立体几何题型总结

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。 1、公理的理解与应用

例1 已知,为不同的平面，A、B、M、N为不同的点，a为直线，下列推理错误的

是 （ ）

A. B. C. D.

Aa,A,Ba,B,a

M,M,N,N,IMN A,A,IA

A、B、M,A、B、M,且A、B、M不共线、重合

例2 下列条件中，能得到平面∥平面的是（ ）

A. 存在一条直线，a∥，a∥ B. 存在一条直线a，a，a∥

C. 存在两条平行直线a，b，a，b，a∥，b∥ D. 存在两条异面直线a，b，a，a∥，b∥

例3 对于直线m,n和平面，下列命题中的真命题是（） A. 如果m,n,m,n是异面直线，那么n// B. 如果m,n,m,n是异面直线，那么n和相交 C. 如果m,n//,m,n共面，那么m//n D. 如果m//,n//,m,n共面，那么m//n

例4 已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则

AE，SD所成的角的余弦值为（ ） A．1

B．

3

2 3C．

3 3D．2

32、 共线、共面、共点问题

例5 如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平

面交于E、F、G、H必在同一直线上。

ABCGDFH

3、 直线与直线之间的关系

例6 给出下列四个命题：

① 垂直于同一直线的两条直线互相平行； ② 平行于同一直线的两条直线平行； ③ 若直线a,b,c满足a∥b,bc,则ac；

④ 若直线l1,l2是异面直线，则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线。 其中假命题的个（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

数

是

E立体几何--空间中的平行问题

公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行

定理：空间中如果两个角的两边分别对于平行，那么这两个角相等或互补。 定理：平面外一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行 定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

定理：一个平面与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。 证明平行的方法：

线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）

线面平行：依定义采用反证法；根据定理证明（线//线线//面）；面面平行的性质定理（面//面线//面）

面面平行的：依定义采用反证法；用判断定理或推论；用“垂直与同一条直线的两个平面平行”这一性质证明。 1、平行关系的概念

例1 若a、b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 A．相交 B．异面 C．平行 D． 异面或相交

例2 垂直于同一平面的两条直线一定

A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能

2、 线面平行

例3 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE：EB=CF：FB =1：3,则对角线AC和平面DEF的位置关系是 （ ） A、平行 B、相交 C、在内 D、不能确定

例4 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点。 求证：EF∥平面BDD1B1.

D1FC1B1A1DEABC 例5 如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE：

EA=BF：FD. 求证：EF∥平面PBC

PEDA例6 有下列几个命题

① 平面内有无数个点到平面的距离相等，且∥；

② Ia,Ib，且a∥b（,,为平面；a,b为直线），则∥； ③ 平面内一个三角形三边分别平行于平面内的一个三角形的三边，则∥； ④ 平面内一个平行四边形的两边分别与平面内的一个平行四边形的两边对应平行，则

CFB

∥。其中正确的有

例7 如图所示，B为ACD所在平面外一点，M,N,G分别为ABC，ABD，BCD的重心。

（1） 求证平面MNG∥平面ACD； （2） 求SMNG:SADC.

BNAMGDC

例8 ABCD是平行四边形，点P事平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点

G，过G做AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH

PGDHA

MCB

立体几何第四讲--空间中的垂直问题

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条直线垂直。

三垂线逆定理：如果：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面内的射影垂直。

最小角定理：斜线和它在平面的射影所成角（即线面角），是斜线和这个平面的最小角，并满足

设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：

cosOACcosBACcosOAB(cosBAC和cosOAB只能是

锐角，通俗点说就是，cos平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos斜线射影与平面直线夹角(BAC)xcos平面斜线与斜线射影夹角(OAB)．又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角． 证明垂直的方法：

线线垂直：三垂线定理；线面垂直判断定理；勾股定理等 线面垂直：判断定理；面面垂直的性质 面面垂直：判断定理

题型一：对空间中垂直的概念的理解

例1：对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m和l（ ） A 平行 B 相交 C垂直 D互为异面直线 例2、用a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥，b∥，则a∥b；④若a⊥，b⊥，则a∥b. A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④

题型二：线线垂直

例3：如图，四面体ABCD中，ABCD,ACBD，求证：ADBC（三垂线逆定理）

ABCD

题型三：线面垂直

例4：如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是

CB、CD、CC1 的中点。

（1）求证：平面AB1D1//平面EFG； （2）求证：EF平面AA1C。

A1 D1 B1 C1

· F D A B G

· E C

例5：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1，

ACC1A1均为正方形，∠BAC=90,点D是棱B1C1的

中点.

（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C； （Ⅱ）求证：AB1//平面A1DC；

题型四：面面垂直

C1

oB1

D A1

B

C A

例6：如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。

（1）求证：BC1AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图(2)所示．

(1)求证：AP⊥EF；

(2)求证：平面APE⊥平面APF.

知识梳理

空间平面与平面的位置关系

1、空间两平面的位置关系：平行、相交

位置关系 斜交 定义 有一条公共直线(不垂直) 图示 符号语言 交点个数 无数个 a a 两个平如果两个相交平面所成面相交 垂直二面角为直二面角，那相交 么两个平面互相垂直 两个平面平行 如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行 无数个 // 没有

2、空间两平面平行

名称 面面平行的定义 文字语言 没有公共点 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 垂直于同一直线的两平面平行 平行于同一平面的两平面平行 符号语言 图形 // a,babO// a//,b//面面平行的判定定理 l,l// 补充 //,////

两个平面平行的性质定理：

（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线直线都平行于另一个平面； （2）如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行。

3、空间两平面垂直

名称 面面垂直的定义 面面垂直的判定 定理 文字语言 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 符号语言 图形 a,a

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直。

4、空间角的概念

二面角作法图形示例及步骤：

方法 定义法 垂面法 找一个垂直于二面角的棱的垂面，那么它于二面角的面的交线所成的角是二面角的平面角 三垂线定理及逆定理 1、从二面角的一个面内的一点作另一个面的垂线PF， 2、从垂足作棱的垂线FE， 3、连接PE，由三垂线定理得PEF是二面角的平面角 在棱上取一特殊点，分别两个面内找棱的垂线。（通步骤 常两面是等腰三角行，或对称的全等三角形） 图形

综合练习

1、过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD，若PA = AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是 （ ）

（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°

BD2、四面体A—BCD中，

C

2，其余棱长均为1，则二面角A—BC—D的大小是___________

A1

D1

B1 C1

D

B

C

A

D

B C

3、正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角C1BDA的大小是______________

4、Rt△ABC的斜边在平面α内，直角顶点C是α外一点，AC、BC与α所成角分别为30°和45°，则

平面ABC与α所成角为

5、 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形．已知

AB3,AD2,PA2,PD22,PAB60．

（1）证明AD平面PAB；

（1）求异面直线PC与AD所成的角的大小； （3）求二面角PBDA的大小．

6、 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，

SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是线段SD上任意一点。 （1）求证：AC⊥BE；

（2）若二面角C-AE-D的大小为，求线段的长。

7、已知S是正方形ABCD所在平面外一点，SA平面ABCD，AB3，

SC5.

（1）求二面角BSCD的大小； （2）求SA与平面SBD所成的角。

S

D A

B

C

8、四面体ABCD中，AB＝3，AC＝AD＝2，且BACCADDAB60。 （1）求二面角A-CD-B的大小；

A（2）求异面直线AC与BD所成角的大小。

BD

C9、在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2,BCBB11,B1C与BC1交于O点. （1）求证：B1O平面ABC1D1

（2）求二面角B1AD1O的大小(结果用反三角函数值表示) ；

A A1

D1 B1 O

C1

D B

C

10 、如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA１＝1，AB＝2，点E是AB上的动点。

（1）若直线D１E与EC垂直，试确定点E的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下求出异面直线AD１与EC所成的角； （3）在（1）的条件下求二面角D１－EC－D的大小。

立体几何--距离问题

空间中的距离：点线距离（定义法、等体积法、向量法、空间坐标法）；线面距离；面面距离；异面直线的距离（公垂线）。 题型一：点面距离

例1：已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的地面边长为1，则棱场为2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离。

D1C1B1A1EDCAB

例2：在ABC中,AB=15，BCA120，若ABC所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是 （ ） A、13 B、11 C、9 D、7

PCB

练习：1、在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(0≤≤1)．则点G到平面D1EF的距离为（ ）

Ａ．3

Ｂ．2 2HAD1

C1

A1

G

B1

Ｃ．2 3 Ｄ．5 5E

F C

D

2、如图，和为平面，l,A,B,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角l的大小为

A

B

2，求，点B到平面3的距离为______________;

题型二：线面距离：

例3： 在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2，ADAA1=1,E、F分别为AB、CD的中点，求直线AF到平面CD1E的距离。

D1C1B1A1DAEFBC

题型三：面面距离：

例4： 在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F分别是A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点，求平面AMN与平面BDEF间的距离。

D1MNA1EB1FC1DA

题型三：综合类型：

例5：(2010北京)如图，正方体ABCD-

CB

A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q

分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积 ( )

A. 与ｘ，ｙ，ｚ都有关 B. 与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 C. 与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 D. 与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关

例6：（2008 安徽理 18 本小题满分12分）

如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC4,

OA底面ABCD, OA2,M为OA的中点，N为BC的中点 （Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；

O（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

MABNCD例7：在四面体ABCD 中，面和面BCD都是边长为2a的等边三角形，且AD=22a。设M、N 分别是棱AB、CD的中点。

求：M、N在四面体表面上的最短距离。

立体几何-夹角角问题

知识点：

夹角的分类：线线夹角 线面夹角 面面夹角

三者在计算或证明时的转换关系： 面面

线面

线线

计算三种夹角的方法：勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤，①找角，②证明所找的角，③计算所找角的大小（切记不可找出来之后不证明就开始计算）

题型一：异面直线的夹角问题

例1、在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90,AD//BC,ABBCa，

AD2a,PA底面ABCD,PD与底面成30°角.

（1）若AEPD,E为垂足，求证：BEPD；

（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的正切值；

例2、如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，

NB平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点

求异面直线NE与AM所成角的余弦值

MN

DEABC例3、已知正四面体ABCD中，各边长均为a，如图所示，E,F分别为AD,BC的中点，连接AF,CE，求异面直线AF,CE所成角的余弦值。

练习：

A

E

B F D

1、已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ） C

（A）3357 （B） （C） (D)

44442、（12分）如图,在正方体ABCDA'B'C'D'中，

E,F分别是AB',BC'的中点。

（1）若M为BB'的中点，证明：平面EMF∥平面ABCD （2）求异面直线EF与AD'所成的角

EFA'D'C'B'M

D C

BA

题型二：线面夹角

例4、设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E（如图）。现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的两线与平面BCDE所成角的大小等于

DMAECNDAMCEBN

B

例5、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=AD=2，E是PC上的一点， 设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。

例6、已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为

△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）

A．

例7、如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC,D、E分别是AA1，B1C的中点，

1 3 B．2 3 C．3 3D．

2 3DE平面BCC1.

（1）证明：AB=AC

（2）设二面角A-BD-C为60，求B1C与平面BCD所成的角的大小

0A1B1DAEC1A1B1C1CB

练习：

ABC

1．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为

△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）

A．

1 3 B．

2 3 C．

3 3D．

2 3

题型三：面面夹角：

例8、如图，在VABC中，B=90,AC=

o15,D、E两点分别在AB、AC上.使 2ADAE2,DE=3.现将VABC沿DE折成直二角角，求：二面角A-EC-B的大小的余DBEC弦值。

例9：四边形ABCD为等腰梯形,AB// CD,DAB60,FC面ABCD,AEBD,CBCDCF.

(1) 求证: BD面AED;

(2) 求二面角FBDC的余弦值.

例10、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD

0AB=3,AD=2,PD=22,PAB=60

o是矩形，已知

(1) 证明：AD平面PAB

(2) 求异面直线PC与AD所成的角的大小 (3) 求二面角P-BD-A的大小

PADB

C

练习：

1、如图，二面角l的大小是60°，线段AB.， 与l所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .

•B•AC D



2、如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个

动点E，F，且EF （A）ACBE （B）EF//平面ABCD

（C）三棱锥ABEF的体积为定值 （D）异面直线AE,BF所成的角为定值

2，则下列结论中错误的是 ( ) 2立体几何---空间向量及其运算

一、知识点精析

考点一、空间向量及其加法与数乘运算

1、定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模。空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的起点是A，

uuuruuur终点是B，则向量a也可记作AB，其模记为a或AB。

2、几个特殊向量

（1）零向量：规定长度为0的向量记作零向量，记作0.当有向线段的起点A与终点B重合

uuur时，AB=0.

（2）单位向量：模长为1的向量称为单位向量。

（3）相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为—a。 （4）相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量。在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，称为同一平面内的两个向量。

3、空间向量的基础运算

uuuruuuruuur（1）加法：OCOAOBa+b,

uuuruuuruuur（2）减法： BAOAOBa-b.如图所示。

rrrrrrrrrr（3）运算律：①加法交换律 abba;②加法结合(ab)ca(bc);③数

rrrr乘分配律 (ab)ab

考点二、共线向量与共面向量 1、共线向量

（1）定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，

rr则这些向量叫共线向量或平行向量，记作a//b

rrrrrr（2）表示： a//b⇔存在实数，使ab(b0;唯一)

r（3）推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，

uuuruuurrr点P在直线l上的充要条件是存在实数t,等式OPOAta①；其中a叫做直线l的方向向uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurOPOAtAB量，如图所示：由①⇒，OPOAtAB(1t)OAtOB②；在②中如

uuuruuuruuur令t1则OP1(OAOB)③是线段AB的中点公式．

222、共面向量

（1）定义：通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

rrrrur（2）表示：如图，如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件

urrr是存在实数对x、y，pxayb

（3）推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使 uuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuurMPxMAyMB或对空间一点O来说，有OPOMxMAyMB①．由⇒OP(1xy)OMxOAyOB②

uuuruuuuruuuruuurrrrur3、空间向量基本定理:如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个rurrrrrrr唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc．其中a,b,c叫做空间的—个基底．a，rrrrrrrrb，c都叫做基向量．对于基底a,b,c除了应知道a,b,c不共面外，还应明确：(1)空间任

rrr意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；(2)基底中的三个向量a,b,c都不是r0；(3)—个基底是由不共面的三个向量构成．一个基向量是指基底中的某一个向量．（推论：

设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z,使

uuuruuuruuuruuurOPxOAyOBzOC）

考点三、空间两个向量的数量积

rr1、空间向量夹角：空间两个向量的夹角:已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作uuuruuurrrrrOAa，OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b rrrrrrrr2、定义: ababcosa,b叫做向量a与b的数量积．

rrrrr2rr3、性质: ① abab0； ②aaa ③ab0ab

二、典例讲解

题型一 向量的基础运算

uuuuruuuruuuruuur例1、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CAa，CBb，CC1c， 则A1B （ ）

A． abc B．abc C． abc D． abc 练习、如图所示，已知空间四边形OABC，点M,N分别为OA,BC的中点，且

OAa,OBb,OCc，用a,b,c表示向量MN________________

题型二：共线与共面问题

例2、在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（ ）

A． 0 B．1 C． 2 D．3 练习

1、已知非零向量e1,e2不共线，如果ABe1e2,AC2e18e2,AD3e1-3e2,则下列正确的是（ ）

A． Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点共线，B. Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点共面 C. Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点不共线，D. Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点不共面

2、O、A、B、C为空间四个点，又OA、OB、OC为空间的一个基底，则（ ）

、A、B、C四点共线 、A、B、C四点共面 、A、B、C四点中任三点不共线 、A、B、C四点不共面

3、已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（ ） A．OMOAOBOC

B．OM2OAOBOC

C．OMOAOBOC

1213D．OMOAOBOC

1313134、已知m3a2b4c0,n(x1)a8b2yc，且a,b,c 不共面，若m//n，求x,y的值。

5、如图所示证明：空间四边形对边中点的连线和空间四边形对角线中点的连线交于一点且互相平分

DFAEB

6、已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，如图点E、F、G、H分别为△PAB、

△PBC、△PCD、△PDA的重心，求证：E、F、G、H四点共面.

P1CPGHDEAB

FC

题型三、空间向量证明位置关系 1、垂直

例3、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，G为CC1的中点，求证：

AO平面GBD. 1D1C1A1B1GDOA

2、平行

CB

例4、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MNP平面A1BD.

D1NA1B1C1MDCAB

3、异面直线的夹角

异面AB，CD的夹角（00<θ≤900 ）满足cos=|

|

例5、在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交

于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．若E是PB的中点，求异

P 面直线DE与PA所成角的大小的余弦值。

练习

如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a.则异面直线PB与AC所成角的正切值等于__________.

E A B O D

C