(完整版)有关圆的经典练习题及答案

一、填空题

1. （2011浙江省舟山，15，4分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CEOE；③△ODE∽△ADO；④2CD2CEAB．其中正确结论的序号是 ．

CDEAO（第16题）

B

【答案】①④

2. （2011安徽，13，5分）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，

已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ．

【答案】

3. （2011江苏扬州，15,3分）如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD=

【答案】40°

4. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 ．

【答案】如：x2-5x+1=0；

5. （2011山东泰安，23 ，3分）如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点

B是优弧CBA上一点，若∠ABC==320，则∠P的度数为 。

【答案】260

6. （2011山东威海，15，3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,CD42,则∠AED= .

【答案】 30°

7. （2011山东烟台，16,4分）如图，△ABC的外心坐标是__________.

y A

B O x 2，－1） 【答案】（－

C

8. （2011浙江杭州，14，4）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，

的度数等于84°，CA是∠OCD的平分

线，则∠ABD十∠CAO= °．

【答案】53°

9. （2011浙江温州，14，5分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC＝3，则AB的长是 ．

【答案】6 10．（2011浙江省嘉兴，16，5分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①S△③线段AEC=2S△DEO；②AC=2CD；中正确结论的序号是 ．

OD是DE与DA的比例中项；④2CD2CEAB．其

CDEAO（第16题）

B

【答案】①④

11. （2011福建泉州，16，4分）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为

1的圆的公共点个数所有可能的情况是 可）

【答案】 2（符合答案即可） 12. （2011甘肃兰州，16，4分）如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度。

D O

.（写出符合的一种情况即

B

C

【答案】63°

13. （2011湖南常德，7，3分）如图2，已知⊙O是△ABC的外接圆，且∠C =70°，则∠OAB =__________.

COAB图 2

【答案】20°

14. （2011江苏连云港，15，3分）如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若∠BAC=22º，则∠EFG=_____.

【答案】

1 2

15. （2011四川广安，19，3分）如图3所示，若⊙O的半径为13cm，点动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为________cm

p是弦AB上一

OAPB

图3

【答案】24

16. （ 2011重庆江津， 16，4分）已知如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30º,则∠D=-____________.

A D

B C 第16题图

【答案】 150°

17. (2011重庆綦江，13，4分) 如图,已知AB为⊙O的直径，∠CAB＝30°,则∠D＝ .

【答案】：60°

18. （2011江西南昌，13，3分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB = 度.

第13题图 【答案】90

19. (2011江苏南京，13，2分)如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的

弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°．

P O A B (第13题)

【答案】40 20．（2011上海，17，4分）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝_________．

CNA

OMB

【答案】6

21. （2011江苏无锡，18，2分）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y

轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = _____________．

y C A O D B x （第18题）

65 【答案】

22. （2011湖北黄石，14，3分）如图（5），△ABC内接于圆O，若∠B＝300.AC＝3，则⊙O的直径为 。 【答案】23

23. （2011湖南衡阳，16，3分）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠FCD的度数为 ．

【答案】 20

24. （2011湖南永州，8，3分）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，已知⊙O的半径为2，AB=23,则∠BCD=________度．

COAEDB（第8题）

【答案】30

25. (20011江苏镇江,15,2分)如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=_____,CD=_____.

答案：4，9

»是半径为 6 的⊙D的26. （2011内蒙古乌兰察布，14，4分）如图，BE1»圆周，C点是BE4上的任意一点， △ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是

ECBDA第14题图

【答案】18p1862 27. （2011河北，16，3分）如图7，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D

在AB的延长线上，BD=BC,则∠D=__°．

COAB图7D

【答案】27

28. （2011湖北荆州，12，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是 .

CAOBD

第12题图 【答案】50° 二、选择题

1. （2011浙江省舟山，6，3分）如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（ ） （A）6

（B）8

（C）10

（D）12

OAB（第6题）

【答案】A

2. （2011安徽，7，4分）如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧的长是（ ）

A． B．π C．π D．π

【答案】B

3. （2011福建福州，9，4分）如图2,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,若AOB120o,则大圆半径R与小圆半径r之间满足（ ） A．R3r

A

B．R3r C．R2r D．R22r

CO图2

B【答案】C

4. （2011山东泰安，10 ，3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则⊙O的半径为（ ）

A. B.2 C. D. 【答案】A

5. （2011四川南充市，9，3分）在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油 后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（ ）

MABN（A）6分米 （B）8分米 （C）10分米 （D）12分米

【答案】C

6. （2011浙江衢州，1,3分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角ACB45，则这个人工湖的直径AD为（ ）

A. 502m B.1002m C.1502m D. 2002m

CDOAB【答案】B (第8题) 7. （2011浙江绍兴，4，4分）如图，AB为eO的直径，点C在eO上，若C16,则BOC的度数是（ ）

A.74 B. 48 C. 32 D. 16

AOB C

(第5题图) 【答案】C 8. （2011浙江绍兴，6，4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（ ）

A.16 B.10 C.8 D.6

OCA (第6题图) 【答案】A 9. （2011浙江省，5，3分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）

A. 12个单位 B. 10个单位 C.4个单位 D. 15个单位

B

【答案】B

10．（2011四川重庆，6，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数

等于( ) A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°

【答案】B

11. （2011浙江省嘉兴，6，4分）如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（ ） （A）6

（B）8

（C）10

（D）12

OAB（第6题）

【答案】A

12. （2011台北，16）如图(六)，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C

两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点。若∠ADE＝19，则∠AFB的度数为何？

A．97 B．104 C．116 D．142

【答案】C

13. （2011全区，24）如图(六)，△ABC的外接圆上，AB、BC、CA三弧的度数比为

12：13：11．

自BC上取一点D，过D分别作直线AC、直线AB的并行线，且交BC于E、F两点，则∠

EDF的度数

为何？

A． 55 B． 60 C． 65 D． 70

【答案】Ｃ

14. （2011甘肃兰州，12，4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6。则⊙O的半径为

A．6

B．13

C．13

D．213 A O B C

【答案】C

15. （2011四川成都，7,3分）如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°， 则∠BCD=（ B ）

(A)116° (B)32° (C)58° （D)°

DAOCB【答案】B

16. （2011四川内江，9，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为

A．1

B．3

C．2

D．23

AB【答案】D

OC

17. (2011江苏南京，6，2分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)，半

径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为23，则a的值是 A．23 y B．222

C．23 D．23

P B y=x A O (第6题) x

【答案】B

18. （2011江苏南通，8，3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O

的半径等于

A. 8 B. 2 C. 10 D. 5

【答案】D

19. （2011山东临沂，6，3分）如图，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，

垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB 的长是（ ）

A．2cm

B．3cmC．4cm

D．221cm

【答案】C

20．（2011上海，6，4分）矩形ABCD中，AB＝8，BC35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．

(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内； (C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内． 【答案】C

21. （2011四川乐山6，3分）如图（3），CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=

A．40° B．60° C．70° D．80° 【答案】 C

22. （2011四川凉山州，9，4分）如图，AOB100o，点C在eO上，且点C不与A、B重合，则ACB的度数为（ ）

A．50 B．80或50 C．130 D．50 或130

oooooo

【答案】D

23. （2011广东肇庆，7，3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD ＝105°， 则∠DCE的大小是

D A B C E A． 115°

C． 100°

D． 95°

B． 105°

【答案】B

24. （2011内蒙古乌兰察布，9，3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 700 ，那么∠A的度数为（ ）

A .70 B . 35 C . 30 D . 20

AOCB

D第9题图【答案】B

25. （2011重庆市潼南,3,4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠A=30°,则∠B的度数为

A．15° B. 30° C. 45° D. 60°

CAOB3题图

【答案】D

三、解答题

1. （2011浙江金华，21，8分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE.

（1）求证：AP＝AO；

（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；

（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .

DCPABOGEF证明：（1）∵PG平分∠EPF， ∴∠DPO=∠BPO ， ∵OA//PE，

∴∠DPO=∠POA ， ∴∠BPO=∠POA，

∴PA=OA； ……2分

解：（2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB=∵ tan∠OPB=

1AB，……1分 2OH1，∴PH=2OH， ……1分 PH2设OH=x，则PH=2x，

由（1）可知PA=OA= 10 ，∴AH=PH－PA=2x－10，

222∵AH2OH2OA2， ∴(2x10)x10， ……1分 解得x10（不合题意，舍去），x28，

∴AH=6， ∴AB=2AH=12； ……1分

（3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.……2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分)

D C P

E O G A

H B

F

分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0）2.（2011浙江金华，24，12，以OA为直径

在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，

使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF. （1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；

（2）当DE＝8时，求线段EF的长；

（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

yDBFOCEAx解：（1）连结BC,

∵A（10，0）, ∴OA=10 ,CA=5, ∵∠AOB=30°,

∴∠ACB=2∠AOB=60°,

∴弧AB的长=y

6055; ……4分 1803 D B F A O C E （2）连结OD,

x

∵OA是⊙C直径, ∴∠OBA=90°,

又∵AB=BD,

∴OB是AD的垂直平分线, ∴OD=OA=10, 在Rt△ODE中，

OE=ODDE1086, ∴AE=AO－OE=10-6=4,

由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA, ∴

2222AEEF4EF,即，∴EF=3；……4分 DEOE86（3）设OE=x，

①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=

5， 2∴E1（

5，0）； 21AB, 2当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x, AE=10-x，

∴CF∥AB,有CF=

∵△ECF∽△EAD,

CECF5x110,即,解得：x,

AEAD10x4310∴E2（，0）;

3∴ y y D B D F B F A x O E C O E C ②当交点E在点C的右侧时，

A x

∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO， 连结BE，

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线， ∴BE=AB=BD, ∴∠BEA=∠BAO, ∴∠BEA=∠ECF, ∴CF∥BE, ∴

CFOC, BEOE∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠，

CFCE, ADAEOCCE而AD=2BE, ∴, 2OEAE551755175x5即, 解得x1, x2＜0（舍去）， 442x10x5517∴E3（，0）;

4∴△CEF∽△AED, ∴

y D F B A x O C E ③当交点E在点O的左侧时，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF .

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO 连结BE，得BE=

1AD=AB，∠BEA=∠BAO 2∴∠ECF=∠BEA, ∴CF∥BE, ∴

CFOC, BEOE又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠，

CECF， AEADOCCE而AD=2BE, ∴, 2OEAE551755175x+5∴, 解得x1, x2＜0（舍去）, 442x10+x5517∵点E在x轴负半轴上, ∴E4（，0）,

4∴△CEF∽△AED, ∴

综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：

55175517510E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）．……4分

4423y D B E F O C A x

山东德州22,10分）●观察计算 3. （2011

当a5，b3时， 当a4，b4时，

ab与ab的大小关系是_________________． 2ab与ab的大小关系是_________________． 2●探究证明

如图所示，ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CDAB于D，设ADa，BD=b．

（1）分别用a,b表示线段OC，CD； （2）探求OC与CD表达式之间存在的关系

C A

（用含a，b的式子表示）．●归纳结论

根据上面的观察计算、探究证明，你能得出

O D B

ab与2ab的大小关系是：

_________________________． ●实践应用

要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值． 【答案】●观察计算:

abab>ab， =ab. …………………2分 22C ●探究证明：

（1）QABADBD2OC， ∴OCab…………………3分 2 A

O D B

QAB为⊙O直径,

∴ACB90.

QAACD90，ACDBCD90， ∴∠A=∠BCD.

∴△ACD∽△CBD. …………………4分

ADCD. CDBD即CD2ADBDab,

∴CDab. …………………5分

ab（2）当ab时,OCCD, =ab；

2ab>ab．…………………6分 ab时,OCCD, 2ab●结论归纳: ab． ………………7分

2∴●实践应用

设长方形一边长为x米,则另一边长为

1米,设镜框周长为l米，则 x11l2(x) ≥4x4 ． ……………9分

xx1当x,即x1（米）时,镜框周长最小．

x此时四边形为正方形时,周长最小为4 米. ………………10分

4. （2011山东济宁，19，6分）如图，AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为点F，ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD.

(1) 求证：BDCD；

(2) 请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由.

A E

B F

C

D

(第 19题)

【答案】（1）证明：∵AD为直径，ADBC，

»CD».∴BDCD. ·∴BD······················································· 3分

（2）答：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. ························ 4分 »CD»，∴BADCBD. 理由：由（1）知：BD∵DBECBDCBE，DEBBADABE，CBEABE， ∴DBEDEB.∴DBDE. ·························································· 6分 由（1）知：BDCD.∴DBDEDC.

∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. …………………7分

5. （2011山东烟台，25,12分）已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.

（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2

（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

A C C G O . F E P A D B G O . D B E . （图1）

（图2）

【答案】（1）证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ. ∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°. ∴∠QFD＋∠Q＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°. ∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P. ∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.

OEOF∴.∴OE·OP＝OF2＝r2. OFOP（2）解：（1）中的结论成立.

理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙OM，连接CM.

∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°. ∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.

∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE. OPOF∴，∴OE·OP＝OF2＝r2. OFOE6. （2011宁波市，25，10分）阅读下面的情境对话，然后解答问题

90°. 于

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

（2）在RtABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；

（3）如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，CD在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE． 1求证：ACE是奇异三角形；

2当ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

【答案】解：（1）真命题

（2）在RtABC 中a＋b2＝ c2， ∵c＞b＞a＞0

2

∴2c2＞a＋b2，2a＜c2＋b2

2

2

∴若RtABC是奇异三角形，一定有2b2＝c2＋ a

2

∴2b2＝a＋（a＋b2）

2

2

∴b2＝2a得：b＝a

∵c2＝b2＋ a＝3a ∴c＝a

∴a：b：c＝1：：

(3)1∵AB是⊙O的直径ACBADB＝90° 在RtABC 中，AC2＋BC2＝AB2

在RtADB 中，AD2＋BD2＝AB2∵点D是半圆的中点 ∴＝

∴AD＝BD

∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2 ∴AC2＋CB2＝2AD2

又∵CB＝CE，AE＝AD ∴AC2＝CE2＝2AE2

∴ACE是奇异三角形

2由1可得ACE是奇异三角形 ∴AC2＝CE2＝2AE2

当ACE是直角三角形时

由（2）可得AC：AE：CE＝1：：或AC：AE：CE＝：： 1 （Ⅰ）当AC：AE：CE＝1：：时 AC：CE＝1：即AC：CB＝1： ∵∠ACB＝90° ∴∠ABC＝30°

∴∠AOC＝2∠ABC ＝60° (Ⅱ)当AC：AE：CE＝：： 1时 AC：CE＝： 1即AC：CB＝： 1 ∵∠ACB＝90° ∴∠ABC＝60°

∴∠AOC＝2∠ABC ＝120° ∴∠AOC＝2∠ABC ＝120° ∴∠AOC的度数为60°或120°

7. （2011浙江丽水，21，8分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE.

2

2

2

（1）求证：AP＝AO；

（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；

（3）若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .

DCPABOGEF【解】（1）∵PG平分∠EPF， ∴∠DPO=∠BPO， ∵OA//PE，

∴∠DPO=∠POA， ∴∠BPO=∠POA， ∴PA=OA；

（2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB， ∵AB=12， ∴AH=6，

由（1）可知PA=OA=10， ∴PH=PA+AH=16， OH==8，

∴tan∠OPB==；

（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B. 8. （2011广东广州市，25，14分） 如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中 ∠DCE是直角，点D在线段AC上． （1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM； （3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

A A N N1 D O E C O D1 M1 E1 C M B B 图7

图8

【答案】（1）∵AB为⊙O直径 ∴∠ACB=90°

∵△DCE为等腰直角三角形 ∴∠ACE=90°

∴∠BCE=90°+90°=180° ∴B、C、E三点共线． （2）连接BD，AE，ON． ∵∠ACB=90°，∠ABC=45° ∴AB=AC ∵DC=DE

∠ACB=∠ACE=90° ∴△BCD≌△ACE

∴AE=BD，∠DBE=∠EAC ∴∠DBE+∠BEA=90° ∴BD⊥AE ∵O，N为中点

∴ON∥BD，ON=BD 同理OM∥AE，OM=AE ∴OM⊥ON，OM=ON ∴MN=OM （3）成立

证明：同（2）旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°－∠ACD1 所以仍有△BCD1≌△ACE1，

所以△ACE1是由△BCD1绕点C顺时针旋转90°而得到的，故BD1⊥AE1 其余证明过程与（2）完全相同．

9. （2011浙江丽水，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF. （1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长； （2）当DE＝8时，求线段EF的长；

（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

yDBFOCEAx

【解】(1)连结BC，

yD

BFOCEAx

∵A(10，0)，∴OA=10，CA=5，

∵∠AOB=30°，

∴∠ACB=2∠AOB=60°， ∴的长==；

（2）连结OD，

yD

BFOCEAx

∵OA是⊙C的直径，∴∠OBA=90°，

又∵AB= BD，

∴OB是AD的垂直平分线， ∴OD= OA=10， 在Rt△ODE中， OE===6，

∴AE= AO－OE =10－6=4，

由∠AOB=∠ADE= 90°－∠OAB， ∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA， ∴=，即=，∴EF=3；

yDBFOCEAx

(3)设OE=x，

①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似， 有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三

角形，

点E为OC的中点，即OE=，

∴E1(，0)；

当∠ECF=∠OAB时，有CE=5－x，AE=10－x，

∴CF//AB，有CF=AB，

∵△ECF∽△EAD， ∴=，即=，解得x=，

∴E2(，0)；

②当交点E在C的右侧时， ∵∠ECF>∠BOA

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO， 连结BE，

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线， ∴BE=AB=BD， ∴∠BEA=∠BAO， ∴∠BEA=∠ECF， ∵CF//BE，∴=，

∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED，∴=， 而AD=2BE，∴=，

即=，

解得x1=，x2=<0（舍去）， ∴E3(，0)；

③当交点E在O的左侧时，

∵∠BOA=∠EOF>∠ECF

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO， 连结BE，得BE=AD=AB，

∠BEA=∠BAO，

∴∠ECF=∠BEA， ∴CF//BE， ∴=，

又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED，∴=， 而AD=2BE，∴=，

∴=，解得x1=，x2=<0（舍去），

∵点E在x轴负半轴上，∴E4(，0)，

综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：

∴E1(，0)、E2(，0)、E3(，0)、E4(，0). 10．（2011江西，21，8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。 ⑴求∠BAC的度数；

⑵求△ABC面积的最大值.

（参考数据：sin60°=

333，cos30°=，tan30°=.） 223

【答案】（1）过点O作OD⊥BC于点D, 连接OA. 因为BC=23，所以CD=BC=3. 又OC=2，所以sin∠DOC=

3CD，即sin∠DOC=，

2OC12所以∠DOC=60°.

又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.

（2）因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点

¼的中点时，△ABC面积的最大值. A是BAC因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形， 在Rt△ADC中，AC=23，DC=3, 所以AD=AC2-DC2=(23)2-3=3.

122所以△ABC面积的最大值为23×3×=33.

11. （2011湖南常德，25，10分）已知 △ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O1、O2,P是AB的中点.

»上分别取点E、F，使（1）如图8，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在»AC,BCAO1EBO2F,则有结论① VPO1EVFO2P,②四边形PO1CO2是菱形.请给出结论

②的证明；

（2）如图9，若（1）中△ABC是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；

（3）如图10，若PC是eO1的切线，求证：AB2BC23AC2

APDB FEO1O2C图8D

【答案】

（1） 证明：∵BC是⊙O2直径，则O2是BC的中点

又P是AB的中点.

∴P O2是△ABC的中位线 ∴P O2 =

1AC 2又AC是⊙O1直径 ∴P O2= O1C=

1AC 21BC 2同理P O1= O2C =∵AC =BC

∴P O2= O1C=P O1= O2C ∴四边形PO1CO2是菱形

（2） 结论①VPO1EVFO2P,成立，结论②不成立 证明：在（1）中已证PO2= ∴PO2=O1E 同理可得PO1=O2F

∵PO2是△ABC的中位线 ∴PO2∥AC ∴∠PO2B=∠ACB 同理∠P O1A=∠ACB ∴∠PO2B=∠P O1A ∵∠AO1E =∠BO2F

∴∠P O1A+∠AO1E =∠PO2B+∠BO2F 即∠P O1E =∠F O2 P ∴

（3） 证明：延长AC交⊙O2于点D，连接BD. ∵BC是⊙O2的直径，则∠D=90°， 又PC是eO1的切线，则∠ACP=90°， ∴∠ACP=∠D 又∠PAC=∠BAD，

∴△APC∽△BAD 又P是AB的中点 ∴

11AC，又O1E=AC 22ACAP1 ADAB2∴AC=CD

∴在Rt△BCD中，BC2CD2BD2AC²BD2 在Rt△ABD中，AB2AD2BD2

∴AB24AC2BD2AC2BD23AC2

∴AB2BC23AC2

12. （2011江苏苏州，26,8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD. （1）弦长AB=________（结果保留根号）； （2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；

（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.



【答案】解：（1）23.

（2）解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角， ∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D. ∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.

又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°， ∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°， ∴∠BOD=2∠A=100°. 解法二：如图，连接OA.

∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D， ∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.

又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°， ∴∠BOD=2∠DAB=100°.

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D. ∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°. 此时，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°. ∴△DAC∽△BOC.

∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=

1AB=3. 213. （2011江苏苏州，27,8分）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD. （1）如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；

当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；

（2）如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标

2

为（a，b），试求2S1S3-S2的最大值，并求出此时a、b的值.

【答案】解：（1）2；22或

85. 5（2）如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，延长FP交BC于点G，则PG⊥BC.

∵P点坐标为（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4-a. 在△PAD、△PAB及△PBC中， S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，

∵AB是直径，∴∠APB=90°.

2

∴PE2=AE·BE，即b=a（4-a）.

2222

∴2S1S3-S2=4a（8-2a）-4b=-4a+16a=-4（a-2）+16.

2

∴当a=2时，b=2，2S1S3-S2有最大值16.

14. （2011江苏泰州，26，10分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N． （1）点N是线段BC的中点吗？为什么？

（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．

OAMND

【答案】解：(1)N是BC的中点。原因：∵AD与小圆相切于点M，

∴OM⊥AD，又AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圆O中，由垂径定理可得N是BC的中点． (2)连接OB，设小圆半径为r，则有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,

在Rt△OBN中，由勾股定理得OB2=BN2+ON2 ，即：（r+6）2=(r+5)2+52 ，解得r=7cm. ∴小圆的半径为7cm.

15. （2011四川成都，27,10分）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙0，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．

(1)求证：AE=CK； AD (2)如果AB=a，AD=a (a为大于零的常数)，求BK的

长；

(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长． 【答案】 H解：（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB， ∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK.

（2）在Rt△ABC中，AB=a，AD=BC=a，∴ACGFBC13EOKBC110a， AB2BC2=a2(a)2=

331aa11ABBC3=10a. ∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，∴BK==22AC10a10A313（3）连线OG，∵AC⊥DG，AC是⊙O的直接，DE=6，∴DE=EG=6，又∵EF=FG，∴EF=3；∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK， 在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF是△ABK的中位线，∴AF=BF，AE=EK=KC；在Rt△OEG中，设OG=r，则OE=

EFGHBOKD111AC2rr，EG=6，OE2EG2OG2，∴663921. (r)262r2，∴r23C在Rt△ADF≌Rt△BHF中，AF=BF，

∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，

∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6.

16. （2011四川宜宾,23，10分）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧 ⌒ AD上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H． （1）求证：AC⊥BH； （2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．

（23题图）

【答案】证明：⑴连接AD

∵∠DAC=∠DEC ∠EBC=∠DEC

∴∠DAC=∠EBC 又∵AC是⊙O的直径 ∴∠ADC=90°

∴∠DCA+∠DAC=90° ∴∠EBC+∠DCA=90° ∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90° ∴AC⊥BH

⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45° ∴∠BAD=45° ∴BD=AD ∵BD=8 ∴AD=8

又∵∠ADC=90° AC=10

∴由勾股定理，得DCACAD102826. ∴BC=BD+DC=8+6=14 又∵∠BGC=∠ADC=90° ∠BCG=∠ACD ∴△BCG∽△ACD CGBC∴ DCACCG1442∴ ∴CG 5610连接AE，∵AC是直径 ∴∠AEC=90° 又∵EG⊥AC

CECG42∴△CEG∽△CAE ∴ ∴CE2ACCG1084

ACCE5∴CE84221.

22（第23题解答图）

17. （2011江西南昌，21，8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23，点A为

弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。 ⑴求∠BAC的度数；

⑵求△ABC面积的最大值. （参考数据：sin60°=

333，cos30°=，tan30°=.） 223

【答案】（1）过点O作OD⊥BC于点D, 连接OA. 因为BC=23，所以CD=BC=3. 又OC=2，所以sin∠DOC=

3CD，即sin∠DOC=，

2OC12所以∠DOC=60°.

又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.

（2）因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点

¼的中点时，△ABC面积的最大值. A是BAC因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形， 在Rt△ADC中，AC=23，DC=3, 所以AD=AC2-DC2=(23)2-3=3.

122所以△ABC面积的最大值为23×3×=33.

18. （2011上海，21，10分）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．

（1）求线段OD的长；

（2）若tanC

1，求弦MN的长． 2OACMNBD

【答案】（1）∵CD∥AB， ∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D．

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA． ∴∠C=∠D． ∴OC=OD．

∵OA=3，AC=2， ∴OC=5． ∴OD=5．

（2）过点O作OE⊥CD，E为垂足，连接OM．

OACM

在Rt△OCE中，OC=5，tanCBE

ND1，设OE=x，则CE=2x．由勾股定理得x2(2x)252，2

解得x1=5，x2=5（舍去）．∴OE=5．

在Rt△OME中，OM=OA=3，ME=OM2OE2=32(5)2=2。∴MN=2ME=4． 19. （2011湖北黄冈，22，8分）在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，

F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E． ⑴求证△ABD为等腰三角形． ⑵求证AC•AF=DF•FE M D

C F

B A E 第22题图

【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形． ⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧AD=弧BD 又∵BC=AF

∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA ∴弧CD=弧DF ∴CD=DF

再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE

∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE

∴AC：FE=CD：AF ∴AC•AF= CD •FE 而CD=DF， ∴AC•AF=DF•FE 20．（2011广东茂名，24，8分）如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O(0，0)，与x轴相交于点A(5，0)，过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C． (1)已知AC＝3，求点Ｂ的坐标； (4分)

(2)若AC＝a, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理

由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O1，函数yk的图象经过点O1，x求k的值(用含a的代数式表示)． (4分)

y

χ

y

χ

备用图

【答案】解：(1)解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB， 在Rt△AOC中，OCOAAC ∴Rt△AOC∽Rt△ABO，· ∴

22

2594

在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO＝∠OAB

ACAO35，即， COOB4OB2020 ， ∴B(0,) 33 ∴OB 解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO＝90° 在Rt△AOC中，AO＝5，AC＝3，∴OC＝4， 过C作CE⊥OA于点E，则：即：

11OACECAOC， 2211125CE34，∴CE， 225∴OEOC2CE242(122161612) ∴C(,)， 5555

设经过A、C两点的直线解析式为：ykxb． 把点A(5，0)、C(1612,)代入上式得： 5k5kb03 ， 解得：， 161220kbb553 ∴y20420 ， ∴点B(O,) ． x333(2)点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下： 连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点， ∴CD1OBOD， 2∴∠3＝∠4，又∵OP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，

∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，

∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上；

由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O1是DP的中点，圆心O1(由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴

22OPOD,)， 22ACOA25，求得：AB＝，在Rt△ABO中， OAABaOB525a21525a2OA5ABOA，OD＝OB，OP

a22a225525a2k

)，点O1在函数y的图象上， ∴O1(,44ax525a24k2525a2∴， ∴k4a516a．

21. （2011广东肇庆，24，10分）已知：如图，ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的

平分线交AC于点F，交

⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD． （1）求证：∠DAC ＝∠DBA； （2）求证：P是线段AF的中点； （3）若⊙O 的半径为5，AF ＝

D F P A

• E O B C 15，求tan∠ABF的值． 2

【答案】(1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD ∴∠DAC ＝∠DBA (2）∵AB为直径，∴∠ADB＝90°

又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90° ∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90° ∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP ∴PD＝PA

又∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC ∴∠PDF＝∠PFD

∴PD＝PF ∴PA＝ PF 即P是线段AF的中点

(3）∵∠DAF ＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA ∽△ADB ∴

ADAF DBAB15ADAF33∴在Rt△ABD 中，tan∠ABD＝2，即tan∠ABF＝

4DBAB10422. （2011内蒙古乌兰察布，21，10分）

如图，在 Rt△ABC中,∠ACB＝90°，D是AB 边上的一点，以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD = BF ;

( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长．

ECOBD第21题图AF

【答案】⑴连结OE，

ADOEB第21题答案图CF

则OE⊥AC,

所以∠AEO=90°， ∠AED=∠CEF, ∠ACB＝90°

∠CEF+∠F＝90° ∠AED +∠OED＝90° ∠OED=∠F 又因为OD=OE

所以∠OED=∠ODE ∠ODE=∠F BD=BF

⑵Rt△ABC和Rt△AOE中，∠A是公共角 所以Rt△ABC ∽Rt△AOE

OEAOr8r，设⊙0的半径是r，则有 BCAB1282r求出r=8,所以BF=BD=16

23. （2011湖北鄂州，22，8分）在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，

F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E． ⑴求证△ABD为等腰三角形． ⑵求证AC•AF=DF•FE

M D

C F

B A E 第22题图

【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形． ⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧AD=弧BD 又∵BC=AF

∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA ∴弧CD=弧DF ∴CD=DF

再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE

∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE

∴AC：FE=CD：AF ∴AC•AF= CD •FE 而CD=DF， ∴AC•AF=DF•FE

AB上任一点（点P24. （2010湖北孝感，23，10分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是»不与点A、B重合）.连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M. （1）填空：∠APC＝ 度，∠BPC＝ 度；（2分） （2）求证：△ACM∽△BCP；（4分）

（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积. （4分）

【答案】解：（1）60,60；

（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60. ∴∠M=180°－∠BPM=180－（∠APC+∠BPC）=180°－120°=60°. ∴∠M=∠BPC=60°.

（3）∵ACM≌BCP，∴CM=CP，AM=BP. 又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形. ∴CM=CP=PM=1+2=3. 作PH⊥CM于H.

在Rt△PMH中，∠MPH=30°. ∴PH=

33. 2∴S梯形PBCM=

11315(PBCM)PH(23)33. 2224

25. （2011湖北宜昌，21，8分）如图D是△ABC 的边BC 的中点，过AD 延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB 的延长线相交于点F，点0 在AD 上，AO = CO，BC//EF. (1)证明:AB=AC；

(2)证明:点0 是AABC 的外接圆的圆心；

(3)当AB=5,BC=6时，连接BE若∠ABE=90°，求AE的长.

（第21题图）

【答案】解:(1)∵AE⊥EF， EF∥BC，∴AD⊥BC．(1分)在△ABD和△ACD中，∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD．(或者：又∵BD＝CD，∴AE是BC的中垂线．) (2分)∴AB＝AC． (3分)

(2)连BO，∵AD是BC的中垂线，∴BO＝CO．(或者：证全等也可得到BO＝CO．)又AO＝CO，∴AO＝BO＝CO．(4分)∴点O是△ABC外接圆的圆心． (5分) （3）解法1：∵∠ABE＝∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°，∴∠ABD=

ABAD（6分）在Rt△ABDAEAB25中，∵AB=5，BD=1，2BC=3，∴AD=4．（7分）∴AE= (8分)解法2：∵

4∠AEB． 又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB．∴

AO＝BO， ∴∠ABO＝∠BAO．∵∠ABE＝90°，∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO＋∠AEB＝90°．∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE．(6分)在 Rt△ABD中，∵AB=5，BD=1，2BC=3，∴AD=4． 设 OB＝x， 则 OD＝4－x，由32+（4-x)2=x2,解得x=

2525(7分)∴AE＝2OB＝ 84