x60的两根满足关系式

22，求m的值及方程的两个根。

的值及这个相同的根。

26、已知方程xmx40和x(m2)x160有一个相同的根，求三、能力提升题：

1、实数在什么范围取值时，方程kx2kxk10有正的实数根？ 2、已知关于的一元二次方程

（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 （2）若这个方程的两个实数根

、

满足2x1x2m1，求

的值。

的值。

23、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求

4、是否存在实数，使关于的方程9x(4k7)x6k0的两个实根如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。 5、已知关于的一元二次方程

，求

6、实数

的值。

（m0）的两实数根为

22，满足，

，若

、分别满足方程的值。

和1999nn0，求代数式

2