1.1空间几何体的结构 棱柱
定狡：有两个而互相平行，其余各而都是四边形，且每相邻两个四边 形的公 共边都互相平行，由这些而所围成的几何体。
分类：以底而多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、 五棱柱 等。
•空间几何体
卜
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如
五棱柱 ABCDE— A B C D E
几何特征：两底而是对应边平行的全等多边形：侧而、对角面都是平行四边形；侧棱平行 且相等； 平行于底而的截而是与底而全等的多边形。
梭锥
定爻：有一个而是多边形，其余各而都是有一个公共顶点的三角形, 由这些 而所囲成的几何体
分类：以底而多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥 等 表示：用各顶点字母，如五棱锥P-ABCDE
几何特征：侧而.对角而都是三角形；平行于底而的截而与底面相似，其相似比等于顶点 到截而距离 与高的比的平方。
棱台
定爻：用一个平行于棱锥底而的平而去截棱锥，截而和底而之间 的部分 分类：以底而多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、 五棱
台等 表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD—A'BCD' 几何特征：①上
圓柱 定狡：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的 曲而
所囲成的几何体
几何特征：①底而是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底而 圆的半 径垂直；④侧而展开图是一个矩形。
下就面
下底而是相似的平行多边形 ②侧而是梯形
③侧棱交于原棱锥的顶点
\\(y
（）
S1锥
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的 曲而所囲成的几何体
几何特征：①底而是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧而 展开图是一个扇形。
0
B
圆台
定义：用一个平行于圆锥底而的平而去截圆锥，截而和底而之 间的部分 几何特征：①上下底而是两个圆；②侧而母线交于原圆锥的顶点; ③侧而展开图是一个弓形。
球体
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆而旋转一周形成的 几何体 几何特征：①球的截而是圆；②球而上任意一点到球心的距离等 于半径。
1.2空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影
中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2 •三视图
正视图：从前往后 侧
视图：从左往右
画三视图的原则：长对齐.高对齐.宽相等 3•直观图：斜二測画法 斜二测画法的步骤：
(1) .平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
(2) .平行于y轴的线长度变半，平行于x, z轴的线长度不变: (3) ・画法要写好。
1.3空间几何体的表而积与体积
(1) 几何体的表而积为几何体各个而的而积的和。
(2) 特殊几何体表而积公式(c为底面周长，h为高，/为斜高，1为母线) *直梭柱侧面积=比S圆柱
侧=2初2 S疋棱惟側面积~ 2C，1 *圆锥侧面积=加
3正处榊枳= 2(c*+ ° S昭侧而积= (r + R);d
S閱柱表=2岔(厂+ /) S砒啟=刃(尸+/) S昭台茨=兀(尸+H + RI + R2) (3) 柱体、锥体、台体的体积公式
V||: = Sh %州=Sh = nv~h 岭i = )Sh %。性=-^)~h
匕=*(s + VTs + S)h
= g(S + A/F? + S)h = 17r(r~ + rR + R1 )h
球体的表面积和体积公式：V球=丁\" ； S球而=4賦
•空间点、直线、平面的位置关系
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
(即直线在平面内，或者平面经过直线)
应用：判断直线是否在平而内
用符号语言表示公理1： AeLBel,Aea,Bea=>/(za 公理2:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线夕'一点确定一平面；
两相交直线确定一平而； 两平行直线确定一平而。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据
符号：平而a和B相交，交线是a,记作a D 3 =ao 符号语言：PeAr\\B=>AC\\B = l.Pel 作用：
① 它是判定两个平而相交的方法。
② 它说明两个平而的交线与两个平而公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③ 它可以判斷点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行
②它是证明平面重合的依据
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
空间两条直线的位置关系 位置关系 共而直线 相交直线 平行直线 异面直线 公共点的个数 在同一个平面内,有且仅有一个公共点 在同一个平面內，没有公共点 不同在任何一个平面内，没有公共点 直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线和平而相交 直线和平而平行 公共点的个数 直线上有两个点在平面内，则这条直线上的所有 点都在平面内 直线与平面有且仅有一个公共点 直线与平面没有公共点 空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面內一点的直线与平面內不过该店的直线是异面直线
④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O,分别引直线/〃4, If //b,则把直线/和夕所成的锐角(或直角)叫做异而直线\"和\"所成的角。两条异面直线 所成角的范围是(0° , 90° ], 若两条异而直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明：(1)判定空间直线是异而直线方法：①根据异而直线的定义；②异而直线的判定定 理 (2)在异面直线所成角定艾中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。 ②求异而直线所成角步骤：
A、利用定爻构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点 选在特殊的
位置上。 B.证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角
(7)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
三种位置关系的符号表示：ac a aD a =A a/7 a
(8)平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；a〃B
相交 --- 有一条公共直线。a A 3 =b
空间中的平行问题
直线和平面平行：直线/与平而Q没有公共点，则称直线/与平面Q平行，记作 两个平面平行：没有公
共点的两个平面叫做平行平面。
(1) 直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面处一条直线与此平面安一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a(za}
a
b u a \\ 线线平行n线面平行
口 a allb
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平 面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
all a
< G u 0 a lib aC\\J3
= h
线而平行=＞线线平行
(2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理： ①如果一个平面内的两条沁直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
a! ip
blip
=>a//0
aC\\b = P
(i、bua
线而平行=＞面面平行 ②如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 1丄a
nail 卩
〕丄0
③平行于同一个平面的两个平面平行
all p
\\pn?
nail?
两个平面平行的性质定理
(1) 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
a〃0且
aua
（而而平行T线线平行）
（3）如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
aII0且/ 丄tz =>/ 丄0
空间角问题
（1）直线与直线所成的角
① 两平行直线所成的角：规定为0=
② 两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③ 两条异而直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线b平行的直线 \夕，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异而直线所 成的角。 ④ 范圉：k-
（2）直线和平面所成的角
① 平而的平行线与平而所成的角：规定为0°。 ②平而的垂线与平而所成的角：规定为90°。 ③ 平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的軽，叫做这 条直线和这个平而所成的角。
求斜线与平而所成角的思路类似于求异而直线所成角:“一作，二证，三计算 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,
在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的 一点或过斜线的平而与已知而垂直，由而而垂直性质易得垂线。 ④ 范圉：k-
（3）二面角和二面角的平面角
① 二而角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二而角，这条直线叫做 二而角的棱，这两个半平而叫做二而角的而。
② 二而角的平而角：以二而角的棱上任意一点为顶点，在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二而 \\ 角的平而角。•…
③ 直二而角：平而角是直角的二而角叫直二而角。
两相交平而如果所组成的二而角是直二而角,那么这两个平而垂直；反过来，如果两个平 而垂直，那么所成的二而角为直二而角 ④ 求二而角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个而内作垂直于棱的射线得到平而角
垂而法：已知二而角内一点到两个而的垂线时，过两垂线作平而与两个而的交线所成的角 为二面角的平而角 范围:[0,7t\\
空间中的垂直问题
(1)线线、面面、线面垂直的定义
① 两条异而直线的垂直：如果两条异而直线所成的角是直角，就说这两条异而直线互相垂 直。 ② 线而垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面 垂直。 ③ 平而和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二而角(从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形)是直二而角(平而角是直角)，就说这两个平而垂直。
(2)线线垂直
定义：直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,就说直线/与平面a互相垂直.该直线 叫做平而的垂线，该平面叫做这条直线的垂而 线而垂直的性质: 线面垂直的判定定理
a丄a 二> a 丄 b ; bua
判定定理：如果一条直线和一个平面内的尬舷站都垂直，那么这条直线 垂直于这个平面
a丄c 小 => \"丄 b()c = 0 b,c ua
注意点： 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平而，那么另一条直线也垂直这个平而
a//b
a丄a
线面垂直的性质定理
(1)垂直于同一个平面的两条直线平行 a丄a]
〃丄aj
(2) 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 allb}
丄 a
a丄a
三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这 条斜线垂直 三垂线定理的逆定理：平而内的一条直线，如果和这个平而的一条斜线垂直，那么，它也
和这条斜线的射影垂直
（3）面面垂直
定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相 垂直. 面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平曾垂基
/丄a
0 /
lu0.
面面垂直的性质定理：两个平而垂直，则一个平而內垂直于交线的直线与另一个平面垂直
•直线与方程
（1） 直线的倾斜角：对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向旋转 到和
直线重合时，所转的最小正角叫做直线的倾斜角 直线的倾卿角取值范围是0° WaV180° （2） 直线的斜率
① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用k表示。即R = tana。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ae[0\\90°）时，^>0;
当 ae（90\\180°）时，£v0; 当 a = 90° 时，k 不存在。
② 过两点的直线的斜率公式：£=：21二21（册工旳） （3） 直线方程
① 点斜式：y-）\\ =k（x-xx）直线斜率k,且过点（J）, vj ② 斜截式：y = kx+bt直线斜率为化 直线在y轴上的截距为b
③ 两点式：-—
=-_—（齐工兀切工”）直线两点（召,yj, （%„>•,）
>2 ->'1 吃一片
④ 截矩式：-+ y = 1其中直线/与X轴交于点（a,0）,与y轴交于点（0上）,即/与X轴、y轴的截
a b
距分别为d,b。
⑤ 一般式：Ax+By+C = 0 （A, B不全为0）
（4） 直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系
平行于已知直线 ^ + Boy + Co=O （A。\"是不全为0的常数）的直线系： Aux+B（）y + C = 0
（C 为常数）
（二〉过定点的直线系
(i)
斜率为k的直线系：y - y0 = ^(A-x0),直线过定点(x0,.y0)；
(ii) 过两条直线V + (5) 两直线平行与垂直
+ q =0, l2 :A2x + B2y + C2 =0的交点的直线系方程为
(/\\x+B1y + C1)+A(i42x+B2y + C2)=0(2为参数)，其中直线厶不在直线系中。
当 /j : y = k{x + bi, 12: y = k2x + b2 时，
/] 〃，2 O =比2，也 H ”2 ；厶丄 b 0*1*2 =—1
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
(6) 两点间距离公式：设A(召,yj, B(x2,y2)是平而直角坐标系中的两个点， 则 I AB 1= /兀一
比)2+(〉，2—必)2
(7) 点到直线距离公式：一点P(如,儿)到直线l{:Ax + By + C = 0的距离：」肛叮心叮G
刖+沪
(8) 两条平行线间的距离公式：两条平行线厶：Av + 距离IGYI
77TF
+ G = 0与/j :Ar + By + C2 = 0间的
的方程
1•定义：平面內到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆。定点就是圆心，定长就
是半径
2•圆的方程
(1) 标准方程(%-«)2 +(.y-Z?)2 = r2,圆心(a,b),半径为 i•: (2) 一般方程x2 + y2 + D.x + Ey + F = 0
当D~ + E~ —4F >0时，方程表示圆，此时圆心为百],半径为r = 1 yj[)- + E2 -4F 当 D+E -4F = 0时，表示一个点
当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。 (3) 求圆方程的方法：
一般釆用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程, 需求出a, b, r;若利用一般方程，需要求出D, E, F;
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置0
22•点、线、圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
(1) 设直线 l:Ax+By + C = Ot 圆 C:(x-a)2+(y-ib)2=r2 ,圆心 C(a,b)到 I 的距离为 昇九+弘+[ 则有〃 >厂0 /与c相离；d = rol与C相切；d w /与C相交
(2) 设直线/:/U+By + C = 0,圆C:(x-t/)2+G-/7)2=r\\ 先将方程联立消元，得到一个 一元二次方程之后，令其中的判别式为A,则有
△ v 0 0 /与C相离；△ = 0 O /与C相切；△ > 0 o /与C相交
(3) 过圆上一点的切线方程：
&圆X2+y2=r9圆上一点为(xo, yo),则过此点的切线方程为xxQ + yyQ = r2 (课本命题)・
②圆(x-a)+(y-b)=r9 圆上一点为(xo, yo)9 则过此点的切线方程为(xo-a)(x-a)+(yo-b)(y-b) = r (课本命题的'推广).
圓与圆的位置羌系：通过严圆半径的和(差、与圆心学巨(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C)：(%-«!y +(，一勺)2 =r , C2 ：(x-a2y +(y-/?2)=用
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差力 与圆心距(〃)之间的大小比较来确定。 当d >/? +厂时两圆外离，此时有公切线四条； 当d = /? +厂时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，內公切线一条; 当R-r 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容