二重积分部分练习题

xydxdy (其中D：0≤y≤x,0≤x≤1)的值为

2

D1111 （B） （C） （D） 612242xydxdy= D 答 ( ) (3分)[3]若区域D为0≤y≤x2,|x|≤2,则

（A）0； （B）

3264 （C） （D）256 33 答 ( )

(3分)[4]设D1是由ox轴，oy轴及直线x+y=1所圈成的有界闭域，f是区域D：|x|+|y|≤1上的连续函数，则二重积分

Df(x2,y2)dxdy__________f(x2,y2)dxdy

D1（A）2 （B）4 （C）8 （D）

1 2 答 ( ) (3分)[5]设f(x,y)是连续函数，则二次积分

01dx101x2x1f(x,y)dy f(x,y)dxdy12y211(A)(B)(C)(D)

dydy01y11y1f(x,y)dx

1f(x,y)dx

dy01y11f(x,y)dxdy12y211f(x,y)dx

20dyy211f(x,y)dx

答 ( ) (3分)[6] 设函数f(x,y)在区域D：y2≤－x ,y≥x2上连续，则二重积分化累次积分为 (A)(C)

f(x,y)dxdy可

D011dxx2xf(x,y)dy (B)dx1100x2xy2yf(x,y)dy f(x,y)dx

dy0y2yf(x,y)dx (D)dy 答 ( )

1 / 29

(3分)[7]设f(x,y)为连续函数，则二次积分

12x33x2dy013y212y2f(x,y)dx可交换积分次序为

(A)(B)

dx002xf(x,y)dydx1201f(x,y)dy

33x2120dx0f(x,y)dy1dxf(x,y)dydx2020f(x,y)dy

(C)(D)

dx013x22xf(x,y)dy

20d2cosf(rcos,rsin)rdr

sin23 答 ( ) (3分)[8]设f(x,y)为连续函数，则积分

10dxf(x,y)dydx0122yx222x0f(x,y)dy

可交换积分次序为 (A)(B)(C)(D)

10dyf(x,y)dxdy01y0f(x,y)dx

101dyf(x,y)dxdy01x222x0f(x,y)dx

01dy2yy2xf(x,y)dx

0dy2f(x,y)dx

x 答 ( ) (4分)[9]若区域D为(x－1)2+y2≤1,则二重积分(A)

f(x,y)dxdy化成累次积分为

D0d2cos0F(r,)dr (B)d2cos0F(r,)dr

(C)

d222cos0F(r,)dr (D)2d202cos0F(r,)dr

其中F(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)r.

答 ( ) (3分)[10]若区域D为x2+y2≤2x，则二重积分

2cos22(xy)xydxdy化成累次积分为 D(A)

d220(cossin)2rcosrdr

2cos(B)

0(cossin)d0r3dr

2 / 29

(C)220(cossin)d2cos0r3dr

(D)22(cossin)d22cos0r3dr

答 ( ) (4分)[11]设I1777[ln(xy)]dxdy,I(xy)dxdy,Isin23(xy)dxdy其中D是DDD由x=0,y=0,xy1 ,x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序是 2 (A)I1＜I2＜I3; (B)I3＜I2＜I1; (C)I1＜I3＜I2; (D)I3＜I1＜I2.

答 ( ) (5分)[12]设Idxdy，则I满足 221cosxsinyxy12I2 (B)2I3 31(C)DI (D)1I0

2(A)

答 ( ) (4分)[13]设xy1其中D是由直线x=0,y=0,2及x+y=1所围成的区域，则I1，I2，

I3的大小顺序为

(A)I3＜I2＜I1; (B)I1＜I2＜I3; (C)I1＜I3＜I2; (D)I3＜I1＜I2.

答 ( ) (3分)[14]设有界闭域D1与D2关于oy轴对称，且D1∩D2=,f(x,y)是定义在D1∪D2上的连续函数，则二重积分

Df(x2,y)dxdy

(A)2D1D1f(x2,y)dxdy (B)4f(x2,y)dxdy

D2(C)4f(x2,y)dxdy (D)

1f(x2,y)dxdy 2D2 答 ( )

(3分)[15]若区域D为|x|≤1,|y|≤1,则

xeD－

cos(xy)sin(xy)dxdy

(A) e; (B) e1;

(C) 0; (D)π.

答 ( ) (4分)[16]设D：x2+y2≤a2(a＞0),当a=___________时，

Da2x2y2dxdy.

3 / 29

3(A)1 (B)2 3313(C)4 (D)2 3 答 ( ) 二、填空 (6小题,共21.0分)

(4分)[1]设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成n个小区域Δσi(i=1,2,…,n),在每一个小区域Δσi任意选取一点(ξi,ηi),如果极限 lim0f(,)iii1ni(其中入是Δσi(i=1,2,…,n)的最大直径)存在，则称此极限

值为______________的二重积分。

(4分)[2]若D是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知

(1xy)=___________.

D(3分)[3]设D:0ya2x2,0x0，由二重积分的几何意义知

Da2x2y2dxdy___________.

(3分)[4]设D：x2+y2≤4,y≥0,则二重积分

sin(xy)d__________。

D32(4分)[5]设区域D是x2+y2≤1与x2+y2≤2x的公共部分，试写出

f(x,y)dxdy在极坐标系

D下先对r积分的累次积分_________________.

(3分)[6]设D：0≤x≤1,0≤y≤2(1－x),由二重积分的几何意义知

y1xdxdy=_______________. 2D三、计算 (78小题,共331.0分)

(3分)[1]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分

20dy1f(x,y)dx

2yy的积分次序。

(3分)[2]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分

20dx2xxf(x,y)dy

的积分次序。

(3分)[3]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分

12dy02yf(x,y)dxdy100yf(x,y)dx

4 / 29

的积分次序。

(3分)[4]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分

dx0111x2f(x,y)dxdx1e1lnxf(x,y)dy

的积分次序。

(4分)[5]计算二重积分

2(xy)dxdy D其中D：0≤y≤sinx,0≤x≤π. (3分)[6]计算二重积分

xydxdy

D其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域。 (3分)[7]计算二重积分

Dxydxdy

其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。 (3分)[8]计算二重积分

xydxdy

D其中D：x≤y≤x,1≤x≤2.

(3分)[9]计算二重积分

cos(xy)dxdy

D其中D是由直线x=0,y=π和y=x围成的区域。 (4分)[10]计算二重积分

22(xyy)dxdy D其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。 (3分)[11]计算二重积分

xcos(2xy)dxdy

D其中D:0x4,1y1

(3分)[12]计算二重积分

(xy)dxdy

D其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。 (3分)[13]计算二重积分

(x6y)dxdy

D其中D是由直线y=x,y=5x及x=1所围成的区域。 (3分)[14]计算二重积分

5 / 29

xydxdy

D其中D是由双曲线y1，直线y=x及x=2所围成的区域。 x(3分)[15]计算二重积分

Dydxdy x其中D是由直线y=2x,y=x,x=2及x=4所围成的区域。 (3分)[16]计算二重积分

ydxdy

D其中D：|x|+|y|≤1.

(3分)[17]计算二重积分

xyd

D其中D：|x|+|y|≤1.

(4分)[18]计算二重积分

xydxdy

其中D:21yx,1x2 x(4分)[19]计算二重积分

(xD32y2)dxdy

其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a及y=3a(a>0)所围成的区域。 (4分)[20]计算二次积分

0dx3x0(2xy)dy

(4分)[21]计算二重积分

xydxdy

D其中D是由y=x,xy=1,x=3所围成的区域。 (4分)[22]计算二重积分

22(xyx)dxdy D其中D是由y=2,y=x,y=2x所围成的区域。 (4分)[23]计算二重积分

(x1)ydxdy

D其中D是由曲线x1(4分)[24]计算二重积分

y,y=1－x及y=1所围成的区域。

6 / 29

1dxdy 41xD其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。

(4分)[25]计算二重积分

2xydxdy D其中D为与x=0所围成的区域。

(4分)[26]计算二重积分

xdxdy

D其中D是由抛物线y12x及直线y=x+4所围成的区域。 2(4分)[27]计算二重积分

xyedxdy D其中D为由y=x,y=0,x=1所围成的区域。 (4分)[28]计算二重积分

Dx2dxdy y2其中D是由曲线xy=1,y=x2与直线x=2所围成的区域。 (5分)[29]计算二重积分

4yD2sin(xy)dxdy

其中D是由x=0, y(4分)[30]计算二重积分

2(xy)dxdy D2 ,y=x所围成的区域。

其中D：0≤y≤sinx, (5分)[31]计算二重积分

22xycos(xy)dxdy D.

其中D：, 0≤y≤2.

(4分)[32]计算二重积分

xDydxdy

x及y=x2所围成的区域。

其中D是由抛物线y(4分)[33]计算二重积分

7 / 29

ydxdy

Dx2y2其中D:221

ab(4分)[34]计算二重积分

xdxdy

D其中D:2xy11x2,0x1 (5分)[35]计算二重积分

rdrd

D2其中D:acosra,02(a0)

(4分)[36]利用极坐标计算二次积分

22dx4x20x2y2dy

(5分)[37]利用极坐标计算二重积分

y arctgxdxdyD其中D：1≤x2+y2≤4,y≥0,y≤x.

(4分)[38]利用极坐标计算二重积分

yarctgdxdy xD其中D：a2≤x2+y2≤1,x≥0,y≥0,a＞0,x=0处广义。

(5分)[39]试求函数f(x,y)=2x+y在由坐标轴与直线x+y=3所围成三角形内的平均值。 (6分)[40]试求函数f(x,y)=x+6y在由直线y=x,y=5x和x=1所围成三角形内的平均值。 (4分)[41]由二重积分的几何意义，求

xy12(1xy1)dxdy

22

2(4分)[42]计算二重积分

xdxdy

D

其中D：x2+y2≤2及x≥y2. 原式=

11dy102y2y2xdx(2y2y4)dy 22158 / 29

(3分)[43]计算二重积分

xedxdy D2

其中D是第一象限中由y=x和y=x3所围成的区域。

edx3dy0x1x2x(xexx3ex)dx

01221e12(4分)[44]计算二重积分

xdxdy

D

其中D：x2+(y－1)2≥1,x2+(y－2)2≤4,y≤2,x≥0.

dy024yy22yy2xdx

ydy022(5分)[45]计算二重积分

2xydxdy D其中D：x2+y2≤5, x－1≥y2.

(5分)[46]计算二重积分

xydxdy

D4xx23其中D是由(x－2)2+y2=1的上半圆和x轴所围成的区域。

xdx130ydy13x(4xx23)dx 2143(4分)[47]计算二重积分

22xyxdxdy D

其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。 (3分)[48]计算二重积分

32xydxdy D

9 / 29

其中D：x2+y2≤R2. (5分)[49]计算二重积分

xdxdy 22xyDx2其中区域D1x2,yx

2(4分)[50]计算二重积分

Dx2dxdy 2y

其中D是由直线x=2,y=x和双曲线xy=1所围成的区域。 (4分)[51]计算二重积分

xdxdy

D

其中D：x2+y2≤a2,y≥0. (5分)[52]计算二重积分

xdxdy

D

x2y2其中D：221

ab(5分)[53]计算二重积分

D4x2y2dxdy

其中D为由y=0,x=1,y=2x围成的区域。 (5分)[54]计算二重积分

xyyedxdy D

其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域。 (5分)[55]计算二重积分

xydxdy

D2

其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p(p>0)所围成的区域。 (6分)[56]计算二重积分

2(xy)dxdy D10 / 29

D是由抛物线y=x2和y2=x所围成的区域。 (6分)[57]计算二重积分

eDxydxdy

(x≥1)和直线y=x,y=2所围成的区域。

其中D是由抛物线y=(5分)[58]计算二重积分

Dxyy2dxdy

其中D是以O(0，0)，A(10，1)和B(1，1)为顶点的三角形区域。 (5分)[59]计算二重积分

(12xD216x3y3)dxdy

所围成的区域。

其中D是由x=1,y=x3,y=(8分)[60]计算二重积分

Dx2y2dxdy

其中D是以O(0，0)，A(1，－1)和B(1,1)为顶点的三角形区域。 (3分)[61]计算二重积分

sinxdxdy xD其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。

(4分)[62]计算二重积分

sinxdxdy xD其中D是由y=x2,y=0,x=1所围成的区域。

(5分)[63]计算二重积分

22ln(1xy)dxdy D其中D：x2+y2≤4,x≥0,y≥0.

(5分)[64]计算二重积分

Dx2y2dxdy

其中D：x2+y2≥2x,x2+y2≤4x. (5分)[65]计算二重积分

D22

x2y2dxdy

其中D：x+y≤2x.

(4分)[66]利用极坐标计算二重积分

22sin(xy)dxdy D其中D：π2≤x2+y2≤4π2

11 / 29

(4分)[67]计算二重积分

D1x2y2dxdy

其中D：x2+y2≤1,x≥0,y≥0.

(7分)[68]设区域D：x2+y2≤a2 (a>0),计算二重积分

f(x,y)dxdy

Dex其中f(x,y)0

2y2当x0,y0其它点

(4分)[69]利用极坐标计算二重积分

ydxdy

D其中D：x2+y2≤a2,x≥0,y≥0. (a>0)

(3分)[70]利用极坐标计算二重积分

221(xy)dxdy 3D其中D：1≤x2+y2≤8.

(3分)[71]计算二重积分

22(4xy)dxdy D

其中D：x2+y2≤4.

(5分)[72]计算二重积分

xydxdy

DxxyeD2其中D：x2+y2≥1,x2+y2≤2x,y≥0. (5分)[73]计算二重积分(5分)[74]将二重积分≤

,0≤y≤1.

y2d，其中区域D为x2+y2≤1在第一象限部分。

f(x,y)d化为在极坐标系中先对r积分的累次积分，其中D：0≤x

D(6分)[75]利用极坐标计算二重积分

xdxdy

D

其中D：x2+y2≤2x,x2+y2≥x. (5分)[76]计算二重积分

2其中D：y≤x≤16y,0≤y≤22,y≥0.

(6分)[77]计算二重积分

12 / 29

22ln(1xy)dxdy D其中D：x2+y2≤R2 (R＞0),x≥0,y≥0.

(5分)[78]利用极坐标计算二重积分

D22

22sinxydxdy 其中D：1≤x+y≤4,x≥0,y≥0.

====================答案====================

答案部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1][答案]

B. (3分)[2][答案]

B. (3分)[3][答案]

A. (3分)[4][答案] (B).

(3分)[5][答案]

(C). (3分)[6][答案]

C. (3分)[7][答案]

B. (3分)[8][答案]

C (4分)[9][答案]

C. (3分)[10][答案]

D. (4分)[11][答案]

C. (5分)[12][答案]

A. (4分)[13][答案]

B. (3分)[14][答案]

(A). (3分)[15][答案]

C. (4分)[16][答案]

B. 二、填空 (6小题,共21.0分)

13 / 29

(4分)[1][答案]

函数f(x,y)在D上 (4分)[2][答案]

1 6(3分)[3][答案]

1πa3 6

(3分)[4][答案]

0. (4分)[5][答案]

记F(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)r,

d322cos0F(r,)drdF(r,)drd3230312cosF(r,)dr

(3分)[6][答案]

1 3三、计算 (78小题,共331.0分) (3分)[1][答案] 原式=

dx012xxf(x,y)dydxf(x,y)dy

1x22(3分)[2][答案] 原式=

20dy1f(x,y)dxdy1f(x,y)dx

2y22yy42(3分)[3][答案] 原式=

01dx2eyx2x2f(x,y)dy

(3分)[4][答案] 原式=

dy0sinx11yf(x,y)dx

(4分)[5][答案] 原式

dx00(xy2)dydx

1(xsinxsin3x)349(3分)[6][答案] 原式

14 / 29

2x20xdx0ydy1220x5dx

163(3分)[7][答案] 原式

4dx2x0xxydy43202xxdx

3847(3分)[8][答案] 原式

2xdx31xydy21x3dx

334(3分)[9][答案] 原式

dx0xcos(xy)dy0(sin(x)sin2x)dx

2(4分)[10][答案] 原式

3y1dyy1(x2y2y)dx3113y3(y1)3y2ydy3112y22y3dy10(3分)[11][答案] 原式

/ 29

15 410dx1xcos2xydy40sin2xdx

12(3分)[12][答案] 原式

=1dyx00(xy)dx11(xy1102y)20dy0(2y22y2)dy12y31102或解原式

=110dxx(xy)dy1130(2x2x2)dx 12(3分)[13][答案] 原式

15x0dxx(x6y)dy1076x2dx

2513(3分)[14][答案] 原式

2xdxx11ydyx1221x(x21x2)dx 15182ln2(3分)[15][答案] 原式

/ 29

16 412xdx2xxydy4322xdx 9(3分)[16][答案] 原式

411x0dx0ydy210(1x2)dx 23(3分)[17][答案] 原式

411x0xdx0ydy210x(1x)2dx 16(4分)[18][答案] 原式

21xdxx21ydyx124131(xx2)dx 1910(4分)[19][答案] 原式

3a2adyyya(x2y)dx3aa(2ay2a2y13a3)dy14a4(4分)[20][答案] 原式

30(923x32x2)dx

272/ 29

17 (4分)[21][答案] 原式

3xdxx11ydyx1321(x31x)dx 1012ln3(4分)[22][答案] 原式

2dyy0y(x2y2x)dx22193024y38y2dy136(4分)[23][答案] 原式

1ydy1y01y(x1)dx11220y(yy)dy

124(4分)[24][答案] 原式

11x01x4dx0dy1x01x4dx1d(x2

1)201x48(4分)[25][答案] 原式

/ 29

18 22y22ydy40xdx20y2(4y2)dy 6415(4分)[26][答案] 原式

4xdxx4212dy2x42(x24x12x3)dx 18(4分)[27][答案] 原式

1xx0edx0eydy10ex(ex1)dx

e22e12(4分)[28][答案] 交点为(1,1)2,12(2,4) 原式

=21x2x1x2dx23 4(5分)[29][答案] 原式

42y0ydy0ysin(xy)dx420y(1cosy2)dy2(4分)[30][答案] 原式

/ 29

19 dx20sinx0(xy2)dy12(xsinxsin3x)dx 0379(5分)[31][答案] 原式

02dxx2ycos(xy2)dy02x2sin4xdx02

16(4分)[32][答案] 交点为(0，0)，(1，1) 原式

10ydyyy2xdx114(yyyy)dy 02655(4分)[33][答案]

由对称性知，此积分等于D域位于第一象限中的部分D1上积分的4倍，在第一象限|y|=y. 原式

4ax0ab22axa0ydy2a0b222(ax)dx 2a42ab3(4分)[34][答案] 原式

xdx010111x22xdyx(x1x21)dx 16(5分)[35][答案]

20 / 29

原式

2a20dacosrdr133a20(1cos3)d a33(223)(4分)[36][答案] 原式

d2r200dr2r33

083(5分)[37][答案] 原式

rdrdD40d21rd

21322(41)3642(4分)[38][答案] 原式

rdrdD20d1ardr21a2

82216(1a2)(5分)[39][答案]

21 / 29

f(x,y)d(2xy)dxdy033x0(2xy)dyDD302x(3x)12(3x)2dx272而D的面积=92 ∴所求平均值=3. (6分)[40][答案]

f(x,y)dxdy1dx5x(xby)dyD0x∵120(4x72x2)dx763而D的面积

=1

5x

0

dxx

dy

1

0

4xdx

2

∴所求平均值=1223 (4分)[41][答案] 原式=

y2x21x2y21x2dxdyy2123 123(4分)[42][答案] (3分)[43][答案] (4分)[44][答案] (5分)[45][答案]

交点为(2，1)与(2，－1)

22 / 29

ydy110125y21y2xdxy2(43y2y4)dy 62105(5分)[46][答案] (4分)[47][答案]

dyxy2x2dx001y113ydy03112(3分)[48][答案] 原式=

RRydy2R2y222Ryx3dx

对于

R2y222Ryx3dx被积函数x3为奇函数

∴积分为零。

故原式=0. (5分)[49][答案]

xdy221xy22x(arctan)dx

2原式=1418arctanln254dxx22x(4分)[50][答案]

1dy21xy21x2(x)dx 1x94x2dx12x(4分)[51][答案]

2xdx0aa2x20dy

2x0a2x2dx23a323 / 29

(5分)[52][答案]

由对称性知，此积分等于D域位于第一象限中的部分D1上的积分的4倍，在第一象限|x|=x.

4babb2y20dy0xdx2ba20b2(b2y2)dy 423ab(5分)[53][答案]

22x220dx04xydy20x2dx

83(5分)[54][答案]

ln34ln2dy2yexydxln3ln2(e4ye2y)dy

1334(5分)[55][答案]

2p22pydypy2xdx2p2p22p(14y2p2y8p2)dy 82521p(6分)[56][答案]

12x10xdxyx2dy0xdyy2dx1(x2xx4)dx100(yyy3)dy33140(6分)[57][答案]

24 / 29

dyedx1y2y2xy(yeyye)dy

123e2e2(5分)[58][答案]

dy010110yy32xyydxy(xy)2032110yydy

18y2dy6(5分)[59][答案]

1x3dx01x((12x216x3y3)dy

23312212x(xx4x(xx)dx0(12x012x8x4x)dx5155184x(8分)[60][答案]

dx011xx2y2dyxxy2x2y2(xyarcsin022x1dx)

20xdx26xsinxdxdy00x11(3分)[61][答案]

sinxdx0

1cos(4分)[62][答案]

x2sinxdxdy00x1xsinxdx01

sin1cos1(5分)[63][答案]

25 / 29

220d0ln(1r2)rdr541lnudu

4(5ln54)(5分)[64][答案]

24cosd22cosr3dr22060cos4d

452(5分)[65][答案]

rrdrdD22cos2ddr20r832cos3d2

16230cos3d16323329(4分)[66][答案] 原式=

2220dsinrrdr =π(cosπ2－cos4π2). (4分)[67][答案]

1r2rdrdD2d1001r2rdr

6(7分)[68][答案]

26 / 29

ex2y2dxdyx2x0,y2y0a2a20d0errdr

1222era0a24(e1)(4分)[69][答案]

rsinrdrdD20sindar20dr

1a33a33(3分)[70][答案]

2d225301rdr2(38228r3)1

454(3分)[71][答案]

4dxdy2)dxdyx2y24x2(x2yy2416220d0r3dr

1621648(5分)[72][答案]

3d2cos301rcossindr30(4cos5sin14cossin)d196(5分)[73][答案]

27 / 29

r2ersincosrdrdD220sincosdr3erdr0121112r2red(r2)220111(1)4ee12(1)4e(5分)[74][答案]



原式=

60d3sec0f(rcos,rsin)rdrd26ces0f(rcos,rsin)rdr

(6分)[75][答案]

rcosrdrdDcosd222coscosr2dr12cos(8cos3cos3)d 32142cos4d3078(5分)[76][答案]

原式1r2sincosrdrd 8D414sincosdr3dr

080

1sin241

r48240011440844

(6分)[77][答案]

4

原式ln(1r2)rdrd

D28 / 29

02dln(1r2)rdr0RR12221rln1rr 22401R2ln1R2R2(5分)[78][答案]

原式sinrrdrd

Dd202rsinrdr2121 2[rcosr]cosrdr1

2(cos12cos2sin2sin1)ij,y (i,j=0,1,2,…,n－1,n)把矩形D：0≤x≤1,0≤y≤1分割成一系列小正方nn形，则二重积分xydxdy

用直线xDii1(A)lim;2ni1nnn(C)limni1nn(B)limnj1nnni1nij1;2nni1i1;nnn2(C)limn(ni1ii11).nnnn

答 ( )

29 / 29