高次不等式的一种简单解法沈海训、断高中代数第二册页中对不等式一一,_只丁不二U、再一~O下沪、不了尸下万宁1尹又给出如下解法`把分子分母各因式的根按照从小到大顺序排列,可得下表:一1128X+l+X一1++劣一2+++戈一3++++(x一1)(x一2)+++(x一3少(戈+l)由上表可知,原不等式的解集是{x}一l
O同解.不难看出(x)的符号在每一个区间里是恒定的,相邻区间里的厂x()符号相反,且一正一负间.一般地有如下结论:设实系数多项式厂(x)在实数域内可分解的n个一次因式之积:f(x)=(x一a,)(x一a:)…(x一a,)中。工<。:<…0.解:令f(x)=2(x+3)(x+2)(x+z)(二+于)(x一1)x(一3),则原不等式同解于厂(x)>O。而厂(x)的根从小到大是一3、一2、一1、一+、1、3。取x=0任(一于,1),’.,f(O)>0,(一+,D内恒有厂(劝>O,因而在(一2,一1)、(一oc,一3)、(3,+O)内也恒有x()>O,其他区间内恒有厂(x)<0.故原不为(一oc,一3)U(一2,一l)U(一圣,1)U(3,+oc)。如厂(x)有重因式,则可先去掉再讨论。例2解x(x一1)(x一2)(x+1)’(x+2)“<0解:令f(x)=(x+z)x(x一z)(x一2),x笋一1时,原不等式同解于了x()《of()x根从小到大是一2、0、1、2.取二=一1〔(一2,),则丈(一1)<0,故在(一2,0)内伍有f(x)O,因而在(l,)2内也恒有厂(x)O,因此原不等式的解集(一2,0)U(1,2).如f`x)含有不可分解(实数内)的二次,则此二次因式的正负性恒定,也可以二次因式再讨论用上述方法解高次不等式的步骤是:①解;②去掉重因式和二次因式;③由点的函数符号决定此点所在区间内的函数号,④由此区间内的函数符号决定其他区函数符号。故在了等式解集则当0了两个阴出现的<成无重因式区问是其(因式间先去掉因式分的且一内的符号是恒定符间内的