《数学之友》 ２０１０年第８期 导数中恒成立问题的几种解法 解题探索 朱甫芹 （北京市大兴区大兴第一中学，１０２６００） 导数中的“恒成立”Ｊ司越是鬲考的一类重要Ｉ口Ｊ 题，学生必须熟练掌握． 本文以２００８年全国卷和安徽卷的导数题为背 景，介绍五种行之有效的导数“恒成立”问题的 解法． 问题：已知函数 ）＝ 。＋ａｘ ＋ ＋１，ａ∈Ｒ， 若函数，（ ）在区间【一了２，一了１］内是减函数，求口 的取值范围． 解法一：分离参变量 ・，．厂（ ）在区间【一 ２，一丁１】内是减函数， ・．．尸（ ）≤ｏ在［一手，一手］内恒成立， 即３ ２＋２似＋ｌ≤ｏ在［一了２，一÷］内恒成立． ・．．２口≥二 在【一Ｌ ０ ２， 一 ３】Ｊ 内恒成立． 下求ｇ（ ）＝二 ≥ 在区间【一了２，一÷】上的 最大值即可． 设ｇ（ ）＝ －３ｔ＋了１【了１≤ｔ≤ ）， 则２√ ≤ｇ（ ）≤４，．・．２ａｉ＞４，．・．口≥２． 点评：此时 是主变量，ａ是参变量，把ａ与 分开，转化为求ｇ（ ）＝二 ＿＿＝ 在区间 ［一 ，一 】上的最值即可． 解法二：数形结合 ・． ）在区间［一了２，一了１】内是减函数， ・．．厂（ ）≤０在【一了２，一 １］内恒成立， 且ｐ ３ ＋２ａｘ＋１≤０在 【一了２，一 １］内恒成立， 画厂（ ）的草图（如右 图），由数形结合得： ・７２・ ．‘．．．． ．．一ａ ２ ’． ≥． （一 ）≤０， ‘ ・．）在区间［一了２，一丁１］内是减函数， ・．．厂（ ）≤０在［一了２，一÷］内恒成立， ・．．ｏ （ ）… 卜了２，一抖１ １ １ ‘ ．－‘．厂（ ）＝３ ＋２ ＋１，此时△＝４（Ⅱ 一３）， 其中 ＝ 一０一、／ 一０＋～／ ——ｊ一 ： —— 一 由厂（ ）＜０，得 ＜ ＜ ’．．． ）的递减区问 为（ １， ２）． ３ ≤、 一 ３＇， 所以由已知得 ．．．口≥２． －ａ＋￣－ ３１ 一——了一 一了‘＞一一 点评：函数 ）有递减区间（ ， ：），所以只需 ［一丁２，一了１】 （ＸＩ￣Ｘ２）即可． 变题：已知函数 ）＝ 。＋ａｘ。＋ ＋１，ａ∈Ｒ． 若 （ ）≤ 一 一ａ＋１对任意的ａ∈ 【一了２，一 ３］都成立，求 的】汉僦匦（下转第７４页） 《数学之友》 ２０１０年第８期 分析：本题只有注意到已知条件与根的判别式 ２．２利用判别式，判断三角形的形状 的联系，合理构造出一元二次方程才能顺利解题． 解：由已知，得（ｂ—ｃ） ＝４（口一ｂ）（Ｃ—ａ）． Ｚ ． 例７已知ａ，ｂ，ｃ是ＡＡＢＣ的三条边长，当ｍ＞ ０时，关于 的一元二次方程ｃ（ｘ ＋ｍ）＋６（ 一ｍ） 一（１）若口一ｂ＝０，则口＝ｂ＝ｃ，所以 Ⅱ ＝２； ２￣／ｍ仳＝０有两个相等的实数根，试判断ＡＡＢＣ 分析：本题利用判别式得出口，ｂ，ｃ的等量关系 的形状． （２）若０一ｂ≠Ｏ，则由已知条件构造方程（口一 ６） ＋（ｂ—ｃ） ＋（ｃ一口）＝０，且方程有两个相等的 实根．因为（口一ｂ）＋（ｂ—ｃ）＋（ｃ一口）＝０所以方程 有两个相等的实根 ＝ ＝Ｉ，由根与系数的关系 得， ：＝ 所以 ：２． 式，再利用勾股定理进行判定． 解：原方程经过变形得 （ｂ＋ｃ）ｘ 一２￣／ｍ口 ＋（ｃ一６）ｍ＝０， 因为此方程有两个相等的实数根， ＝Ｉ，所以ｃ一口＝。一６，即６＋ｃ＝２口， 所以Ａ＝（一２√ｍ口） ＋４（ｂ＋ｃ）（ｂ—ｃ）７ｎ＝０， 即４ｍ（口 一ｃ ＋ｂ ）＝０， ：２． 因为ｍ＞Ｏ，所以口 一Ｃ ＋ｂ ＝Ｏ，即口 ＋ｂ ＝ｃ ， 口 综上可知， 所以ＡＡＢＣ是直角三角形． ２一元二次方程根的判别式在几何问题的 应用 ２．３利用判别式，证明几何不等式 例８ 如图，ＰＴ切ｏ０于 ，直线ＰⅣ交ｏＤ于点 ，Ⅳ， Ｐ ２．１ 结合三角形三边关系，证明一元二次方程根的 情况 求证：肼＋ＰⅣ＞２ＰＴ．证明：由切割线定理得 ＰＭ・ＰＮ＝Ｐ ，于是Ｐ ，ＰⅣ是方程 一（ＰＭ＋ ＰⅣ） ＋Ｐ ＝０的两实根，因为删≠ＰＮ，即方程有 例６已知关于 的一元二次方程 一２ｍｘ＋ １ ÷ｎ ０，其中ｍ，ｎ分别是一个等腰三角形的腰和 叶 两个不相等的实数根，所以Ａ＞０，即（ ４Ｐ ＞０，所以删＋ＰＮ＞２ＰＴ． ＋尸Ⅳ） 一 底边的长．求证：这个方程有两个不相等的实数根． 分析：本题主要利用三角形两边之和大于第三 边及判别式求解． 证明：因为Ａ－－４ｍ 一ｎ ＝（２ｍ＋ｎ）（２ｍ—ｎ）， 又因为ｍ＞０，ｎ＞０，ｍ＋ｍ＞ｎ， 判别式的应用非常广泛．运用判别式的关键是， 利用已知条件将所研究的问题转化为一元二次方程 问题．从以上例题可以看出，利用一元二次方程根的 判别式来解题，能够化难为易、化繁为简、化生为熟， 从而巧妙解题．因此要学会正确运用根的判别式，达 到正确、快速解题的目的． 所以２ｍ＋凡＞０，２ｍ—ｎ＞０，故Ａ＞０． 所以方程有两个不相等的实数根． Ｉ上接弟７２＿贞） 勰法五：变更主元 ・．’则只需厂（ ）≤ 一 一ｏ＋１对任意的 。Ｅ［一了２，一 】都成立， ｛三：二享； 三’即可一－一丢≤ ≤ ・．．２ｘ ＋（２ａ＋１） ＋口≤０对任意的 ｆ一了２，一÷１都成立，所以变更主元，把。当作主 上述五种方法各有特点，是解决恒成立问题的 行之有效的方法．由于题目条件的不同，解决每个恒 。∈［一了２，一÷】都成立． 即（２ｘ＋１）０＋（２ｘ ＋ ）≤０对任意的 。Ｅ［一了２，一÷］都成立． 卜 ，一 成立问题的最佳方法也不同，因此，要具体问题具体 分析，这样才能达到较好的效果． 设ｇ（０）：（２ ＋１）口＋（２ｘ ＋ ）， 口∈・７４・
