基本初等函数图像及性质大全(初中高中)

①一般式：f(x)ax2bxc(a0)②顶点式：f(x)a(xh)2k(a0) ③两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便． （3）二次函数图象的性质 fxax2bxca0 a0 a0 图像 x定义域 对称轴 顶点坐标 值域 b 2ax b 2a , xb 2ab4acb2 ,2a4a4acb2, 4ab递减 ,2ab递增 ,2a4acb2 ,4a单调区间 b递增 ,2ab,递减 2a①.二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb,顶点坐标2ab4acb2是(,)

2a4a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,bbb]上递减，在[,)上递增，当x2a2a2abb4acb2时，fmin(x)；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,在[]上递增，,)4a2a2ab4acb2上递减，当x时，fmax(x)．

4a2a

二、幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

三、指数函数

（1）根式的概念：如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根． （2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：a等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是：a分数指数幂没有意义． （3）运算性质

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR) ③(ab)rarbr(a0,b0,rR) （4）指数函数 函数名称 定义 指数函数 函数yax(a0且a1)叫做指数函数  mnmnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂

1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的负aaa1 y yax (0,1)0a1 yaxy图象 y1y1 (0,1) O 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在R上是增函数 xR (0,) Ox图象过定点(0,1)，即当x0时，y1． 非奇非偶 在R上是减函数 ax1(x0)函数值的 变化情况 ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)a变化对图象的影响

在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低． 四、对数函数

xaN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogN，（1）对数的定义：①若a其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．

x③对数式与指数式的互化：xlogaNaN(a0,a1,N0)． b（2）几个重要的对数恒等式：loga10，logaa1，logaab．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）． （4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么

①加法：logaMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNloganlogN③数乘：nlogaMlogaM(nR)④aaN

M N⑤logabMnlogbNn(b0,且b1) logaM(b0,nR)⑥换底公式：logaNlogbab对数函数 函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数 （5）对数函数 函数名称 定义 a1 y图象 O(1,0)0a1 yx1 ylogaxx1 ylogaxx(0,) O (1,0) x定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在定义域上是增函数 R 图象过定点(1,0)，即当x1时，y0． 非奇非偶 在定义域上是减函数 logax0(x1)函数值的 变化情况 logax0(x1) logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1) a变化对图象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． 五、反函数

（1）反函数的概念

设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．

（2）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式yf(x)中反解出xf1(y)；

③将xf1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域． （3）反函数的性质

1yf(x)的图象关于直线yx对称． yf(x)①原函数与反函数

②函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域． ③若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数yf1(x)的图象上． ④一般地，函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

六、三角函数的图像和性质

（一）正弦与余函数的图像与性质 函数 图像 ysinx ycosx 定域义 值域 最值 R R 1,1 x1,1 x2k时, y最大1， kZ 22k时,y最大1， kZx单调性 22k时,y最小1， kZ22k,x2k时,y最小1，kZ 在每个[2k,2k]上递增在每个[2k,2k] 上递减 kZ偶函数 在每个[在每个[22k]上递增3 2k]上递减22 kZ2k,奇偶性 奇函数 周期性 对称性 是周期函数，2为最小正周期 对称中心(k,0)， 是周期函数，2为最小正周期 对称中心(2k,0)， 对称轴:x2k,(kZ) 对称轴:xk,(kZ) 2. 正切与余切函数的图像与性质 ytanx 函数 图像 ycotx 定域义 值域 单调性 {x|xR且xR 2 k,kZ} {x|xR且xk,kZ} R 在每个(奇函数 k)上递增 22 kZk,在每个(k,k)上递减 kZ奇函数 是周期函数，为最小正周期 对称中心(奇偶性 周期性 对称性 是周期函数，为最小正周期 对称中心(k,0) 2k,0) 2

七、反三角函数的图像与性质

1. 反正弦与反余函数的图像与性质 反正弦函数yarcsinx 函数 是ysinx，x,22的反函数 反余弦函数yarccosx 是ycosx，x0,的反函数 图像 定域义 值域 单调性 奇偶性 周期性 对称性 1,1 ,221,1 0, 在[1,1]上递减 非奇非偶 无 对称中心(0,在[1,1]上递增 奇函数 无 对称中心(0,0) 2)

2. 反正切与反余切函数的图像与性质 函数 反正切函数yarctanx 是ytanx，x(,)的反函数 22反余切函数yarccotx 是ycotx，x0,的反函数 图像 定域义 值域 单调性 奇偶性 周期性 对称性 (,,) ,22 (,,) 0, 在(,,)上递增 奇函数 无 对称中心（0，0） 在(,,)上递减 非奇非偶 无 对称中心（0，π/2）