第4讲 托勒密定理+婆罗摩笈多

模块一：角平分线之斯库顿定理 模块二：托勒密定理

托勒密定理：

托勒密(Ptolemy)（公元90年~公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密(Ptolemy)定理．

托勒密定理：

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 已知：如图1，四边形ABCD内接于O， 求证：ABCDBCADACBD 下面是该结论的证明过程：

证明：如图2，作BAECAD，交BD于点E．因为ADAD，所以ABEACD， 所以ABE∽ACD，所以

ABBE，即ABCDACBE，因为ABAB， ACCD所以ACBADE（依据1），因为BAECAD，所以BAEEACCADEAC， 即BACEAD，所以ABC∽AED（依据2），所以ADBCACED， ABCDADBCAC(BEED)，所以ABCDADBCACBD

【举例】如图3，四边形ABCD内接于O，AB3，AD5，BAD60，点C为BD的中点，求AC的长．

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➢ 例题精讲

模块一 角平分线之斯库顿定理

【例1】（2016•成都）如图，在RtABC中，ABC90，以CB为半径作C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE． （1）求证：ABD∽AEB； （2）当

AB4时，求tanE； BC3（3）在（2）的条件下，作BAC的平分线，与BE交于点F，若AF2，求C的半径．

【例2】（2020•成都模拟）如图1，AB为O的直径，直线CD切O于点C，ADCD于点D，交O于点E． （1）求证：AC平分DAB；

（2）若4AB5AD，求证：AE3DE；

（3）如图2，在（2）的条件下，CF交O于点F，若AB10，ACF45，求CF的长．

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➢ 变式训练

1、如图，在RtABC中，ACB90，AC5，CB12，AD是ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．

（1）求证：ACAE； （2）求AD的长．

模块二：托勒密定理

【例1】如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB3，AD5，BAD60，点C为弧

BD的中点，则AC的长是( )

A．4

B．23 C．43 3D．83 3【例2】（2020•娄底）如图，点C在以AB为直径的O上，BD平分ABC交O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E． （1）求证：DE与O相切；

（2）若AB5，BE4，求BD的长；

（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．

3

【例3】（2018•平定县模拟）请阅读下列材料，并完成相应的任务．

克罗狄斯托勒密（约90年168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：

圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于O，则有 ________．

任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ACBDABCDBCAD ．

（2）已知，如图2，四边形ABCD内接于O，BD平分ABC，COD120，求证：BDABBC．

➢ 变式练习：

1、（2019•江都区三模）如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB5，AD7，BAD60，点C为BD的中点，则AC的长是 ．

4

2、（2020•广西一模）如图，点A在O上，BC为O的直径，AB4，AC3，D是AB的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为_____

3、如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为_____ 。

4、如图所示，正方形 ABCD 外接圆中弧 AD 上有一动点 E ，连接 EA 、 EB 、 EC ， 则

EAEC__________. EA

5、如图1，直线l与圆O相交于A，B两点，AC是圆O的直径，D是圆上一点，DE⊥l于点E，连接AD，且AD平分⊥CAE. （1）求证：DE是圆O的切线;

（2）若DE=3，AE=3，求圆O的半径;

（3）如图2，在(2)的条件下，点P是弧AB上一点，连接PC，PD，PB，问:线段PC、PD、PB之间存在什么数量关系?请说明理由.

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5、在ABC中，已知ABAC，O是BC上一点，AC切O于A点． （Ⅰ）如图①，若O的半径为6，求线段OC的长；

（Ⅱ）如图②，O交BC于E点，过E点作DE//AC交O于点D，若BC12，求DE的长．

➢ 模块三：圆中婆罗摩笈多定理

【例1】已知，如图1，A、B、C、D是圆O上的四个点，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，则圆O的半径为___________

【例2】如图2，圆内接四边形对角线AB⊥CD于P，OE⊥AD于E，OE=2，则BC=_____

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图1 7

图2