一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an﹣1，则a2=（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
2．在△ABC中，若a=1，A=60°，B=45°，则b=（ ） A． B．
C．
D．
3．不等式（2x+1）（x﹣1）≤0的解集为（ ） A．
D．
B．
C．
4．由a1=1，d=2确定的等差数列{an}中，当an=59时，序号n=（ ） A．29 B．30 C．31 D．32
5．已知m＞0，n＞0，且mn=2，则2m+n的最小值为（ ） A．4
B．5
C．
D．
6．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（ ） A． B．
C．1
D．
7．已知{an}是等比数列，那么下列结论错误的是（ ） A．B．C．D．
8．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（ ） A．一解
B．两解
C．一解或两解 D．无解
9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，若3S1，2S2，S3成等差数列，则an=（ ）
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A．2n﹣1 B．1或3n﹣1C．3n D．3n﹣1
10．如果a＜b＜0，c＞d＞0，那么一定有（ ） A．
B．
C．
D．
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则△ABC为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 12．已知数列{an}的通项公式为和Sn=（ ） A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．8与﹣7的等差中项为 ．
14．在△ABC中，若a=4，b=5，c=6，则cosA= ．
15．如图，从一气球上测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为60°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC= m．
B．
C．
D．
，则数列{an}的前n项
16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．在等差数列{an}中，公差为d，前n项和为Sn． （1）已知a1=2，d=3，求a10； （2）已知S10=110，S20=420，求Sn．
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18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（1）求b； （2）求sin2C．
．
19．某地计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m2，墙面的高度为3m，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元．设房屋正面地面长方形的边长为xm，房屋背面和地面的费用不计．
（1）用含x的表达式表示出房屋的总造价z；
（2）怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？ 20．锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求角A；
（2）若a2=（b﹣c）2+6，求△ABC的面积．
21．B．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2c﹣a）cosB=b（cosA﹣2cosC）． （1）求的值； （2）若
，求△ABC的面积．
．
22．说明：请从A，B两小题中任选一题作答． A．已知数列{an}的前n项和为Sn，且（1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足
23．B．已知数列{an}满足a1=5，且（1）求数列{an}的通项公式； （2）令
，记Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|，求Tn．
，求数列{bn}的前n项和Tn．
．
．
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2016-2017学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an﹣1，则a2=（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】8H：数列递推式．
【分析】利用an+1=2an﹣1，得到a2=2a1﹣1，由此能示出结果． 【解答】解：∵数列{an}中，a1=1，an+1=2an﹣1， a2=2a1﹣1=2×1﹣1=1． 故选：A．
2．在△ABC中，若a=1，A=60°，B=45°，则b=（ ） A． B．
C．
D．
【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】由正弦定理得b=
，由此能求出结果．
【解答】解：∵在△ABC中，a=1，A=60°，B=45°， ∴由正弦定理得：∴b=故选：D．
3．不等式（2x+1）（x﹣1）≤0的解集为（ ） A．
D．
B．
， =
．
=
C．
【考点】74：一元二次不等式的解法．
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【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，写出该不等式的解集． 【解答】解：不等式（2x+1）（x﹣1）≤0对应方程的两个实数根为﹣和1， 且﹣＜1，
所以该不等式的解集为[﹣，﹣1]． 故选：A．
4．由a1=1，d=2确定的等差数列{an}中，当an=59时，序号n=（ ） A．29 B．30 C．31 D．32 【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列前n项和公式求出an=2n﹣1，由此根据当an=59时，序号n的值．
【解答】解：由a1=1，d=2确定的等差数列{an}中， an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，
∴当an=59时，2n﹣1=59，解得n=30． 故选：B．
5．已知m＞0，n＞0，且mn=2，则2m+n的最小值为（ ） A．4
B．5
C．
D．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】根据题意，由mn=2可得n=，分析可得2m+n=2m+=2（m+），由基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若mn=2，则n=， 则2m+n=2m+=2（m+）≥2（2当且仅当m=1时等号成立； 故选：A．
6．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（ ）
第5页（共17页）
）=4，
A． B． C．1 D．
【考点】%H：三角形的面积公式． 【分析】利用三角形面积公式S△ABC=【解答】解：S△ABC=故选B．
7．已知{an}是等比数列，那么下列结论错误的是（ ） A．B．C．D．
【考点】8G：等比数列的性质．
【分析】由题意利用等比数列的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：已知{an}是等比数列，∴根据等比数列的性质可得，
=a1•a9，
=an﹣k•an+k （k∈N*，n＞k＞0），
=a3•a7，
即可得出．
=
．
=
故A、B、D都正确； 当n=1时，an﹣1=a0，故选：C．
8．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（ ） A．一解
B．两解
C．一解或两解 D．无解
=an﹣1•an+1 无意义，故C错误，
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解． 【解答】解：由正弦定理得：
=，
第6页（共17页）
即sinB=则B=arcsin
=，
，
或π﹣arcsin
即此三角形解的情况是两解． 故选B
9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，若3S1，2S2，S3成等差数列，则an=（ ）
A．2n﹣1 B．1或3n﹣1C．3n D．3n﹣1 【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列前n项和公式及等差数列性质列出方程，求出公比，由此能求出an的值．
【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，3S1，2S2，S3成等差数列，
∴2（2S2）=3S1+S3， ∴4（1+q）=3×1+1+q+q2， 解得q=3，或q=0（舍）， ∴
．
故选：D．
10．如果a＜b＜0，c＞d＞0，那么一定有（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】R3：不等式的基本性质．
【分析】根据题意，由a＜b＜0，结合不等式的性质分析可得﹣＞﹣＞0，又由c＞d＞0，可得﹣＞﹣，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若a＜b＜0，则有﹣a＞﹣b＞0，则﹣＞﹣＞0， 又由c＞d＞0， 则有﹣＞﹣，
第7页（共17页）
即＜， 故选：D．
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则△ABC为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】设AB的中点为D，由余弦定理、向量知识推导出a=b，CD=AD=BD，由此能求出△ABC为等腰直角三角形． 【解答】解：设AB的中点为D，
∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，
∴，
整理，得a=b，CD=AD=BD， ∴△ABC为等腰直角三角形． 故选：B．
12．已知数列{an}的通项公式为
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，则数列{an}的前n项
和Sn=（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】8E：数列的求和． 【分析】化an=lg思想，即可得到所求和． 【解答】解：an=lg
=lg
+lg•
， +…+lg
]
+lg
=lg，由对数的运算性质，以及相互抵消的
则数列{an}的前n项和Sn=lg=lg[=lg
•． •
…
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．8与﹣7的等差中项为 ．
【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】a与b的中差中项为：
．
=．
【解答】解：8与﹣7的等差中项为：故答案为：．
14．在△ABC中，若a=4，b=5，c=6，则cosA= 【考点】HR：余弦定理．
【分析】根据余弦定理直接计算即可． 【解答】解：△ABC中，a=4，b=5，c=6， 由余弦定理得， cosA=
=
=．
第9页（共17页）
．
故答案为：．
15．如图，从一气球上测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为60°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC=
m．
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】计算AB，根据等腰三角形性质得出BC． 【解答】解：由题意可知AB=∴∠ACB=30°， ∴BC=AB=故答案为：
．
=，∠ABC=120°，∠BAC=30°，
16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集为 （﹣5，0）∪（5，+∞） ． 【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，解不等式即可． 【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0， ∵当x＞0时，f（x）=x2﹣4x， ∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=x2+4x， ∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（﹣x）=x2+4x=﹣f（x）， 则f（x）=﹣x2﹣4x，x＜0，
第10页（共17页）
当x＞0时，不等式f（x）＞x等价为x2﹣4x＞x即x2﹣5x＞0， 得x＞5或x＜0，此时x＞5，
当x＜0时，不等式f（x）＞x等价为﹣x2﹣4x＞x即x2+5x＜0， 得﹣5＜x＜0，
当x=0时，不等式f（x）＞x等价为0＞0不成立， 综上，不等式的解为x＞5或﹣5＜x＜0， 故不等式的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）， 故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）
三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．在等差数列{an}中，公差为d，前n项和为Sn． （1）已知a1=2，d=3，求a10； （2）已知S10=110，S20=420，求Sn．
【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式． 【分析】（1）由等差数列的通项公式结合已知条件计算可得答案；
（2）由等差数列的前n项公式结合已知条件列出方程组，求解可得a1，d的值，代入等差数列的前n项公式求出Sn． 【解答】解：（1）a10=a1+9d=2+3×9=29； （2）由题意可知
，
解方程组得∴
．
．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（1）求b； （2）求sin2C．
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．
【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（1）由余弦定理能求出b． （2）由正弦定理得sinC=
=
，由c＜b，得cosC=
，由此能求出sin2C．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，
∴由余弦定理得： b2=a2+c2﹣2accosB， =（∴b=
）2+32﹣2×．
，
×
=5，
（2）由正弦定理得：∴sinC=
=
， ，
∵c＜b，∴cosC=
∴sin2C=2sinCcosC=2×
=．
19．某地计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m2，墙面的高度为3m，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元．设房屋正面地面长方形的边长为xm，房屋背面和地面的费用不计．
（1）用含x的表达式表示出房屋的总造价z；
（2）怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？ 【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）由已知中地面面积为12m2，我们可得xy=12，可得y=
，根据房
屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价共5200元．根据墙高为3m，我们可以构造房屋总造价的函数解析式； （2）利用基本不等式即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件，进而得到答案．
【解答】解：（1）设总造价为z元，
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则由xy=12，可得y=，
∴z=3y×1200+6x×800+5800 =（2）z≥2当
+4800x+5800，（x＞0）；
+5800=34600，
=4800x时，即x=3时，z有最小值34600，此时y=4．
答：长4m，宽3m．最低总造价为34600元．
20．锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求角A；
（2）若a2=（b﹣c）2+6，求△ABC的面积．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算． 【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理转化求解即可． （2）化简表达式，通过余弦定理求解即可． 【解答】解：（1）由正弦定理可知：∵sinB≠0，∴sinA=
，
．
，可得2sinAsinB=
，
．
因为三角形是锐角三角形，可得A=（2）a2=（b﹣c）2+6， 可得a2=b2+c2+6﹣2bc， 又A=
，余弦定理可得：a2=b2+c2﹣bc，
=
．
解得bc=6，∴S=bcsinA=
21．B．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2c﹣a）cosB=b
第13页（共17页）
（cosA﹣2cosC）． （1）求的值； （2）若
，求△ABC的面积．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）由正弦定理得：（2sinC﹣sinA）cosB=sinB（cosA﹣2cosC），从而2sinA=sinC，由此能求出的值． （2）由cosB=，得sinB=
，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，从而求出a=1，
c=2，由此能求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， （2c﹣a）cosB=b（cosA﹣2cosC），
∴由正弦定理得：（2sinC﹣sinA）cosB=sinB（cosA﹣2cosC）， 化简，得2sin（C+B）=sin（A+B）， ∵A+B+C=π，∴2sinA=sinC， ∴2a=c，∴
．
，
（2）∵cosB=，∴sinB=
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB， 又b=2，∴解得a=1，c=2， ∴
22．说明：请从A，B两小题中任选一题作答． A．已知数列{an}的前n项和为Sn，且（1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足
，求数列{bn}的前n项和Tn．
．
．
，
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）由数列的递推式：a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，计算即可得到
第14页（共17页）
所求通项公式； （2）求得
=
•log33n=n•（）n，运用数列的求和方法：错位相
减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和． 【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，且可得a1=S1=×（9﹣3）=3，
当n≥2时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n+1﹣3﹣3n+3=2×3n， 即有an=3n，对n=1也成立， 故an=3n，n∈N*； （2）
=
•log33n=n•（）n，
．
前n项和Tn=1•（）+2•（）2+3•（）3+…+（n﹣1）•（）n﹣1+n•（）n， Tn=1•（）2+2•（）3+3•（）4+…+（n﹣1）•（）n+n•（）n+1， 相减可得， Tn=（）+（）2+（）3+…+（）n﹣1+（）n﹣n•（）n+1
=
﹣n•（）n+1，
化简可得Tn=﹣
•（）n．
23．B．已知数列{an}满足a1=5，且（1）求数列{an}的通项公式； （2）令
．
，记Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|，求Tn．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）由题意可得an+1﹣3n+1=﹣2（an﹣3n），则数列{an﹣3n}是以a1﹣3=2为首项，﹣2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式，即可得到所求通项； （2）求出
=n•（﹣）n，|bn|=n•（）n，由数列的求和方法：错
位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．
第15页（共17页）
【解答】解：（1）数列{an}满足a1=5，且可得an+1﹣3n+1=﹣2（an﹣3n），
．
则数列{an﹣3n}是以a1﹣3=2为首项，﹣2为公比的等比数列， 则an﹣3n=2×（﹣2）n﹣1， 即an=3n+2×（﹣2）n﹣1，n∈N*； （2）由（1）可得
=n•（﹣）n，
则Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|=1•+2•（）2+…+（n﹣1）•（）n﹣1+n•（）n， 即有Tn=1•（）2+2•（）3+…+（n﹣1）•（）n+n•（）n+1， 两式相减可得， Tn=+（）2+…+（）n﹣1+（）n﹣n•（）n+1
=
﹣n•（）n+1，
化简可得Tn=6﹣2（n+3）•（）n．
第16页（共17页）
2017年8月10日
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