2022-2023学年山西省太原市高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

一、单选题1．已知集合

A1,0,1,2,Bx1x2，则AB（ ）

A．{1,0,1,2}D

B．{1,0,1}C．{0,1,2}D．{0,1}【分析】根据交集的含义即可得到答案.

∣1x2}，根据交集的含义则AB0,1.【详解】A{1,0,1,2},B{x故选：D.2．已知集合

Mxx3,Nxx2，则M与N的关系可用Venn图表示为（ ）

A．B．C．

D．

D

【分析】由集合关系与Venn图的关系判断．【详解】由已知MN，选项D符合．故选：D．

23．命题“xR,x11”的否定为（ ）

2A．xR,x112B．xR,x112C．xR,x112D．xR,x11C

【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题即可求解.【详解】由于全称命题的否定是存在量词命题，

22所以命题“xR,x11”的否定为“xR,x11”.

故选：C.

24．“x4”是“x2”的（ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

B

2【分析】直接解出不等式x4，根据两不等式所表示的集合间的关系即可得到答案.

2【详解】x4解得x2或x2，故“x2”能推出“x2或x2”，但“x2或x2”无法推

出x2，

2故“x4”是“x2”的必要不充分条件，

故选：B.

5．下列函数中，与yx的奇偶性和单调性都相同的是（ ）A．yx1D

【分析】首先易得yx为奇函数，且单调递增，根据常见的一次函数，指数函数，幂函数的图像及其性质一一判断即可.【详解】首先yx，函数，

f010对于A，其定义域为R，但，故它不是奇函数，故A错误，

B．yexC．

y1xD．yx3fxxfx，且定义域关于原点对称，故其为奇函数，易知其为增

对于B，根据指数函数图像易得此函数不关于原点对称，故其不是奇函数，故B错误，对于C，其定义域为

,00,，其在各自区间内单调递减，故C错误，

fxxx3fx3对于D，其定义域为R，关于原点对称，且

，故其为奇函数，根据常

3yx见幂函数图像知为单调增函数，故D正确，

故选：D.

196．已知0a2，则a2a的最小值是（ ）

A．4C

B．6C．8D．16

【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

19000a2a2a【详解】解：因为，所以，，

19191a(2a)a2a2a2a所以

12a9a12a9a12a9a102108a2a2aa2a22时等号成立.2a，即，当且仅当a故选：C7．已知（ ）

A．(3,0)(0,3)C．(3,0)(3,)B

【分析】先求得x0时，

B．(,3)(0,3)D．(3,1)(1,3)fxfx0fxx22x3x0是定义域为R的奇函数，当时，，则不等式的解集为

fx0的解集，再利用函数的奇偶性求得当x0时

fx的解析式，进

而求得其解集，最后检验一下x0即可.fxx22x3x0【详解】因为当时，，

所以由

fx02x3x10，解得1x3，故0x3；

得x2x30，即

fxx2x3x22x3x0x0当时，，所以，

2因为故由

fx是定义域为R的奇函数，所以

fxfxx22x3，

fx02x3x10，解得x3或x1，故x3；

得x2x30，即

当x0时，易得

fx0，显然不满足

fx0；

综上：x3或0x3，故x(,3)(0,3).故选：B.

1x,x,2122f(x)2x4x1,g(x)2xa2，使得fx1gx2，则实数8．已知函数，若存在a的取值范围是（ ）A．[5,0]A

【分析】先求出两个函数的值域，再根据两个函数的值域不能是空集解不等式得解.

B．[0,5]C．(5,0)D．(,5)(0,)1x1,x2,22时，【详解】当

f(x)2x4x1的图象的对称轴为

2x4122，

所以

f(x)minf(1)2411,f(x)maxf(2)8811.

所以f(x)[1,1].

g(x)2xa[1a,4a].

1x1,x2,22，使得fx1gx2，因为存在

所以两个函数的值域的交集不能是空集.

假设两个函数的值域的交集是空集，则a11或a41，即a5或a0，

所以两个函数的值域的交集不能是空集时5a0.故选：A

二、多选题

9．若 ab0 则（ ）A．acbcBCD

【分析】利用特殊值法可以排除A，利用不等式的基本性质可判断B正确，再利用函数的单调性可判断CD正确.

22【详解】对于A，当c=0时，acbc，故A错误；

22B．acbcC．22ab11D．ab对于B，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故B正确；

xaby2对于C，因为在R上单调递增，又ab0，故22，故C正确；

对于D，因为故选：BCD

y1110,+x在上单调递减，又ab0，故ab，故D正确.

210．已知抛物线C:yaxbxc上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：

xy

……

100

1

1……

3

2x0,x22则下列结论正确的是（ ）A．该抛物线开口向下B．方程axbxc0的根为1C．该抛物线的对称轴为直线x1D．当y0时，x的取值范围是0x2BCD

3a12bca10cb21abcc0【分析】根据图表得到方程组，解得，一一对照选项即可.3a12bca10cb21abcc02yx2x，【详解】根据图表得到方程组解得，所以

2x0,x22，故B正确，

所以其开口向上，故A错误，令y0得x2x0，则1对称轴为

xb212a21，当y0，则x22x0，解得0x2，故D正确，

故选：BCD.11．已知幂函数幂函数

fxxb的图象经过函数

gxax212（a0且a1）的图象所过的定点，则

fx具有的特性是（ ）

B．图象过点

A．在定义域内单调递减C．是奇函数BC

【分析】求出函数

1,1D．定义域是R

gx的图象所过定点的坐标，代入函数

fx的解析式，求出b的值，再利用幂

函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】由x20，即x2，可得

gxax2g211122，

故函数

112,

a0a12（且）的图象过定点2，

则

f22bfx在

11fxxx02，解得b=-1，则x，定义域为，且为奇函数，

函数因为

,0上单调递减，在0,上单调递减，但在定义域内不单调递减.

，所以函数

f11fx的图象经过点

1,1，所以选项B、C正确.

故选：BC.

xyxy12．若3344，则下列结论正确的是（ ）

A．xyAD

33B．yxC．xyD．2y2x【分析】构造函数

fx3x4x，根据其单调性判断x,y的大小关系，再结合指数函数单调性以及

根式有意义的范围，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.【详解】对A：令

fx3x4x，因为y3，y4都是R上的单调增函数，故

xxfx也是

R上的单调增函数，

xyxyxxyyfxfy又3344，即3434，，故xy，故A正确；3

yx0,y0xy对B：当时，满足 ，但没有意义，故B错误；

x,y对C：当xy0时，没有意义，故错误；xxy对D：由xy可得xy，又y2是R上的单调增函数，故22，D正确.

故意选：AD.

三、填空题

2x,x0f(x)12x,x0，则f(f(4))___________．13．已知

14##0.25

【分析】根据复合函数先内后外的运算法则计算求解即可．【详解】解：

f44212，

ff4f22214．

1故4．

14．函数

f(x)x22x1x的定义域为___________.

0,2【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可.【详解】因为

f(x)x22x1x，

x22x00x2x0所以，解得x0，故0x2，所以

fx的定义域为

0,2.

故答案为.

0,215．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元. 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则最小值是____________ 万元.240

【分析】列出总运费与总存储费用之和的表达式，结合均值不等式求最小值即可.

6003600360064x24x2404xxxx【详解】总运费与总存储费用之和为，当且仅当，即

x30时取等号，故最小值为240万元.

故240

x3,x0f(x)x3,x0，若f(a1)f(a)，则实数a的取值范围是___________.16．已知函数1,2【分析】根据函数图像或分段讨论易得f(x)为R上的增函数,则a1a，解出即可.

x3,x0f(x)x3,x0,当x0时，易知此时fx为增函数，且在分界点处【详解】根据题意,函数f00增函数,

a11,;2,即实数a的取值范围是2，当x0时，此时

fx为增函数，且

fxf01，又因为10，所以f(x)为R上的

若f(a1)f(a),则有a1a,解可得1,2故答案为.

四、解答题17．

21293332；(1)求值：

1301323(2)若xx(1)3(2)512125，求xx1的值.

【分析】（1）根据指数幂运算规则计算即可；

（2）运用完全平方公式计算即可.

21129332133322【详解】（1）

212121301323132313213223213133 ；

（2）由xxxx2211111222xxxx25,xx3,xxx2x2295 ，得 ，

7 ，xxx122x22725,xx15 ；

综上，（1）原式=3，（2）原式5 .

11,x2f(x)a18．已知函数的图象经过点2，其中a0,a1.(1)若

f(t2)18，求实数t的值；

x1,x0,g(x)xa1,x0,请你在平面直角坐标系中作出函数g(x)的简图，并根据图象写出该函(2)设函数

数的单调递增区间.

(1)t3(2)作图见解析，单调递增区间为[1,0],(0,).

【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式求得a值，再由

f(t2)18求解t；

（2）直接由函数解析式作出简图，再由图象可得函数的增区间.

11121,ax2x22,即a2,则f(x)2，【详解】（1）函数f(x)a的图象经过点2,又

f(t2)112t228，8，即2t23，得t3；

x1,x0x1,x0g(x)xxa1,x021,x0（2）函数

在平面直角坐标系中作出g(x)的简图如下:

根据图象可得该函数的单调递增区间为[1,0],(0,)Ax∣∣3x3,Bxx23x019．已知集合.(1)求

BRA；

∣a1x2a}，且BCC，求实数a的取值范围.(2)若C{x(1)

,3,11,32(2)

【分析】（1）把集合A求出，再利用集合的并和补运算，求出答案即可；（2）先将BCC转化为CB，再分类讨论，从而求出a的范围.

xA,1【详解】（1）由33可得：x1，故A(1,)，则R，

故

BRA,3.

（2）由BCC，得CB，

①当a12a，即a1时，C，满足题意；

a10,31a2.②当a12a，即a1时，C，因为CB，所以2a3,解得

综上，实数a的取值范围是

,11,32.

20．某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式

60,0x30,vk80,30x120,150x（k单位：辆/小时）.研究发现：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时.(1)若车流密度为50辆/千米.求此时的车流速度；

(2)若车流速度v不小于40千米/小时.求车流密度x的取值范围.(1)56千米/小时(2)(0,90]【分析】（1）将x120，v0代入函数第二段，得到得到v值；

080k150120，解出k值，再代入x50，

（2）根据（1）中得到的分段函数解析式，在各自范围内解不等式即可，最后取并集.【详解】（1）由题意知当x120(辆/千米)时,v0(千米小时),

60,0x30v2400kk80,30x120v80080150x150x,得150120，解得k2400,所以代入,当x50时，

v8024005615050故当车流密度为50辆/千米时，此时车流速度为56千米/小时.

60,0x30v240080,30x120150x（2）,

当0x30时,v6040,符合题意;当30x120时,令

80240040150x,解得x90,所以

30x90.

所以,若车流速度v不小于40千米/小时,则车流密度x的取值范围是(0,90].

21．某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式

60,0x30,vk80,30x120,150x（k单位：辆/小时）.研究发现：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时.(1)若车流密度为50辆/千米，求此时的车流速度；

(2)若隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足yxv，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：52.236）(1)56千米/小时

(2) 隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时, 此时车流密度约为83 辆/千米.

【分析】（1）将x120，v0代入函数第二段，得到得到v值；

080k150120，解出k值，再代入x50，

60x,0x30y2400x80x,30x120150x（2）由题意写出，分范围讨论最值比较大小即可.【详解】（1）由题意知当x120(辆/千米)时,v0(千米/小时),

60,0x30v2400kk80,30x120v80080150x150x,得150120，解得k2400,所以代入,当x50时，

v8024005615050故当车流密度为50辆/千米时，此时车流速度为56千米/小时.

60x,0x30y2400x80x,30x120150x（2）由题意得，当0x30时,y60x为增函数,所以y1800,当x30时等号成立;当30x120时，150x0，

2400x(150x)2180(150x)4500y80x80150x150x4500450080180150x801802150x4800353667150x150x当且仅当

150x4500150x,即x30(55)83时等号成立.

所以,隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时,此时车流密度约为83辆/千米.

9x1f(x)mx322．已知函数为偶函数.

(1)求实数m的值；

y(2)若xR,222y2f(x)1成立，求y的取值范围.

(1)m1；(2)

3,1.

2mxx【分析】（1）根据函数为偶函数，则f(x)f(x)，化简得39，即2m2，则m1；

（2）原题意转化为对任意的xR,

1等式求出其最大值为22y22y21y22y212xxxx33max，利用基本不33成立, 即

，得到

2y22y2122，则y2y21，解出y范围即可.

9x1f(x)mx3【详解】（1）函数为偶函数,

函数定义域为R,且f(x)f(x),

9x19x1mxmx33,即32mx9x,

2m2,解得m1；

xxf(x)33,f(x)0,（2）由（1）知

2yxR对任意的,

22y2fx12成立,

转化为对任意的xR,

2y2y213x3x成立,

2y即

22y21xx33max,

3x0,3x0，f(x)3x3x23x3x2,

xx当且仅当33,即x0时,等号成立,

11xx33max2212y2y22y22y21y2y21，222所以，即，根据指数函数单调性知

3,1.解得3y1，则y的取值范围为

9x1f(x)mx323．已知函数为偶函数.

(1)求实数m的值；

(2)若对任意的xR，总存在yR，使得2y22ynf(x)1成立，求n的取值范围.

(1)m1(2)

2,【分析】（1）根据函数奇偶性即可求得m值；

2（2）先由基本不等式求得f(x)的最小值，再通过变形得到ny2y1成立，即

n(y22y1)min即可.

9x1f(x)mx3【详解】（1）因为（xR）为偶函数，

所以有f(x)f(x)，取x1，即f(1)f(1)，

91191mm33，解得.m1经检验成立所以有

9x1xf(x)x33x3（2）由（1）知，，

y2将

22ynf(x)1变形为3x3x2y22yn，

xxxxxx332332，3030因为，，所以xxxx当且仅当33，即x0时，33有最小值2.

所以存在yR，使得22y22yn成立，

2即存在yR，使得y2yn1成立，2亦即存在yR，使得ny2y1成立，

22y2y1(y1)22，当且仅当y1时取等号，因为

所以有n2，所以n的取值范围是

2,.