解析几何中焦点相关的常用结论

解析几何中焦点相关的常用结论

解析几何中跟焦点及焦半径（椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线）、焦点弦（经过焦点的弦）有关的的问题是一类基本的、常见的问题，这于这类问题，我们一般利用第一、第二定义、正、余弦定理等方法求解，熟练掌握有关结论并能加以灵活运用，将有效提高解题速度。

结论1、焦半径公式： 10

x2y2 设P是椭圆221上的一点，则焦半径|PF1|、|PF2|的长

ab分别为a±ex0。其中a为长半轴长，e为离心率，x0为点P的横坐标（图1）。

22xy20 设P是双曲线221上的一点，则焦半径|PF1|、|PF2|

abF1 F2 图1 的长分别为ex0±a。其中a为实半轴长，e为离心率，x0为点P的横坐标。

证明：对本题的证明只要根据定义，下面以椭圆为例加以证明：设点P到左准线的距离为d，

|PF1|a2a2则d=x0+,由第二定义得=e，∴|PF1|=d·e= (x0+)·e= e x0 +a。同理可证|PF2|= a－e x0。

ccd结论2、以抛物线y2=2px (p>0)的焦半径|PF|为直径的圆（⊙C）与y轴相切（图2）。

证明：分别过点P、C、F向抛物线的准线作垂线，垂足记为P1、C1、F1，与y轴交于P2、C2，O，则C到y轴的距离|CC2|=

|PP2||FO|，

2图2 而|PF|=|PP1|=|PP2|+|P2P1|=|PP2|+|FO|，∴|CC2|=

|PF|

，即点C到y轴2

的距离等于⊙C的半径，∴⊙C与y轴相切。

结论3、以抛物线y2=2px (p>0)的焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，且A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值（图3）。

证明：分别过点A、B、C向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A1、B1、C1，与y轴交于A2、

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B2，C2，则C到l轴的距离|CC1|=

|AA1||BB1|，由第二定义得：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，∴

2|AA1|+|BB1|=|AB|，∴|CC1|=

|AB|，即点C到准线l的距离等于⊙C的半径，∴⊙C与准线相切。 2p当直线AB斜率存在时，设AB的方程为：y=k(x－),代入

222

2

22

抛物线得4kx－4p(k+2)x+kp=0,设A（x1,y1）、B（x2,y2）,由韦

p2达定理得x1x2=为定值；而

4|y1y2|=2px1·2px1=2px1x2=2p·

p22

=p. ∴y1y2=－p。 2图3 当直线AB斜率不存在时，易证上式结论成立。

结论4、已知抛物线y2=2px (p>0),过焦点F的弦的倾斜角为θ（θ≠0），且与抛物线交于A、B，则|AB|=4）。

证明：同结论3，分别过点A、B向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A1、B1，则|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，∴|AB|=|AA1|+|BB1|。

设A（x1,y1）,B(x2,y2),则|AA1|= x1+

2p；且当直线AB与x轴垂直时，|AB|min=2P（此时称弦AB为抛物线的通径）（图2sinpp，|BB1|= x2+，∴|AB|= x1+ x2+p。 22当θ≠900时，设直线AB的方程为y=tgθ(x－c),代入抛物线方程得：

22ptgtg2θ·x2－(2p+ptg2θ)x+=0,

42p2pptg22pptg2x1+ x2=，∴|AB|=+p=。 222sintgtg当θ=900时，显然|AB|=2p,符合上式，∴|AB|=当θ=900时，|AB|min=2P，即为通径的长。

2p。 sin2图4 x2y22b2结论5、设AB是椭圆221的焦点弦，则当AB垂直x轴时|AB|min=。

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解析几何中焦点相关的常用结论

证明略。

想一想：在抛物线及椭圆的焦点弦中，当该弦垂直于抛物线的对称（或椭圆的长轴）时，弦|AB|取得最小值，那么在双曲线中是否有相同的结论？

结论6、过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F作倾斜角为θ（θ≠0）的直线，且与抛物线交于A、

p2B两点，则△AOB的面积S=。

2sin证明：由结论4得|AB|=

2pp，点O到直线AB y=tgθ(x－)的距离为

2sin2ptg|pd=2=·|sinθ|。

1tg22|p212pp∴S△AOB=···|sinθ|=。 22sin2sin2x2y2结论7、P为双曲线221上一点，F1、F2为两焦点，且∠F1PF2=α（0<α<π）,则

abS△F1PF2=b2·ctg

（图5）。 2证明：设|PF1|=m, |PF2|=n，则

（1）|mn|2a ， 222(2)mn2mncos4c　　由（1），两边平方，得m2+n2－2mn=4a2,∴m2+n2=2mn+4a2,

22b代入（2）得2mn+4a2－2mncosα=4c2, ∴mn=。

1cosF1 F2 图5 2b211∴S△F1PF2=·mn·sinα=··sinα= b2·ctg。

221cos251x2y2结论8、我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”，设221是优美椭

2ab圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF=

证明略。

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。 2解析几何中焦点相关的常用结论

x2y221上的一动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当P位于短轴端点结论9、设P是椭圆2ab时，∠F1PF2取到最大值。

证明：设|PF1|、|PF2|的长分别为m,n，则m+n=2a,在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠

22m2n24c24b2mn2bF1PF2=,而m2+n2=(m+n)2－2mn=4a2－2mn, ∴cos∠F1PF2==－1,又

2mn2mnmn2b2mn22

mn≤(∴cos∠F1PF2≥2－1，当且仅当m=n，即当P点位于短轴端点时cos∠F1PF2)=a，

a2取到最小值，由余弦值在（0，π）内单调递减，得此时∠F1PF2最大。

2x2y2推论：椭圆221上存在点P，使∠F1PF2为钝角，则椭圆的离心率e的取值范围是（，

2ab+∞）。

结论10、（2001高考题）设抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，则直线AC经过原点O（图6）。

证明：设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则C(－为：y=k(x－

y－

2

p,y2),直线AB的方程2p),代入抛物线得： 2O1 2pyp2=0, ∴y1y2=－p2. ky2y2,Kao=1,

x1pKco=图6 ∴Kco－ Kao=

y12y22p2y22p2y1y2=y12==0,即x1ppy1py12Kco=Kao，∴A、C、O三点共线，即直线AC经过原点O。

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